专题17.6 勾股定理全章专项复习【3大考点8种题型】
【人教版】
【考点1 探索勾股定理】 1
【题型1 利用勾股定理求线段的长】 1
【题型2 利用勾股定理求图形的面积】 5
【题型3 勾股定理的证明】 10
【考点2 勾股定理的逆定理】 15
【题型4 利用直角三角形的判定方法判断三角形的形状】 15
【题型5 勾股定理及直角三角形的判定方法的综合应用】 19
【题型6 格点中勾股定理的应用】 23
【考点3 勾股定理的应用】 27
【题型7 勾股定理在实际生活中的应用】 27
【题型8 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】 32
【考点1 勾股定理】
1.勾股定理
文字语言 符号语言 图示 变式 应用
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么.
【题型1 利用勾股定理求线段的长】
【例1】（23-24八年级·安徽铜陵·期末）如图，在荡秋千时，已知绳子长5米，荡到最高点D时秋干离地面3米，点B，C分别是点A，D在地面上的投影，若线段的长是4米，求秋千的起始位置距离地面的高度（线段的长）．
【答案】秋千的起始位置距离地面的高度为1米
【分析】本题考查了勾股定理的应用．作于点，在中，利用勾股定理求得的长，据此求解即可．
【详解】解：作于点，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴米，米，米，
在中，米，
∴米，
∴米，
答：秋千的起始位置距离地面的高度为1米．
【变式1-1】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，，，，，，点是的中点，则的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，延长交于点F，然后证明，得到，然后利用勾股定理得到，然后解题即可．
【详解】解：延长交于点F，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
故答案为：
【变式1-2】（23-24八年级·广东深圳·期末） 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，过点作，可得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可．
【详解】解：过点作，
∵长方形，
∴，
∵平分，
∴，
由翻折可得，
由勾股定理，得：，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
故选：B．
【变式1-3】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，在中，，交于点，，．
(1)若，则___________， ___________；
(2)若，求的长．
【答案】(1)8，15；
(2)．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
（1）由勾股定理计算即可得出答案；
（2）设，则，由勾股定理得出，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：8，15；
（2）解：设，则，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴．
【题型2 利用勾股定理求图形的面积】
【例2】（23-24八年级·山东聊城·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积
【答案】21
【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型．利用勾股定理，求出，从而得到，再由阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白部分面积，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：21
【变式2-1】（23-24八年级·广东汕头·期末）如图，中，平分，交于点D，延长至点E，使，连接．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据等边对等角得到，由外角的性质得到，再根据角平分线的定义得到，既可以证得，进而得到结论；
（2）根据三线合一得到，，然后根据勾股定理得到，然后利用解题即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【变式2-2】（23-24八年级·广东江门·期末）如图，正方形纸片的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、，，，若，，则正方形的面积等于 ．
【答案】74
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．由“”可证，可得，，由勾股定理可求，即可求解．
【详解】解：如图，过点作作于，过点作于，
，
，
，
，
，，
，
正方形的面积等于74，
故答案为：74．
【变式2-3】（23-24八年级·山东威海·期末）如图，在长方形中，，，．分别沿，折叠长方形，使点B，D分别落在边上的G，H处．连接，，求和的面积．
【答案】的长为，的面积为3
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，垂直平分线的性质和判定，以及等面积法求线段长，利用勾股定理得到，再结合折叠性质得到，， 推出垂直平分，利用等面积法求得，进而得到，再结合勾股定理求出，最后利用三角形面积公式求解，即可解题．
【详解】解： ，，．
，
