2024-2025学年上海市静安区彭浦中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市静安区彭浦中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过点，且法向量为的直线方程是( )
A. B. C. D.
2.已知，表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.圆上动点到直线距离的最小值为( )
A. B. C. D.
4.关于曲线，有下述两个结论：曲线上的点到坐标原点的距离最小值是；曲线与坐标轴围成的图形的面积不大于，则下列说法正确的是( )
A. 、都正确 B. 正确错误 C. 错误正确 D. 、都错误
二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
5.直线的倾斜角的大小为______．
6.椭圆的焦距为______．
7.若球的表面积为，则球的体积为______．
8.过点且与直线平行的直线方程是______．
9.在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点到轨迹方程是______．
10.已知直线：与直线：的距离为，则 ______．
11.若圆：与圆：外切，则实数 ______．
12.若双曲线经过点，则此双曲线的渐近线夹角的为______．
13.已知一个圆锥的底面半径为，其侧面积为，则该圆锥的体积为 ．
14.已知实数，满足，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的方程为，求经过点的圆的切线方程．
16.本小题分
在长方体中如图，，，点是棱的中点．
求异面直线与所成角的大小；
九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体是否为鳖臑？并说明理由．
17.本小题分
已知曲线的方程为．
若曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆，求的值；
若，时，直线：与曲线相交于两点，，且，求曲线的方程．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，垂直于底面，为的中点，，为中点．
求证：平面；
若，求直线与平面所成的角．
19.本小题分
已知椭圆的一个焦点为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为、，直角坐标原点记为设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点、．
求椭圆的方程；
设椭圆上有一动点，求的取值范围；
设线段的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.或
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以点在圆为外，如图所示，
则过点的圆的切线方程有两条．
当切线的斜率不存在时，则：．
当切线的斜率存在时，设切线方程为：，即，
设圆心到直线的距离为，而圆的半径为，
则，解得，所以；
综上，切线方程为或．
16.解：取中点，连接，则，
为异面直线与所成角．
在长方体中，由，，
得，，，
为等边三角形，则．
异面直线与所成角的大小为；
连接，为的中点，，
又，，得．
底面，则，平面，得．
四面体的四个面都是直角三角形，
故四面体是鳖臑．
17.解：因为曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆，
所以曲线的标准方程为，
此时，，
所以，，
因为椭圆的离心率，
所以，
此时，
解得；
设，，
联立，消去并整理得，
因为且，
由韦达定理得，，
所以，
解得或．
则曲线的方程为或．
18.解：证明：连接，交于，连结，
因为四棱锥的底面是边长为的正方形，
所以是的中点，为的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
因为，
所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，
又底面，
所以为直线与平面所成的角，
因为，所以，
所以直线与平面所成的角等于．
19.解：由题意，得，，
则椭圆的标准方程为；
设动点，
，
，
，的取值范围为；
不存在点，使得，理由如下：
显然直线的斜率存在，可以设直线：，
联立得到，整理得，
则，
则，，
又直线与椭圆交于两点，则，
化简得，则，
，如果，则，
设直线为，
整理得，
要使得存在点，则，
整理得，，
由式得，，
则，解得，
当时，不存在点，使得．

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