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第八章 统计与概率
第30讲 概 率
事件的分类
事件类型 定义 概率
必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件 1
不可能事件 在一定条件下，必然不会发生的事件 0
随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 0～1之间
概率的计算
公式法 一步概率：P(A)＝，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数
列表法 当一次试验涉及两个因素，且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏可采用列表法列出所有等可能的结果，再根据P(A)＝计算概率
画树状 图法 当一次试验涉及两个或两个以上因素时，为了不重不漏可采用画树状图法表示出所有等可能的结果，再根据P(A)＝计算概率
几何概型 计算公式为P(A)＝
频率估 计概率 (1)统计图：一般为折线统计图，观察统计图中频率逐渐趋于某一个数值，显示出一定的稳定性，则可以用该频率大致表示事件发生的概率； (2)统计表：①若表格中频率的数据逐渐趋于某一个数值，显示出一定的稳定性，则可以用该频率大致表示事件发生的概率；②若表格中频率的数据未趋于稳定，则选用频率的平均数来估计事件发生的概率
【夺分宝典】运用列表法或画树状图法求概率时，一定要注意“放回型”和“不放回型”的区别．
类型 放回型 不放回型
基本表述 从一个含有n个球的袋子(盒子)中，第一次取出1个球，放回再取出1个球，确定两次取球的情况 从一个含有n个球的袋子(盒子)中，第一次取出1个球，不放回再取出1个球，确定两次取球的情况
列表法 包含表格中对角线上的情况 不包含表格中对角线上的情况
画树状图法 第一层的情况数为n，第二层的情况数为n×n 第一层的情况数为n，第二层的情况数为n×(n－1)
命题点1 事件的分类
1．(2023·襄阳)襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是75%，则“明天襄阳某地下雨”这一事件是( C )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．确定性事件
2．(2024·湖北)下列事件中，是必然事件的是( D )
A．掷一次骰子，向上一面的点数是3
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
3．(2023·武汉)掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是( B )
A．点数的和为1 B．点数的和为6
C．点数的和大于12 D．点数的和小于13
命题点2 用频率估计概率
4．(2023·恩施州)县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数a 100 300 600 1 000 7 000 15 000
成活的棵数b 84 279 505 847 6 337 13 581
成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为(精确到0.1)( C )
A．0.905 B．0.90
C．0.9 D．0.8
5．(2021·宜昌)社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是白球．(填“黑球”或“白球”)
命题点3 概率的计算
6．(2021·宜昌)在六张卡片上分别写有6，－，3.141 5，π，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是( C )
A． B． C． D．
7．(2023·武汉)某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是( C )
A． B． C． D．
8．(2024·武汉)经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少有一辆车向右转的概率是( D )
A． B． C． D．
9．
(2021·随州)如图，从一个大正方形中截去面积为3 cm2和12 cm2的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为( A )
A． B． C． D．
10．(2024·湖北)小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是．
11．(2023·仙桃、潜江、天门联考)有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形、平行四边形、正五边形、圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的图形后(不放回)，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为．
12．(2022·仙桃、潜江、天门联考)从2名男生和2名女生中任选2名学生参加志愿者服务，那么选出的2名学生中至少有1名女生的概率是．
13．(2021·黄冈、孝感、咸宁联考)2021年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题，为确保联合命题的公平性，决定采取三轮抽签的方式来确定各市选派命题组长的学科．第一轮，各市从语文、数学、英语三个学科中随机抽取一科；第二轮，各市从物理、化学、历史三个学科中随机抽取一科；第三轮，各市从道德与法治、地理、生物三个学科中随机抽取一科．
(1)黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是；
(2)用画树状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和地理的概率．
解：列表如下：
物理 化学 历史
道法 (物理，道法) (化学，道法) (历史，道法)
地理 (物理，地理) (化学，地理) (历史，地理)
生物 (物理，生物) (化学，生物) (历史，生物)
由表可知共有9种等可能的结果，其中抽到的学科恰好是历史和地理的只有1种结果，
所以抽到的学科恰好是历史和地理的概率为.
命题点4 统计与概率的综合
14．(2023·宜昌)“阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查(每位学生仅选一类).根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
书籍类别 学生人数
A文学类 24
B科幻类 m
C漫画类 16
D数理类 8
(1)本次抽查的学生人数是80，统计表中的m＝32；
(2)在扇形统计图中，“C漫画类”对应的扇形圆心角的度数是72°；
(3)若该校共有1 200名学生，请你估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数；
(4)学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选择四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．
解：(3)1 200×＝120(人).
答：估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数为120人．
(4)画树状图如图所示．
由图可得，一共有16种等可能的结果，其中他们选择同一社团的结果有4种，
∴他们选择同一社团的概率为＝.