由折叠得，，，，，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
垂直平分，
，
，且，
，
解得，
，
的长为，的面积为3．
【题型3 勾股定理的证明】
【例3】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，已知在中，于点，，是上的一点，且，连接，，并延长交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的周长；
(3)在中，设，，，请借助本题提供的图形及相关信息，设，利用的面积证明：．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)详见解析
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）证明∠1=∠2，再证明．可得．结合，再进一步的利用周长公式计算即可；
（3）先表示，．，．结合，可得结论；
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵在和中，
，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴∠1=∠2．（全等三角形的对应角相等）
∵，
∴，即．
∴．
∵，
∴是的中垂线．
∴．
∵，
∴的周长．
（3）解：∵和均为等腰直角三角形，
∴，．
∵，
∴，．
∵，
∴．
即．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等角的余角相等，勾股定理的证明方法，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式3-1】（23-24八年级·江西赣州·阶段练习）如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为a，b（），斜边长为c．
（1）请利用图1验证勾股定理．
知识应用
（2）在图1中，若，，求小正方形的面积．
（3）小明按图2的方式把边长为和的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形的边长是________．
【答案】（1）见解析；（2）9；（3）
【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，利用勾股定理进行计算，算术平方根的应用，解题的关键是数形结合．
（1）根据大正方形的面积的两种表示方法四个直角三角形的面积小正方形的面积，列式证明即可；
（2）先根据勾股定理求出，然后根据正方形的面积公式求解即可；
（3）根据两个图形的面积相等，求出图3中大正方形的面积，然后再求出边长即可．
【详解】（1）证明：∵大正方形的面积四个直角三角形的面积小正方形的面积，
，
．
（2）由勾股定理得，
∴小正方形的面积．
（3）大正方形的面积为：，
大正方形的边长：．
【变式3-2】（15-16八年级·江苏泰州·期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：．
证明：，
又S四边形，
．
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了勾股定理的证明． 连接，过点B作边上的高，则，仿照已知材料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可．
【详解】证明：连接，过点B作边上的高，则．
∵
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式3-3】（23-24八年级·河南驻马店·期末）阅读下列材料，完成任务
我们知道，平方差公式可以用如图所示的平面几何图形的面积来表示，实际上，还有一些代数式恒等式也可以用这种形式表示．
任务：
(1)图1是由2个边长分别为，的正方形和2个全等的长方形所拼成的大正方形，根据图中的信息，可以写出所表示的代数恒等式为______；
(2)图2所示的图形是由四个直角边长分别为，，斜边长为的全等的直角三角形和一个正方形的拼成的大正方形，请你用面积法推导恒等式的方法，证明勾股定理．
(3)在中，，为直角边长，为斜边长，且，，求直角三角形的斜边长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个矩形的面积和计算即可．
（2）根据正方形的面积不变性，三角形的面积公式计算证明即可．
（3）根据勾股定理，公式变形计算即可．
【详解】（1）解：根据正方形的面积等于边长的平方，得到正方形的面积为；
结合图形，得到正方形的面积还等于，
故，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴
∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴（舍去）．
【点睛】本题考查了数学公式的几何表示，完全平方公式的几何意义，勾股定理的证明，计算应用，熟练掌握公式和勾股定理是解题的关键．
【考点2 勾股定理的逆定理】
1.勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件 在中，. 在中，.
结论
区别 勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”到“数” 勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”.
联系 两者都与三角形的三边有关系
【延伸】
设三角形的三边长分别为（为最长边的长）.如果，那么这个三角形是直角三角形；如果，那么这个三角形是钝角三角形；如果，那么这个三角形是锐角三角形.
