2025年中考数学二轮复习专题全等三角形之倍长中线法 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
2025年中考数学二轮复习专题
全等三角形之倍长中线法
当线段出现一个中点时，特别是三角形中，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法：△ABC中AD是BC边中线
方式1： 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE
倍长中线法
例1.已知：如图，AD是△ABC的中线，求证：AB+AC＞2AD．
证明：延长AD到M，使DM＝AD，连接BM，CM，
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，
∵AD＝DM，∴四边形ABMC是平行四边形，
∴BM＝AC，在△ABM中，AB+BM＞AM，
即AB+AC＞2AD．
例题讲解
例2.已知，如图△ABC中，AB＝5，AC＝3，则中线AD的取值范围是　 　．
解：延长AD到点E，使AD＝ED，连接CE，∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中
∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝EC，在△AEC中，AC+EC＞AE，
且EC﹣AC＜AE，即AB+AC＞2AD，AB﹣AC＜2AD，
∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4，
故答案为：1＜AD＜4．
例题讲解
练习1.如图，在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是　 　．
课堂练习
例3.如图，△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC的中点，E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF．若BE＝3，CF＝4，试求EF的长．
解：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，
∵在△CDF和△BDG中，
，
∴△CDF≌△BDG（SAS），
∴BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，
∵∠C+∠ABC＝90°，
∴∠DBG+∠ABC＝90°，即∠ABG＝90°，
∵DE⊥FG，DF＝DG，
∴EF＝EG＝
＝5．
例题讲解
练习2.如图，已知AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB交AB于点E，DF平分∠ADC交AC于点F．求证：BE+CF＞EF．
课堂练习
练习3.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，求GF的长．
课堂练习
练习4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6．求CE的长．
课堂练习
例4.如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB中点，延长AB到D，使BD＝BA，延长CE至F，使得EF＝CE．求证：CD＝2CE．
证明：∵点E为AB的中点，∴BE＝AE，
在△BEF和△AEC中，
∴△BEF≌△AEC（SAS），∴BF＝AC，∠EBF＝∠A，
∵AB＝AC＝BD，∴∠ACB＝∠ABC，BF＝BD，
∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，∴∠CBD＝∠CBF，
在△CBD和△CBF中，
∴△CBD≌△CBF（SAS），
∴CD＝CF，∵CF＝CE+EF，CE＝EF，∴CF＝2CE，∴CD＝2CE．
例题讲解
练习5.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB的中点．
求证：CD＝2CE
课堂练习
练习6.已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，
求证：∠C＝∠BAE．
课堂练习
练习7.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AD是∠EAC的平分线．
课堂练习
例5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD交AB于点G，交CA的延长线于点F．求证：BG＝CF．
证明：作CM∥AB交FE的延长线于M．∵BG∥CM，
∴∠B＝∠MCE，∵E是BC中点，
∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，
∴△BEG≌△CEM，∴BG＝CM，∵AD∥EF
∴∠1＝∠FGA，
∠2＝∠F，∵∠1＝∠2，∴∠F＝∠FGA，∵AB∥CM，
∴∠FGA＝∠M，∴∠F＝∠M，∴CF＝CM，
∴BG＝CF．
例题讲解
练习8.已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC．
课堂练习
例6.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图，求证：EF＝2AD．
证明：延长AD至点G，使得AD＝DG，连接BG，CG，
∵AD＝DG，BD＝CD，∴四边形ABGC是平行四边形，
∴AC＝AF＝BG，AB＝AE＝CG，∠BAC+∠ABG＝180°，
∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAF＝∠ABG，
在△EAF和△BAG中，
∴△EAF≌△BAG（SAS）
∴EF＝AG，
∵AG＝2AD，
∴EF＝2AD．
例题讲解
练习9.如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC中点，连接PA交EF于点Q，试探究AP与EF的数量和位置关系，并证明你的结论．
课堂练习
例7.如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF＝EF，求证：BD＝CE．
证明：如图，过点D作DG∥AE，交BC于点G；
则△DGF≌△ECF，
∴DG＝CE；
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB；
∵DG∥AE，
∴∠DGB＝∠ACB，
∴∠DBG＝∠DGB，
∴DG＝BD，
∴BD＝CE．
例题讲解
练习9.如图，△ABC中，点D在AB上，E是AC延长线上一点，BD＝CE，DE交BC于点F，DF＝EF，DP∥AE交BC于点P，求证：AB＝AC．
课堂练习
1、如图1已知：AD为△ABC的中线，易证AB+AC＞2AD．
（1）如图2，在△ABC中，AC＝5，AB＝13，D为BC的中点，DA⊥AC．求△ABC的面积．
（2）问题2：如图3，在△ABC中，AD是三角形的中线．点F在中线AD上，且BF＝AC，连接并延长BF交AC于点E．求证AE＝EF．
课后练习
2.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并说明理由．
课后练习
3.如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：
（1）AE平分∠DAB；
（2）AB+CD＝AD．
课后练习
4.在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG＝CG且EG⊥CG．
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），证明：EG＝CG且EG⊥CG．
（2）如图（3）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，证明：EG＝CG且EG⊥CG．
课后练习
5.如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作FM∥AD交AC于F，求FC的长．
课后练习
6.如图所示，∠BAC＝∠DAE＝90°，M是BE的中点，AB＝AC，AD＝AE，
求证：AM⊥CD．
课后练习
7.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．
求证：∠DEN＝∠F．
课后练习