2025年中考数学二轮复习专题正方形中的半角模型 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
2025年中考数学二轮复习专题
正方形中的半角模型
例1.如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°．
求证：（1）EF＝BE+DF；
（2）
证明：（1）延长CB到G，使GB＝DF，连接AG（如图）
∵AB＝AD，∠ABG＝∠D＝90°，GB＝DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠3＝∠2，AG＝AF，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
∴∠GAE＝∠1+∠3＝45°＝∠EAF，
∵AE＝AE，∠GAE＝∠EAF，AG＝AF，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GB+BE＝EF，
∴DF+BE＝EF；
例题讲解
练习1.正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝FM；
（2）当AE＝1时，求EF的长．
变式练习
练习2.已知正方形ABCD的边长为12，E，F分别是AD，CD上的点，且EF＝10，
∠EBF＝45°，求AE的长
变式练习
例2.如图，已知边长为5正方形ABCD中，M、N分别为边BC、DC上的点，连接AM、AN，过N作NH⊥AM于点H，若∠ANH＝45°，连接MN．
（1）证明：BM＝MN﹣DN；
（2）求点A到MN的距离．
（1）证明：如图，延长CB至E，使得BE＝DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∠D＝∠ABC＝90°＝∠ABE，
在△ADN和△ABE中
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴∠BAE＝∠DAN，AE＝AN，
∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN
＝∠DAN+∠BAN＝90°，
∵NH⊥AM于点H，若∠ANH＝45°，
∴∠MAN＝45°，
∴∠EAM＝∠MAN＝45°，
在△EAM和△NAM中，
∴△EAM≌△NAM（SAS），
∴MN＝ME，
∴ME＝BM+BE＝BM+DN，
∴BM+DN＝MN，
即BM＝MN﹣DN；
（2）解：如图，过点A作AF⊥MN，
∵由（1）中△EAM≌△NAM得：
∠AMB＝∠AMF，
又∵∠ABM＝∠AFM＝90°，AM＝AM，
∴△ABM≌△AFM（AAS）
∴AB＝AF＝5，
即点A到MN的距离为5．
例题讲解
例3.已知正方形ABCD的边长为1，点M、N分别是边BC、CD的两点，若△CMN的周长为2，求：∠MAN的大小；
解：（1）延长CB到E，使BE＝DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，
∴∠D＝∠ABE＝90°，
在△ADN和△ABE中，
∴△ADN≌△ABE（SAS），
∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE，
∵△CMN的周长为2，正方形ABCD的边长为1，
∵CM+CN+MN＝2＝CD+CB，
∴MN＝2﹣CN﹣CM＝DN+BM＝ME，
在△NAM和△EAM中
∴△NAM≌△EAM（SSS），
∴∠NAM＝∠EAM＝∠BAM+∠EAB＝
∠BAM+∠DAN＝
＝45°；
例题讲解
练习3.如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为2，求△MAN的面积的最小值.
变式练习
练习4.如图，已知正方形ABCD，M，N分别是BC，CD上的点，∠MAN＝45°，连接BD分别交AM，AN于E，F，下面结论正确的是　　．
①△CMN的周长等于正方形ABCD的边长的两倍；
②点A到MN的距离等于正方形ABCD的边长；
③EF2＝BE2+DF2；
④△EMO与△FNO均为等腰直角三角形；
⑤S正方形ABCD：S△AMN＝2AB：MN．
变式练习
例4.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、B在斜边AB上，
且∠DCE＝45°，证明：DE2＝BE2+AD2
证明：
如图，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B＝45°，
把△BCE绕点C逆时针旋转90°至△ACF，连接DF，
则△BCE≌△ACF，
∴AF＝BE，∠CAF＝∠B＝45°，CF＝CE，
∴∠DAF＝∠CAF+∠BAC＝90°，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：DF2＝AF2+AD2＝BE2+AD2，
∴∠DCF＝∠ECF﹣∠DCE＝90°﹣45°＝45°＝∠DCE，
又∵CD＝CD，
∴△CDF≌△CDE（SAS），
∴DE＝DF，
∴DE2＝BE2+AD2．
例题讲解
练习5.如图4.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，EC＝2，求DE的长．
．
变式练习
练习6.已知正方形ABCD，点E，F分别在边BC，CD上．∠EAF＝∠CEF＝45°，直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N，求证：EF2＝ME2+NF2
变式练习
例5.如图所示，过正方形ABCD的顶点A在正方形ABCD的内部作∠EAF＝45°，E、F分别在BC、CD上，连接EF，作AH⊥EF于点H，求证：AH＝AB．
证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
由旋转的性质得，DF＝BG，AF＝AG，∠DAF＝∠BAG．
∵∠FAG＝∠BAG+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝90°，
∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG＝45°．
在△AEF和△AEG中，
∴△AEF≌△AEG（SAS），
∵AH、AB分别是△AEF和△AEG对应边上的高，
∴AH＝AB．
例题讲解
例6.已知，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN＝45°．
求证：MN＝DN﹣BM．
证明：如图，在DN上截取DE＝MB，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，
在△ABM与△ADE中，
∴△ABM≌△ADE（SAS），
∴AM＝AE，∠MAB＝∠EAD，
∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，
在△AMN和△AEN中，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN＝EN，∵DN﹣DE＝EN，
∴DN﹣BM＝MN．
例题讲解
例7.点E，F分别是正方形ABCD中BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，
证明：BE＝EF+DF；
证明：如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，
∴AN＝AF，∠NAF＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠NAE＝45°，
∴∠NAE＝∠FAE，
∵AE＝AE，
∴△AFE≌△ANE（SAS），
∴EF＝EN，
∴BE＝BN+NE＝DF+EF．
即BE＝EF+DF．
例题讲解
练习7.已知：如图，在正方形ABCD中，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN＝45°，AH⊥MN，垂足为H，求证：（1）MN＝DN﹣BM；
（2）AH＝AB．
变式练习
练习8.在正方形ABCD中，如果点B，F分别是CB，DC延长线上的动点，
且∠EAF＝45°，证明：EF＝DF﹣BE；
变式练习