【题型4 利用直角三角形的判定方法判断三角形的形状】
【例4】（23-24八年级·陕西西安·期末）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件：
①；
②；
③，，；
④，其中可以判定是直角三角形的有 个．
【答案】2
【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，对于①④，求出各内角的度数，判断即可；对于②③，根据勾股定理逆定理判断即可．
【详解】∵，，
∴，
∴是直角三角形，
则①正确；
∵，
∴，
即，
∴是直角三角形，
则②正确；
∵，，，
∴，
∴不是直角三角形．
则③不正确；
设，根据三角形内角和定理，得
，
解得，
∴，，，
∴不是直角三角形．
则④不正确．
正确的有2个．
故答案为：2．
【变式4-1】（23-24八年级·陕西西安·期中）已知是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出，，的值，再根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴三角形的形状是直角三角形，
故选：．
【变式4-2】（23-24八年级·全国·课后作业）三角形的三边长分别是（其中为自然数），则此三角形的形状为 ．
【答案】直角三角形
【分析】根据勾股定理的逆定理即可得．
【详解】
即，满足勾股定理的逆定理
则此三角形为直角三角形
又，即两直角边的边长不相等
则此直角三角形不是等腰直角三角形
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握并灵活运用逆定理是解题关键．
【变式4-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）若实数y的立方根为2，且实数x，y，z满足．
(1)求的值；
(2)若x，y，z是的三边，试判断三角形的形状．
【答案】(1)
(2)是直角三角形．
【分析】（1）根据立方根的定义和非负数的性质进行解答；
（2）根据等腰三角形的定义解答即可．
【详解】（1）解：∵实数y的立方根是2，
∴；
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
∴是直角三角形．
【点睛】此题考查非负数的性质，立方根的定义，解题的关键是根据立方根的定义和非负数的性质得出x，y，z的值．
【题型5 勾股定理及直角三角形的判定方法的综合应用】
【例5】（23-24八年级·四川成都·期末）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC边上一动点，且不与点A、点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE=AB，连接CE．
(1)若∠AED＝20°，则∠DEC＝ 度；
(2)若∠AED＝α，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
(3)如图2，延长EC到点H，连接BH2+CH2＝2AE2，连接AH与BE交于F，试探究BE与FH的关系．
【答案】(1)45
(2)∠AEC-∠AED=45°，证明见解析
(3)BE⊥FH，BE=2FH．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE=140°，可得∠CAE=50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC=∠ACE=65°，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE=180°-2α，可得∠CAE=90°-2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC=∠ACE=45°+α，可得结论；
（3）由条件得出∠BHC=90°，进而得出BH=EH，再结合AB=AE，得出AH垂直平分BE，进一步得出结论．
【详解】（1）解：∵AB=AC，AE=AB，
∴AB=AC=AE，
∴∠ABE=∠AEB，∠ACE=∠AEC，
∵∠AED=20°，
∴∠ABE=∠AED=20°，
∴∠BAE=140°，且∠BAC=90°，
∴∠CAE=50°，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，且∠ACE=∠AEC，
∴∠AEC=∠ACE=65°，
∴∠DEC=∠AEC-∠AED=45°，
故答案为：45；
（2）猜想：∠AEC-∠AED=45°，
理由如下：∵∠AED=∠ABE=α，
∴∠BAE=180°-2α，
∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=90°-2α，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，且∠ACE=∠AEC，
∴∠AEC=45°+α，
∴∠AEC-∠AED=45°；
（3）解：BE⊥FH，BE=2FH．理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴BC2=AB2+AC2=2AB2，
∵AE=AB，BH2+CH2=2AE2，
∴BH2+CH2=2AB2=BC2，
∴∠BHC=90°，
由（2）得：∠DEC=45°，
∴∠HBE=45°，
∴BH=EH，
∵AB=AE，
∴AH垂直平分BE，
∴BE⊥FH，BE=2FH．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线判定等知识，解决问题的关键熟练掌握等腰三角形和勾股定理逆定理等相关知识．
【变式5-1】（23-24八年级·贵州贵阳·期末）如图，四边形中，，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可．
【详解】解：连接，
∵
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴四边形的面积；
故选B．
【变式5-2】（23-24八年级·河北衡水·期末）如图，在ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．
(1)若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求证：∠C＝90°；
(2)若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)60
【分析】（1）根据中点的定义和勾股定理的逆定理即可证明；
（2）根据中点的定义求出，根据勾股定理求出，再求出，然后利用三角形面积公式列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：是边的中点，是边的中点，，，
，，
，
，
是直角三角形，
；
（2）是边的中点，，
．
在中，，，，
，
，
的面积．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，线段中点的定义，三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键．
【变式5-3】（23-24八年级·广东河源·期末）（1）如图1，在中，，，，，求的面积；
