/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第七章 图形与变换
专题十六 利用“两点之间，线段最短”求最值
模型一 直线与两定点
(1)当两定点A，B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小．
作法：连接AB，交直线l于点P，点P即为所求作的点．
结论：PA＋PB的最小值为AB的长；
(2)当两定点A，B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小．
作法：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，交直线l于点P，点P即为所求作的点．
结论：PA＋PB的最小值为AB′的长；
(3)当两定点A，B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．
作法：连接AB并延长，交直线l于点P，点P即为所求作的点．
结论：|PA－PB|的最大值为AB的长；
(4)当两定点A，B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．
作法：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长，交直线l于点P，点P即为所求作的点．
结论：|PA－PB|的最大值为AB′的长．
1．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点．若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠DCF的度数为30°．
2．如图，在菱形ABCD中，BC＝2，∠C＝120°，Q为AB的中点，P为对角线BD上的任意一点，则AP＋PQ的最小值为．
3.如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为6．
4．如图，已知抛物线过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为直线x＝2.若点B(2，8)，P是抛物线上的动点，当PA－PB的值最大时，点P的坐标为(－2，12)，PA－PB的最大值为3．
5．如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE＋PF取得最小值时，的值是．
模型二 角与定点
(1)点P在∠AOB内部，在边OB上找点D，在边OA上找点C，使得△PCD的周长最小．
作法：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P″，连接P′P″，分别交OA，OB于点C，D，点C，D即为所求．
结论：△PCD周长的最小值为P′P″的长．
(2)点P，Q在∠AOB内部，在边OB上找点D，在边OA上找点C，使得四边形PQDC的周长最小．
作法：分别作点P关于OA的对称点P′，点Q关于OB的对称点Q′，连接P′Q′，分别交OA，OB于点C，D，点C，D即为所求．
结论：PC＋CD＋DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC周长的最小值为PQ＋P′Q′的长．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为( B )
A．5 B．10
C．10 D．15
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴、y轴上，B，D两点的坐标分别为B(－4，6)，D(0，4)，线段EF在边OA上移动，保持EF＝3.当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为(－，0)．
8.如图，∠AOB＝60°，P是∠AOB内的定点，且OP＝.若M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是3．
9.如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为80°.
10.如图，∠AOB＝30°，点M，N分别在边OA，OB上，且OM＝1，ON＝3，点P，Q分别在边OB，OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，－3).E为△ABC的边AB上的一动点，F为边BC上的一动点，点D的坐标为(0，－2)，则△DEF周长的最小值是.
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中考数学一轮复习课件
人教版
2025年中考数学 一轮复习（回归教材夯实基础）
专题十六 利用“两点之间，
线段最短”求最值
考点精讲精练
第七章 图形与变换
30°
6
(－2，12)
B
3
80°
谢谢
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第七章 图形与变换
专题十六 利用“两点之间，线段最短”求最值
模型一 直线与两定点
(1)当两定点A，B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小．
作法：连接AB，交直线l于点P，点P即为所求作的点．
结论：PA＋PB的最小值为AB的长；
(2)当两定点A，B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小．
作法：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，交直线l于点P，点P即为所求作的点．
结论：PA＋PB的最小值为AB′的长；
(3)当两定点A，B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．
作法：连接AB并延长，交直线l于点P，点P即为所求作的点．
结论：|PA－PB|的最大值为AB的长；
(4)当两定点A，B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．
作法：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长，交直线l于点P，点P即为所求作的点．
结论：|PA－PB|的最大值为AB′的长．
1．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点．若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠DCF的度数为30°．
2．如图，在菱形ABCD中，BC＝2，∠C＝120°，Q为AB的中点，P为对角线BD上的任意一点，则AP＋PQ的最小值为．
3.如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为6．
4．如图，已知抛物线过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为直线x＝2.若点B(2，8)，P是抛物线上的动点，当PA－PB的值最大时，点P的坐标为(－2，12)，PA－PB的最大值为3．
5．如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE＋PF取得最小值时，的值是．
模型二 角与定点
(1)点P在∠AOB内部，在边OB上找点D，在边OA上找点C，使得△PCD的周长最小．
作法：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P″，连接P′P″，分别交OA，OB于点C，D，点C，D即为所求．
结论：△PCD周长的最小值为P′P″的长．
(2)点P，Q在∠AOB内部，在边OB上找点D，在边OA上找点C，使得四边形PQDC的周长最小．
作法：分别作点P关于OA的对称点P′，点Q关于OB的对称点Q′，连接P′Q′，分别交OA，OB于点C，D，点C，D即为所求．
结论：PC＋CD＋DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC周长的最小值为PQ＋P′Q′的长．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为( B )
A．5 B．10
C．10 D．15
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴、y轴上，B，D两点的坐标分别为B(－4，6)，D(0，4)，线段EF在边OA上移动，保持EF＝3.当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为(－，0)．
8.如图，∠AOB＝60°，P是∠AOB内的定点，且OP＝.若M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是3．
9.如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为80°.
10.如图，∠AOB＝30°，点M，N分别在边OA，OB上，且OM＝1，ON＝3，点P，Q分别在边OB，OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，－3).E为△ABC的边AB上的一动点，F为边BC上的一动点，点D的坐标为(0，－2)，则△DEF周长的最小值是.
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