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6.3.5平面向量数量积的坐标表示--自检定时练--详解版
单选题
1.已知，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用数量的运算律及投影向量的意义求解.
【详解】依题意，，由，得，则，
所以在方向上的投影向量为.
故选：B
2．已知向量，若，则（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据垂直向量，结合数量积的运算律或坐标表示建立方程，解之即可求解.
【详解】解法一：因为，
所以，
故，解得.
故选：A.
解法二：因为，
由
得，解得.
故选：A.
3．已知向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量模长的坐标表示由二次函数最值计算即可得答案.
【详解】由条件可知，
则，
易知当时，.
故选：B
4．设向量，，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件
【答案】C
【分析】根据向量平行、垂直、充分和必要条件等知识确定正确答案.
【详解】若，则，解得或.
所以“”是“”的充分条件，不是必要条件，A选项错误.
所以“”是“”的充分条件，C选项正确.
若，则，解得，
所以“”不是“”的必要条件，“”不是“”的充要条件，
所以BD选项错误.
故选：C
5．已知向量且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得，计算的值，再根据平面向量夹角公式求值即可.
【详解】因为，所以，
又，所以，
则，解得，则，
所以，
又，所以.
故选：D.
6．已知是单位圆上的三个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，设出，，，表达出，结合，求出最小值.
【详解】以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，，，
则，
故，
当时，取得最小值，最小值为，
由于，故当时，最小，故最小值为，
此时，满足要求，
故选：B.
二、多选题
7.已知向量，则（ ）
A．
B．
C．与的夹角可能为
D．向量与不可能垂直
【答案】AD
【分析】利用平面向量的模长公式可判断选项AB;利用向量夹角的计算可判断选项C;利用向量垂直的坐标表示可判断选项D.
【详解】对于A:因为，所以，故A正确.
对于B:因为，所以,
当时, ，故B错误.
对于C:因为，二者不可能反向，所以与的夹角不可能为，故C错误.
对于D:因为
所以,
令,无解，所以向量与不可能垂直，故D正确.
故选：AD.
8．已知向量，，满足，，，则（ ）
A．
B．当时，
C．当时，
D．在上的投影向量的坐标为
【答案】BC
【分析】由向量坐标的线性运算，利用向量模长公式，可得A的正误；由平行向量的坐标表示，建立方程，可得B的正误；由向量坐标的线性运算，利用垂直向量坐标，可得C的正误；利用投影向量的计算方法，可得D的正误.
【详解】对于A，，，，所以，故A错误；
对于B，，，当时，，即，故B正确；
对于C，，由，可得，即，故C正确；
对于D，在上的投影向量为，故D错误，
故选：BC.
三、填空题
9.已知向量，则的最大值为 .
【答案】
【分析】首先表示出的坐标，再根据向量模的坐标表示、三角恒等变换公式及余弦函数的性质计算可得.
【详解】因为，
所以，
所以
，
所以当，即时取得最大值，且.
故答案为：
10.已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用向量夹角为钝角可得其数量积小于零，且不共线，解不等式即可.
【详解】向量与的夹角为钝角，则，
解得或；
又向量与不共线，所以，解得且；
故所求的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
11.已知，.
(1)设向量，的夹角为，求的值；
(2)求向量在向量上的投影向量；
(3)若和互相垂直，求k的值.
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据条件计算，和，利用可得结果.
（2）利用投影向量的公式计算可得结果.
（3）根据两向量垂直可得，利用数量积的坐标运算可得结果.
【详解】（1）∵，，
∴，，，
∴.
（2）向量在向量上的投影向量为.
（3）由题意得，，，
∵和互相垂直，
∴，即，
解得或.
12.已知向量，，且与的夹角为．
(1)求及；
(2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由平面向量的夹角公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得的值，计算出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值；
（2）求出向量的坐标，分析可知且向量与不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数的取值范围.
【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为，
则，解得，
所以，，则，
故.
（2）由（1）可得，且，
因为与所成的角是锐角，则，解得，
且向量与不共线，则，即，
因此，实数的取值范围是.
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6.3.5平面向量数量积的坐标表示--自检定时练--学生版
【1】知识清单
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝eq \r(x＋y)
夹角 cosθ＝ cosθ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)\r(x＋y))
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1.已知，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，若，则（ ）
A．0 B． C． D．1
3．已知向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．设向量，，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件
5．已知向量且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是单位圆上的三个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．0
二、多选题
7.已知向量，则（ ）
A．
B．
C．与的夹角可能为
D．向量与不可能垂直
8．已知向量，，满足，，，则（ ）
A．
B．当时，
C．当时，
D．在上的投影向量的坐标为
三、填空题
9.已知向量，则的最大值为 .
10.已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是 .
四、解答题
11.已知，.
(1)设向量，的夹角为，求的值；
(2)求向量在向量上的投影向量；
(3)若和互相垂直，求k的值.
12.已知向量，，且与的夹角为．
(1)求及；
(2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围．
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B C D B AD BC
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】(1) (2) (3)或
12.【答案】(1)， (2)
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