（2）如图2，在中，，，，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据勾股定理求出，，求出，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，根据勾股定理求出，求出，再求出的面积即可；
（2）过点作，交的延长线于点．设，则，根据勾股定理得出，代入求出，再求出，最后求出的面积即可；
【详解】解：（1） ，，，
，，
，
，
，
由勾股定理得，
，
．
（2）如图，过点作，交的延长线于点．设，则，
在和中，由勾股定理得，，
，
，
解得，即，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识点，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
【题型6 格点中勾股定理的应用】
【例6】（23-24八年级·山东淄博·期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，则∠CBD+∠ABC＝ ．
【答案】45°
【分析】取格点E，连接BE、AE．利用勾股定理得到BE＝BD，根据等腰三角形的性质得出∠CBE＝∠CBD．由勾股定理的逆定理以及AB＝AE证明△ABE是等腰直角三角形，进而求出∠CBD+∠ABC＝45°．
【详解】解：如图，取格点E，连接BE、AE
由勾股定理得，BE2＝12+52＝26，BD2＝12+52＝26，
∴BE＝BD，
∵BC⊥ED，
∴∠CBE＝∠CBD
∵AB2＝22+32＝13，AE2＝22+32＝13，
∴AB2+AE2＝BE2，AB＝AE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE＝∠CBE+∠ABC＝45°，
∴∠CBD+∠ABC＝45°
故答案为：45°．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．
【变式6-1】（23-24八年级·福建南平·期末）如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【分析】此题考查勾股定理及其逆定理，证明直角三角形，即可得到答案.
【详解】解：连接，
，
∴，
∴直角三角形，
∴点符合题意，
用同样的方法证明其它点不符合要求，
故选：D
【变式6-2】（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，在单位为1的正方形网格中，有三条线段a，b，c（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答： ．（填“能”或“不能”．）
【答案】能
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】由题意得
∴
∴能构成直角三角形
故答案为：能．
【点睛】本题考查勾股定理以及逆定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式6-3】（23-24八年级·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个．
【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；
当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．
故选C．
【考点3 勾股定理的应用】
【题型7 勾股定理在实际生活中的应用】
【例7】（23-24八年级·河北承德·期末）如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处．
（1）求小明家离小红家的距离；
（2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值．
【答案】（1）米；（2）见解析，米
【分析】（1）如图，连接AB，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）如图，连接AB，
由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，
∵AB＞0
∴AB=1300米；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．
驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，
由题意知AD=200米，A'C⊥MN，
∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，
在Rt△A'BC中，
∵∠ACB=90°，
∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，
∵A'B＞0，
∴A'B=1500米，
即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
【变式7-1】（12-13八年级·湖北黄冈·期末）我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．
(1)城是否受到这次台风的影响 为什么
(2)若城受到这次台风影响，那么城遭受这次台风影响有多长时间
【答案】(1)城会受台风影响
(2)6小时
【分析】本题考查勾股定理的应用，构造直角三角形是解题的关键．
（1）根据垂线段最短，故应由A点向作垂线，垂足为，若，则A城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线的长为千米的点有两点，分别设为D、G，则是等腰三角形，由于，则C是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【详解】（1）解：由点向作垂线，垂足为，
在中，，则，
因为，所以城会受台风影响；
（2）解：设上点，使千米，
是等腰三角形，
，
是的垂直平分线，
，
在中，千米，千米，
有勾股定理得，（千米）
则千米，
遭受台风影响的时间是：小时
【变式7-2】（23-24八年级·四川资阳·期末）如图，在倾斜角为（即）的山坡上有一棵树，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树的根部C处，已知， ．
(1)求这两棵树的水平距离；
(2)求树的高度．
【答案】(1)3m
(2)6m
【分析】（1）根据平行的性质，证得，根据勾股定理即可求得．
（2）在中，根据勾股定理即可解得．
【详解】（1）由题可知，
∴，
∴
在中，
，
∴，
∴（m）．
即这两棵树的水平距离为3m．
（2）在中，
∴，
∴（m）．
即树的高度为6m．
【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是熟悉勾股定理的实际应用．
【变式7-3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．
(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？
(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．
【答案】(1)见解析，80米
(2)超速，见解析
【分析】（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度；
