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6.3.1平面向量基本定理--自检定时练--详解版
单选题
1．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据基底满足的条件逐一分析即可.
【详解】对于：，
所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；
对于：，
所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；
对于：，
所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；
对于：设存在唯一的实数使，
则，此方程无解，故能作为平面向量的基底.故正确.
故选：.
2.在平行四边形中，点，，分别满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以为基底，根据向量的加法、减法、数乘运算求解即可.
【详解】由题意，如图，
，
故选：A
3．在中，，是的中点，与交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算及三点共线求得，由此求得的值，即可得到结果.
【详解】
∵，∴，
∴.
∵A，P，D三点共线，∴.
∵，∴.
∵E是边AB的中点，∴.
∵E，P，F三点共线，∴，
∴，解得，，
∴，即，，故.
故选：A.
4.已知，点D在线段BC上（不包括端点），向量，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算确定，且，再将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知向量且点D在线段BC上（不包括端点），
则设，则,
则，结合，可得，且，
故，
当且仅当，结合，即时取得等号，
即 的最小值为，
故选：D
5.已知平面向量满足，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将两边平方，整理得，令，所以，即可求解．
【详解】因为，且，
所以，
所以，
令，
所以，其中，
所以，
即的取值范围是．
故选：B．
6.瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，为所在平面上的点，满足，，则欧拉线一定过（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量等式的含义以及向量的运算，分别说明为的外心、垂心、重心、内心，继而根据欧拉线定理可得结论．
【详解】由题意知，即为的外心；
，则为的重心；
，
即有，
即，同理，即为的垂心；
由解析题中向量式中有两共起点的向量，
于是，，
令，
则是以为起点，向量与所在线段为邻边的菱形对角线对应的向量，
即在的平分线上,
共线,
所以点的轨迹一定通过的内心,
由欧拉线定理知，欧拉线一定过.
故选：C.
多选题
7.如图， 在中，为的中点， ，与交于点，若 ，则下面对于的描述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用平面向量基本定理及平面向量的线性运算，结合三点共线的向量性质，即可得出.
【详解】，
因为，所以，即，
由三点共线，所以，即，故A正确；
又为的中点，所以，即，
由三点共线，所以，即，故C正确；
则由，可解得，
，故B错误；
，故D错误.
故选：AC
8.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联，它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且，则以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则为的重心
C．若为的内心，则
D．若为的外心，则
【答案】BCD
【分析】对于A项，将题设和选项等式中的某个向量分别用其他两个向量表示，得出对应系数相等即得；对于B项，通过取边的中点，将向量等式化简即得；对于C项，利用三角形的内切圆半径将三个小三角形面积表示出来，代入奔驰定理化简即得；对于D项，利用两个已知内角和三角形的外心，求出三个小三角形的对应内角，表示出它们的面积，计算即得.
【详解】对于A项，由可得：，
而由可得：，
因两两互不共线，则必有，
则易得：，故A项错误；
对于B项，由可得①，
如图，不妨取的中点，连接，则有，
代入①式，化简得，
即三点共线，且点是的靠近点的三等分点，
同理可知点也是另两边上的中线的对应三等分点，
故点是的重心，故B项正确；
对于C项，不妨设的内切圆半径为，
则，代入，
可得，
整理得：，故C项正确；
对于D项，不妨设的外接圆半径为，
因为的外心，
则，，，
则.
故，故D项正确.
故选：BCD.
填空题
9.如图，△ABO中，已知，，，，则用向量，表示＝ ．
【答案】
【分析】设，结合已知可得，结合共线可得，求解即可.
【详解】设，因为，，，
所以，
又A，P，N三点共线，B，P，M三点共线，所以，
解得，所以.
故答案为：.
10.如图所示，O，A，B，C四点在正方形网格的格点处．若，则 ．
【答案】
【分析】作出辅助线，得到，从而利用向量基本定理得到答案.
【详解】连接，显然在上，且，
故，
又，故.
故答案为：
解答题
11.如图，是以向量，为邻边的平行四边形、是对角线的交点，且，．试用、表示、、．
【答案】，，
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为，，所以，，
所以
；
；
．
12.如图，在中，AQ为边BC的中线，，过点P作直线分别交边AB，AC于点M，N，且，，其中，.
(1)当时，用，表示；
(2)求的值，并求最小值.
【答案】(1)
(2)，最小值为
【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合为边的中线求解即可；
（2）结合（1）可得，再根据，求得，结合三点共线即可求出，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解.
【详解】（1）因为为边的中线，所以，
因为，，所以，，
所以，
即；
（2）由（1）可得，
因为，，
所以，，
，
由三点共线，得，
所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以最小值为.
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6.3.1平面向量基本定理--自检定时练--原卷版
【1】知识清单
平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
2.在平行四边形中，点，，分别满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，是的中点，与交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．1
4.已知，点D在线段BC上（不包括端点），向量，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5.已知平面向量满足，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，为所在平面上的点，满足，，则欧拉线一定过（ ）
A． B． C． D．
多选题
7.如图， 在中，为的中点， ，与交于点，若 ，则下面对于的描述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联，它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且，则以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则为的重心
C．若为的内心，则
D．若为的外心，则
填空题
9.如图，△ABO中，已知，，，，则用向量，表示＝ ．
10.如图所示，O，A，B，C四点在正方形网格的格点处．若，则 ．
解答题
11.如图，是以向量，为邻边的平行四边形、是对角线的交点，且，．试用、表示、、．
12.如图，在中，AQ为边BC的中线，，过点P作直线分别交边AB，AC于点M，N，且，，其中，.
(1)当时，用，表示；
(2)求的值，并求最小值.
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A A D B C AC BCD
【答案】
10.【答案】1
11.【答案】，，
12.【答案】(1) (2)，最小值为
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