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中考数学一轮复习课件
人教版
2025年中考数学 一轮复习（回归教材夯实基础）
第30讲 概 率
考点精讲精练
第八章 统计与概率
知识点1 事件的分类
事件类型 定义 概率
必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件 ____
不可能事件 在一定条件下，必然不会发生的事件 ____
随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 0～1之间
1
0
知识点2 概率的计算
类型 放回型 不放回型
基本表述 从一个含有n个球的袋子(盒子)中，第一次取出1个球，放回再取出1个球，确定两次取球的情况 从一个含有n个球的袋子(盒子)中，第一次取出1个球，不放回再取出1个球，确定两次取球的情况
列表法 包含表格中对角线上的情况 不包含表格中对角线上的情况
画树状图法 第一层的情况数为n，第二层的情况数为n×n 第一层的情况数为n，第二层的情况数为n×(n－1)
C
D
B
C
白球
C
C
D
A
书籍类别 学生人数
A文学类 24
B科幻类 m
C漫画类 16
D数理类 8
80
32
72°
谢谢
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第八章 统计与概率
第30讲 概 率
事件的分类
事件类型 定义 概率
必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件 1
不可能事件 在一定条件下，必然不会发生的事件 0
随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 0～1之间
概率的计算
公式法 一步概率：P(A)＝，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数
列表法 当一次试验涉及两个因素，且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏可采用列表法列出所有等可能的结果，再根据P(A)＝计算概率
画树状 图法 当一次试验涉及两个或两个以上因素时，为了不重不漏可采用画树状图法表示出所有等可能的结果，再根据P(A)＝计算概率
几何概型 计算公式为P(A)＝
频率估 计概率 (1)统计图：一般为折线统计图，观察统计图中频率逐渐趋于某一个数值，显示出一定的稳定性，则可以用该频率大致表示事件发生的概率； (2)统计表：①若表格中频率的数据逐渐趋于某一个数值，显示出一定的稳定性，则可以用该频率大致表示事件发生的概率；②若表格中频率的数据未趋于稳定，则选用频率的平均数来估计事件发生的概率
【夺分宝典】运用列表法或画树状图法求概率时，一定要注意“放回型”和“不放回型”的区别．
类型 放回型 不放回型
基本表述 从一个含有n个球的袋子(盒子)中，第一次取出1个球，放回再取出1个球，确定两次取球的情况 从一个含有n个球的袋子(盒子)中，第一次取出1个球，不放回再取出1个球，确定两次取球的情况
列表法 包含表格中对角线上的情况 不包含表格中对角线上的情况
画树状图法 第一层的情况数为n，第二层的情况数为n×n 第一层的情况数为n，第二层的情况数为n×(n－1)
命题点1 事件的分类
1．(2023·襄阳)襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是75%，则“明天襄阳某地下雨”这一事件是( C )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．确定性事件
2．(2024·湖北)下列事件中，是必然事件的是( D )
A．掷一次骰子，向上一面的点数是3
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
3．(2023·武汉)掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是( B )
A．点数的和为1 B．点数的和为6
C．点数的和大于12 D．点数的和小于13
命题点2 用频率估计概率
4．(2023·恩施州)县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数a 100 300 600 1 000 7 000 15 000
成活的棵数b 84 279 505 847 6 337 13 581
成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为(精确到0.1)( C )
A．0.905 B．0.90
C．0.9 D．0.8
5．(2021·宜昌)社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是白球．(填“黑球”或“白球”)
命题点3 概率的计算
6．(2021·宜昌)在六张卡片上分别写有6，－，3.141 5，π，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是( C )
A． B． C． D．
7．(2023·武汉)某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是( C )
A． B． C． D．
8．(2024·武汉)经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少有一辆车向右转的概率是( D )
A． B． C． D．
9．
(2021·随州)如图，从一个大正方形中截去面积为3 cm2和12 cm2的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为( A )
A． B． C． D．
10．(2024·湖北)小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是．
11．(2023·仙桃、潜江、天门联考)有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形、平行四边形、正五边形、圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的图形后(不放回)，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为．
12．(2022·仙桃、潜江、天门联考)从2名男生和2名女生中任选2名学生参加志愿者服务，那么选出的2名学生中至少有1名女生的概率是．
13．(2021·黄冈、孝感、咸宁联考)2021年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题，为确保联合命题的公平性，决定采取三轮抽签的方式来确定各市选派命题组长的学科．第一轮，各市从语文、数学、英语三个学科中随机抽取一科；第二轮，各市从物理、化学、历史三个学科中随机抽取一科；第三轮，各市从道德与法治、地理、生物三个学科中随机抽取一科．
(1)黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是；
(2)用画树状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和地理的概率．
解：列表如下：
物理 化学 历史
道法 (物理，道法) (化学，道法) (历史，道法)
地理 (物理，地理) (化学，地理) (历史，地理)
生物 (物理，生物) (化学，生物) (历史，生物)
由表可知共有9种等可能的结果，其中抽到的学科恰好是历史和地理的只有1种结果，
所以抽到的学科恰好是历史和地理的概率为.
命题点4 统计与概率的综合
14．(2023·宜昌)“阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查(每位学生仅选一类).根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
书籍类别 学生人数
A文学类 24
B科幻类 m
C漫画类 16
D数理类 8
(1)本次抽查的学生人数是80，统计表中的m＝32；
(2)在扇形统计图中，“C漫画类”对应的扇形圆心角的度数是72°；
(3)若该校共有1 200名学生，请你估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数；
(4)学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选择四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．
解：(3)1 200×＝120(人).
答：估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数为120人．
(4)画树状图如图所示．
由图可得，一共有16种等可能的结果，其中他们选择同一社团的结果有4种，
∴他们选择同一社团的概率为＝.
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