（2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可．
【详解】（1）过点A作，交l于点D．
，
在中，，
由勾股定理得
，
新路长度是80米．
（2）该车超速
在中，，
由勾股定理得
，
该车经过区间用时
∴该车的速度为
该车超速．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．
【题型8 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】
【方法总结】立体图形表面的最短路线的一般解题步骤：
【例8】（23-24八年级·四川达州·期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：，
解得：．
故选：C．
【变式8-1】（23-24八年级·广西南宁·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ．
【答案】10
【分析】将圆柱侧面展开再进行点标注，此时长方形的长为圆柱底面周长的一半，如图，作关于的对称点，连接，过点作于点，则即为最短距离，的长度即为所求，接下来结合已知数据，根据勾股定理相信你可以求出的长了．
本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
【详解】解：如图：作关于的对称点，连接，过点作于点，则即为最短距离，
∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，
∴ ，，
∴，
在中，，
故答案为：10．
【变式8-2】（23-24八年级·山东威海·期末）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于，连接，
此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程，
∵米，米，点到的距离是米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∴这只蚂蚁的最短行程应该是米．
故选：C．
【变式8-3】（23-24八年级·山东日照·期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ．
【答案】25
【分析】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，
，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
，
蚂蚁爬行的最短距离是25，
故答案为：25．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题17.6 勾股定理全章专项复习【3大考点8种题型】
【人教版】
【考点1 探索勾股定理】 1
【题型1 利用勾股定理求线段的长】 1
【题型2 利用勾股定理求图形的面积】 3
【题型3 勾股定理的证明】 4
【考点2 勾股定理的逆定理】 6
【题型4 利用直角三角形的判定方法判断三角形的形状】 6
【题型5 勾股定理及直角三角形的判定方法的综合应用】 7
【题型6 格点中勾股定理的应用】 8
【考点3 勾股定理的应用】 9
【题型7 勾股定理在实际生活中的应用】 9
【题型8 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】 11
【考点1 勾股定理】
1.勾股定理
文字语言 符号语言 图示 变式 应用
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么.
【题型1 利用勾股定理求线段的长】
【例1】（23-24八年级·安徽铜陵·期末）如图，在荡秋千时，已知绳子长5米，荡到最高点D时秋干离地面3米，点B，C分别是点A，D在地面上的投影，若线段的长是4米，求秋千的起始位置距离地面的高度（线段的长）．
【变式1-1】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，，，，，，点是的中点，则的长为 ．
【变式1-2】（23-24八年级·广东深圳·期末） 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
【变式1-3】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，在中，，交于点，，．
(1)若，则___________， ___________；
(2)若，求的长．
【题型2 利用勾股定理求图形的面积】
【例2】（23-24八年级·山东聊城·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积
【变式2-1】（23-24八年级·广东汕头·期末）如图，中，平分，交于点D，延长至点E，使，连接．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的面积．
【变式2-2】（23-24八年级·广东江门·期末）如图，正方形纸片的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、，，，若，，则正方形的面积等于 ．
【变式2-3】（23-24八年级·山东威海·期末）如图，在长方形中，，，．分别沿，折叠长方形，使点B，D分别落在边上的G，H处．连接，，求和的面积．
【题型3 勾股定理的证明】
【例3】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，已知在中，于点，，是上的一点，且，连接，，并延长交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的周长；
(3)在中，设，，，请借助本题提供的图形及相关信息，设，利用的面积证明：．
【变式3-1】（23-24八年级·江西赣州·阶段练习）如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为a，b（），斜边长为c．
（1）请利用图1验证勾股定理．
知识应用
（2）在图1中，若，，求小正方形的面积．
（3）小明按图2的方式把边长为和的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形的边长是________．
【变式3-2】（15-16八年级·江苏泰州·期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：．
证明：，
又S四边形，
．
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：．
【变式3-3】（23-24八年级·河南驻马店·期末）阅读下列材料，完成任务
我们知道，平方差公式可以用如图所示的平面几何图形的面积来表示，实际上，还有一些代数式恒等式也可以用这种形式表示．
任务：
(1)图1是由2个边长分别为，的正方形和2个全等的长方形所拼成的大正方形，根据图中的信息，可以写出所表示的代数恒等式为______；
(2)图2所示的图形是由四个直角边长分别为，，斜边长为的全等的直角三角形和一个正方形的拼成的大正方形，请你用面积法推导恒等式的方法，证明勾股定理．
(3)在中，，为直角边长，为斜边长，且，，求直角三角形的斜边长．
【考点2 勾股定理的逆定理】
1.勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件 在中，. 在中，.
