/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第五章 四边形
第22讲 矩形、菱形、正方形
1．(2024·成都)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( C )
A．AB＝AD B．AC⊥BD
C．AC＝BD D．∠ACB＝∠ACD
2．(2024·济宁)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE.若OE＝3，则菱形的边长为( A )
A．6 B．8
C．10 D．12
3．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，则∠DAE的度数是( A )
A．15° B．20°
C．12.5° D．10°
4．(2024·甘肃)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为( C )
A．6 B．5
C．4 D．3
5．(2024·通辽)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，以下条件不能证明 ABCD是菱形的是( D )
A．∠BAC＝∠BCA
B．∠ABD＝∠CBD
C．OA2＋OB2＝AD2
D．AD2＋OA2＝OD2
6．(2024·吉林)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－4，0)，点C的坐标为(0，2).以OA，OC为边作矩形OABC.若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为( C )
A．(－4，－2) B．(－4，2)
C．(2，4) D．(4，2)
7．(2024·绥化)如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是( A )
A． B．6 C． D．12
8．(2024·黑龙江)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件__AC＝BD(答案不唯一)__，使得菱形ABCD为正方形．
9．(2024·广西)如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为__8__cm.
10．(2024·兰州)如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F.若AD＝4，则EF的长为__2__．
11．(2024·福建)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD.求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
在△ABE和△ADF 中，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF.
12．如图，BD平分∠ABF，A是射线BM上一点，过点A作AD∥BN，交BG于点D，过点A作AE⊥BN，过点D作DF⊥BN.
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)在BF上取点C使得CF＝BE，连接AC，CD.求证：AC⊥BD.
证明：(1)∵AE⊥BN，DF⊥BN，
∴AE∥DF.
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BN，∴四边形AEFD是矩形．
(2)∵四边形AEFD是矩形，∴AD＝EF.
∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝BC.
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC.
∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，∴AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
13．(2024·陕西)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H.若AB＝6，CE＝2，则DH的长为( B )
A．2 B．3 C． D．
14．(2024·广东)如图，菱形ABCD的面积为24，E是AB的中点，F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为__10__．
15．(2024·云南)如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥BC，四边形EFGH是矩形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长．
(1)证明：连接AC，BD交于点O，分别交FG于点N，交HG于点M.
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵四边形EFGH是矩形，∴∠HGF＝90°.
∵H，G分别是AD，DC的中点，
∴HG∥AC，HG＝AC，
∴∠GNC＝∠HGF＝90°.
∵G，F分别是DC，BC的中点，
∴GF∥BD，GF＝BD，
∴∠MOC＝∠GNC＝90°，
∴BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形．
(2)解：∵矩形EFGH的周长为22，
∴HG＋GF＝11，∴AC＋BD＝22.
∵菱形ABCD的面积为10，
∴AO＝AC，BO＝BD，AC·BD＝10，
∴AC·BD＝20.
∵(AC＋BD)2＝AC2＋2AC·BD＋BD2，
∴AC2＋BD2＝444，∴AC2＋BD2＝111，
∴AO2＋BO2＝111，∴AB2＝111，∴AB＝.
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第五章 四边形
第22讲 矩形、菱形、正方形
1．(2024·成都)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( C )
A．AB＝AD B．AC⊥BD
C．AC＝BD D．∠ACB＝∠ACD
2．(2024·济宁)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE.若OE＝3，则菱形的边长为( A )
A．6 B．8
C．10 D．12
3．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，则∠DAE的度数是( A )
A．15° B．20°
C．12.5° D．10°
4．(2024·甘肃)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为( C )
A．6 B．5
C．4 D．3
5．(2024·通辽)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，以下条件不能证明 ABCD是菱形的是( D )
A．∠BAC＝∠BCA
B．∠ABD＝∠CBD
C．OA2＋OB2＝AD2
D．AD2＋OA2＝OD2
6．(2024·吉林)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－4，0)，点C的坐标为(0，2).以OA，OC为边作矩形OABC.若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为( C )
A．(－4，－2) B．(－4，2)
C．(2，4) D．(4，2)
7．(2024·绥化)如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是( A )
A． B．6 C． D．12
8．(2024·黑龙江)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件__AC＝BD(答案不唯一)__，使得菱形ABCD为正方形．
9．(2024·广西)如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为__8__cm.
10．(2024·兰州)如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F.若AD＝4，则EF的长为__2__．
11．(2024·福建)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD.求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
在△ABE和△ADF 中，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF.
12．如图，BD平分∠ABF，A是射线BM上一点，过点A作AD∥BN，交BG于点D，过点A作AE⊥BN，过点D作DF⊥BN.
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)在BF上取点C使得CF＝BE，连接AC，CD.求证：AC⊥BD.
证明：(1)∵AE⊥BN，DF⊥BN，
∴AE∥DF.
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BN，∴四边形AEFD是矩形．
(2)∵四边形AEFD是矩形，∴AD＝EF.
∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝BC.
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC.
∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，∴AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
13．(2024·陕西)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H.若AB＝6，CE＝2，则DH的长为( B )
A．2 B．3 C． D．
14．(2024·广东)如图，菱形ABCD的面积为24，E是AB的中点，F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为__10__．
15．(2024·云南)如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥BC，四边形EFGH是矩形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长．
(1)证明：连接AC，BD交于点O，分别交FG于点N，交HG于点M.
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵四边形EFGH是矩形，∴∠HGF＝90°.
∵H，G分别是AD，DC的中点，
∴HG∥AC，HG＝AC，
∴∠GNC＝∠HGF＝90°.
∵G，F分别是DC，BC的中点，
∴GF∥BD，GF＝BD，
∴∠MOC＝∠GNC＝90°，
∴BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形．
(2)解：∵矩形EFGH的周长为22，
∴HG＋GF＝11，∴AC＋BD＝22.
∵菱形ABCD的面积为10，
∴AO＝AC，BO＝BD，AC·BD＝10，
∴AC·BD＝20.
∵(AC＋BD)2＝AC2＋2AC·BD＋BD2，
∴AC2＋BD2＝444，∴AC2＋BD2＝111，
∴AO2＋BO2＝111，∴AB2＝111，∴AB＝.
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2025年中考数学 一轮复习（回归教材夯实基础）
第五章 四边形
第22讲 矩形、菱形、正方形
考点提升训练
C
A
A
C
D
C
A
AC＝BD(答案不唯一)
2
B
10
谢谢
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