27.3 垂径定理 练习(附答案)
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垂径定理
学前温故
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，CM是中线，以C为圆心，为半径画圆，则A、B、M与圆的位置关系是( )．
A．A在圆外，B在圆内，M在圆上
B．A在圆内，B在圆上，M在圆外
C．A在圆上，B在圆外，M在圆内
D．A在圆内，B在圆外，M在圆上
解析：Rt△ABC中，AB＝＝＝2，CM＝AB＝，又2＜＜4，故A在圆内，B在圆外，M在圆上．
答案：D
2．已知平面上一点到⊙O的最长距离为8 cm，最短距离为2 cm，则⊙O的半径是__________．
解析：本题分两种情况：(1)点P在⊙O内 ( http: / / www.21cnjy.com )部时，如图①所示，PA＝8 cm，PB＝2 cm，直径AB＝8＋2＝10(cm)，半径r＝AB＝10＝5(cm)；(2)点P在⊙O外部时，如图②所示，直径AB＝PA－PB＝8－2＝6(cm)，半径r＝6＝3(cm)．
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答案：3 cm或5 cm
新课早知
1．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线．
2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
3．定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
4．圆心到弦的距离叫做弦心距．
1．垂径定理
【例1】 赵州桥是我国古代劳动人民勤劳智慧 ( http: / / www.21cnjy.com )的结晶．它的主桥拱是圆弧形，半径为27.9米，跨度(弧所对的弦长)为37.4米，你能求出赵州桥的拱高(弧的中点到弦的距离)吗？
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分析：根据实物图画出几何图形，把实际问题转化为数学问题解决．
解：如图，表示主拱桥，设所在圆的圆心为O.过点O作OC⊥AB于D，交于点C.
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根据垂径定理，则D是AB的中点，C是的中点，CD为拱高．
在Rt△OAD中，AD＝AB＝37.4＝18.7(m)，OA＝27.9 m，
∴OD＝＝≈20.7(m)．
∴CD＝OC－OD≈27.9－20.7＝7.2(m)．
∴赵州桥的拱高为7.2 m.
点拨：应用垂径定理计算涉及到四条线段的长： ( http: / / www.21cnjy.com )弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h.它们之间的关系有r＝h＋d(或r＝h－d)，r2＝d2＋()2.
2．垂径定理的推论
【例2】 学习了本节课以后 ( http: / / www.21cnjy.com )，小勇逆向思维得出了一个结论：“弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧”，你认为小勇得出的结论正确吗？并说明理由．
分析：根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，而圆心到弦的两端距离相等，所以圆心在弦的垂直平分线上．
解：小勇得出的结论正确．
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理由：如图，CD是AB的垂直平分线，连接OA、OB.
因为OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，即弦的垂直平分线过圆心．
由垂直于弦的直径的性质，可知弦AB的垂直平分线CD平分弦AB所对的两条弧．
点拨：除本题的结论外，由垂径定理还可引申得到如下的结论：
(1)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧；
(2)圆的两条平行弦所夹的弧相等．
1．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为( )．
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A．2 cm B. cm
C．2 cm D．2 cm
答案：C
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足，则四边形ADOE为( )．
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A．矩形 B．平行四边形
C．正方形 D．直角梯形
答案：C
3．(2011·浙江嘉兴中考)如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为( )．
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A．6 B．8
C．10 D．12
答案：A
4．如图，DE是⊙O的直径，弦AB⊥DE，垂足为C，若AB＝6，CE＝1，则OC＝__________，CD＝__________.
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答案：4 9
5．如图，已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC＝BD.
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证明：过O作OE⊥AB于E，
则AE＝EB，CE＝ED.
∴AE－CE＝BE－DE.
∵AC＝AE－CE，BD＝BE－DE，
∴AC＝BD.
学前温故
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，CM是中线，以C为圆心，为半径画圆，则A、B、M与圆的位置关系是( )．
A．A在圆外，B在圆内，M在圆上
B．A在圆内，B在圆上，M在圆外
C．A在圆上，B在圆外，M在圆内
D．A在圆内，B在圆外，M在圆上
解析：Rt△ABC中，AB＝＝＝2，CM＝AB＝，又2＜＜4，故A在圆内，B在圆外，M在圆上．
答案：D
2．已知平面上一点到⊙O的最长距离为8 cm，最短距离为2 cm，则⊙O的半径是__________．
解析：本题分两种情况：(1)点P在⊙O内 ( http: / / www.21cnjy.com )部时，如图①所示，PA＝8 cm，PB＝2 cm，直径AB＝8＋2＝10(cm)，半径r＝AB＝10＝5(cm)；(2)点P在⊙O外部时，如图②所示，直径AB＝PA－PB＝8－2＝6(cm)，半径r＝6＝3(cm)．
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答案：3 cm或5 cm
新课早知
1．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线．
2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
3．定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
4．圆心到弦的距离叫做弦心距．
1．垂径定理
【例1】 赵州桥是我国古代劳动人民勤劳智慧 ( http: / / www.21cnjy.com )的结晶．它的主桥拱是圆弧形，半径为27.9米，跨度(弧所对的弦长)为37.4米，你能求出赵州桥的拱高(弧的中点到弦的距离)吗？
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分析：根据实物图画出几何图形，把实际问题转化为数学问题解决．
解：如图，表示主拱桥，设所在圆的圆心为O.过点O作OC⊥AB于D，交于点C.
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根据垂径定理，则D是AB的中点，C是的中点，CD为拱高．
在Rt△OAD中，AD＝AB＝37.4＝18.7(m)，OA＝27.9 m，
∴OD＝＝≈20.7(m)．
∴CD＝OC－OD≈27.9－20.7＝7.2(m)．
∴赵州桥的拱高为7.2 m.
点拨：应用垂径定理计算涉及到四条线段的长： ( http: / / www.21cnjy.com )弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h.它们之间的关系有r＝h＋d(或r＝h－d)，r2＝d2＋()2.
2．垂径定理的推论
【例2】 学习了本节课以后 ( http: / / www.21cnjy.com )，小勇逆向思维得出了一个结论：“弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧”，你认为小勇得出的结论正确吗？并说明理由．
分析：根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，而圆心到弦的两端距离相等，所以圆心在弦的垂直平分线上．
解：小勇得出的结论正确．
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理由：如图，CD是AB的垂直平分线，连接OA、OB.
因为OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，即弦的垂直平分线过圆心．
由垂直于弦的直径的性质，可知弦AB的垂直平分线CD平分弦AB所对的两条弧．
点拨：除本题的结论外，由垂径定理还可引申得到如下的结论：
(1)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧；
(2)圆的两条平行弦所夹的弧相等．
1．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为( )．
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A．2 cm B. cm
C．2 cm D．2 cm
答案：C
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足，则四边形ADOE为( )．
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A．矩形 B．平行四边形
C．正方形 D．直角梯形
答案：C
3．(2011·浙江嘉兴中考)如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为( )．
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A．6 B．8
C．10 D．12
答案：A
4．如图，DE是⊙O的直径，弦AB⊥DE，垂足为C，若AB＝6，CE＝1，则OC＝__________，CD＝__________.
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答案：4 9
5．如图，已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC＝BD.
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证明：过O作OE⊥AB于E，
则AE＝EB，CE＝ED.
∴AE－CE＝BE－DE.
∵AC＝AE－CE，BD＝BE－DE，
∴AC＝BD.