结论
区别 勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”到“数” 勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”.
联系 两者都与三角形的三边有关系
【延伸】
设三角形的三边长分别为（为最长边的长）.如果，那么这个三角形是直角三角形；如果，那么这个三角形是钝角三角形；如果，那么这个三角形是锐角三角形.
【题型4 利用直角三角形的判定方法判断三角形的形状】
【例4】（23-24八年级·陕西西安·期末）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件：
①；
②；
③，，；
④，其中可以判定是直角三角形的有 个．
【变式4-1】（23-24八年级·陕西西安·期中）已知是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
【变式4-2】（23-24八年级·全国·课后作业）三角形的三边长分别是（其中为自然数），则此三角形的形状为 ．
【变式4-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）若实数y的立方根为2，且实数x，y，z满足．
(1)求的值；
(2)若x，y，z是的三边，试判断三角形的形状．
【题型5 勾股定理及直角三角形的判定方法的综合应用】
【例5】（23-24八年级·四川成都·期末）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC边上一动点，且不与点A、点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE=AB，连接CE．
(1)若∠AED＝20°，则∠DEC＝ 度；
(2)若∠AED＝α，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
(3)如图2，延长EC到点H，连接BH2+CH2＝2AE2，连接AH与BE交于F，试探究BE与FH的关系．
【变式5-1】（23-24八年级·贵州贵阳·期末）如图，四边形中，，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（23-24八年级·河北衡水·期末）如图，在ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．
(1)若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求证：∠C＝90°；
(2)若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求ABC的面积．
【变式5-3】（23-24八年级·广东河源·期末）（1）如图1，在中，，，，，求的面积；
（2）如图2，在中，，，，求的面积．
【题型6 格点中勾股定理的应用】
【例6】（23-24八年级·山东淄博·期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，则∠CBD+∠ABC＝ ．
【变式6-1】（23-24八年级·福建南平·期末）如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【变式6-2】（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，在单位为1的正方形网格中，有三条线段a，b，c（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答： ．（填“能”或“不能”．）
【变式6-3】（23-24八年级·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【考点3 勾股定理的应用】
【题型7 勾股定理在实际生活中的应用】
【例7】（23-24八年级·河北承德·期末）如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处．
（1）求小明家离小红家的距离；
（2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值．
【变式7-1】（12-13八年级·湖北黄冈·期末）我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．
(1)城是否受到这次台风的影响 为什么
(2)若城受到这次台风影响，那么城遭受这次台风影响有多长时间
【变式7-2】（23-24八年级·四川资阳·期末）如图，在倾斜角为（即）的山坡上有一棵树，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树的根部C处，已知， ．
(1)求这两棵树的水平距离；
(2)求树的高度．
【变式7-3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．
(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？
(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．
【题型8 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】
【方法总结】立体图形表面的最短路线的一般解题步骤：
【例8】（23-24八年级·四川达州·期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（23-24八年级·广西南宁·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ．
【变式8-2】（23-24八年级·山东威海·期末）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米
A． B． C． D．
【变式8-3】（23-24八年级·山东日照·期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ．
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