专题18.1 平行四边形【十大题型】
【人教版】
【题型1 由平行四边形的性质求解】 2
【题型2 由平行四边形的性质证明】 3
【题型3 判定平行四边形的条件】 5
【题型4 证明平行四边形】 6
【题型5 确定平行四边形的个数】 7
【题型6 利用平行四边形的判定与性质求解】 8
【题型7 利用平行四边形的判定与性质证明】 9
【题型8 平行四边形的判定与性质的应用】 10
【题型9 利用平行四边形的判定与性质解决新定义问题】 12
【题型10 利用平行四边形的判定与性质解决阅读类问题】 14
知识点1：平行四边形的性质
性质 数学语言 图示
边 平行四边形的对边相等 四边形是平行四边形，
角 平行四边形的对角相等 四边形是平行四边形，
对角线 平行四边形的对角线互相平分 四边形是平行四边形，
【拓展延伸】
（1）证明平行四边形的性质时，一般通过作对角线把四边形转化为三角形来解答.
（2）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了理论依据.
（3）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形.
（4）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形面积的四分之一；相邻两个三角形周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值.
【规律方法】
（1）平行四边形的邻角互补；
（2）若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积.
【题型1 由平行四边形的性质求解】
【例1】（24-25八年级·吉林长春·期末）如图，在平行四边形中，，过的中点E作 于点 F，延长交的延长线于点 G，则的长为（ ）．
A． B． C．8 D．
【变式1-1】（24-25八年级·全国·期末）如图， 的对角线相交于点O， 且， 过点O作， 交于点M．如果的周长为18， 那么的周长是 ．
【变式1-2】（23-24八年级·安徽黄山·期末）如图，是平行四边形的对角线，点在上，，则的度数是 ．
【变式1-3】（2024·北京通州·二模）如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值 ．
【题型2 由平行四边形的性质证明】
【例2】（23-24八年级·北京海淀·期末）如图1，和是的对角线，．点为射线上的一点，连接．
(1)当点在线段的延长线上，且时，
①依题意补全图1；
②求证：；
(2)如图2，当点在线段上，且时，用等式表示线段，和的数量关系，并证明．
【变式2-1】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，在中，点E，F分别在上，且，连接，交于点O．求证：．
【变式2-2】（23-24八年级·陕西汉中·期末）如图，在中，连接，延长至点E，延长至点F，使，连接．求证：．
【变式2-3】（23-24八年级·重庆渝北·期末）如图，在平行四边形中，对角线平分，且，点F为边上一点，连接交对角线于点G．
(1)如图1，已知于点F，，，求线段的长．
(2)如图2，已知点E为边上一点，连接交线段于点H，且满足，，求证：．
知识点2：平行四边形的判定
判定方法 数学语言 图形
边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义） 四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （或）， 四边形是平行四边形.
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形.
【题型3 判定平行四边形的条件】
【例3】（23-24八年级·山东济宁·阶段练习）如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．如果点同时出发，设运动时间为，则当 时，以为顶点的四边形是平行四边形．
【变式3-1】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接，，，，添加下列条件后不能使四边形成为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（23-24八年级·浙江·期末）如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是 ．
【变式3-3】（23-24八年级·湖南郴州·期末）如图，在四边形中，，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时．点P运动了 秒．
【题型4 证明平行四边形】
【例4】（24-25八年级·山东济宁·期中）如图，是内部的一点，连接，，把绕点逆时针旋转得到线段，把绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，．．
(1)若，求的长；
(2)求证：四边形是平行四边形．
【变式4-1】（24-25八年级·广东东莞·阶段练习）如图，同学们用直尺和三角板画平行线，将一块三角板的一边贴着直尺推移到的位置．连接，证明得到的四边形是平行四边形．
【变式4-2】（24-25八年级·安徽黄山·期中）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是，．连接交于点．求证：四边形是平行四边形．
【变式4-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)请在图中连接，若恰好平分，求证：四边形是平行四边形．
【题型5 确定平行四边形的个数】
【例5】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在4×4的正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，定义：由格点为顶点的平行四边形叫格点平行四边形．图中以A、B为顶点，面积为2的格点平行四边形的个数为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式5-1】（23-24八年级·北京顺义·期末）如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．8个 D．11个
【变式5-2】（23-24八年级·安徽阜阳·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式5-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．9个 D．11个
【题型6 利用平行四边形的判定与性质求解】
【例6】（24-25八年级·吉林长春·期末）如图，在等腰中，腰长为5，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．13
【变式6-1】（24-25八年级·四川遂宁·期末）如图，，以为圆心，长为半径的圆弧交射线于点，连接．若，则的度数为 ．
【变式6-2】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，四边形中，是的中点，于点，若，四边形的面积为24，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【变式6-3】（23-24八年级·湖北襄阳期末）如图，在四边形中，，，则 ．
【题型7 利用平行四边形的判定与性质证明】
【例7】（23-24八年级·陕西咸阳·期末）在四边形中，对角线交于点O．
(1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形；
(2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形；
(3)如图3，若，求的最小值．
【变式7-1】（24-25八年级·四川遂宁·期末）已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F 分别是和上的点， 且．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)求证：；
(3)求证：经过点O ．
【变式7-2】（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图，在平行四边形中，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求平行四边形的面积．
【变式7-3】（23-24八年级·贵州毕节·期末）平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接 ，如图1．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与 分别交于点G H R，如图2
①当时时，求的长．
②探究与的数量关系，直接写出答案．
【题型8 平行四边形的判定与性质的应用】
【例8】（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．求这个四边形停车位的面积．
【变式8-1】（23-24八年级·浙江金华·期中）如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？
【变式8-2】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形．
(1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面）
(2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______．
【变式8-3】（23-24八年级·云南昭通·期末）巩义某中学体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为米，现要做一个不锈钢的扶手及两根与垂直且长为1米的不锈钢架杆和（杆子的底端分别为），且，则所用不锈钢材料的总长度为 米．
【题型9 利用平行四边形的判定与性质解决新定义问题】
【例9】（23-24八年级·湖南娄底·期末）定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ；
②如图3，当时，则长为 ．
猜想论证：
（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
【变式9-1】（23-24八年级·浙江宁波·期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．
(1)如图1，四边形的顶点A、B、C在格点上，请你在的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求点D在格点上；
(2)如图2，在中，E是上一点，F是上一点，，，请证明四边形是等邻边四边形；
(3)如图3，在中，，，M、N分别为边上一点（N不与两端点重合），连结，，，当四边形是等邻边四边形时，请直接写出的长度．
【变式9-2】（23-24八年级·北京西城·期中）对于平面直角坐标系中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，称P，Q两点间距离的最小值为图形M，N间的“近距离”，记作．在中，点，，，．
(1)d（点O，）__________．
(2)若点P在y轴正半轴上，d（点P，），直接写出点P坐标；
(3)已知点，，，，顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形W．
①当时，在图2中画出图形W，直接写出的值；
②若，直接写出a的取值范围．
【变式9-3】（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，对于线段和点Q，给出如下定义：若在直线上存在点P，使得四边形为平行四边形，则称点Q为线段的“银杏点”．已知．
(1)在中，线段的“银杏点”是 ；
(2)点Q为直线上一点，若点Q是线段的“银杏点”且不在第二象限，求k的取值范围；
(3)已知正方形边长为1，以为中心且各边与坐标轴垂直，点M，N在线段上．若对于正方形上的任意一点，都存在线段，使得该点为线段的“银杏点”，直接写出t的取值范围．
【题型10 利用平行四边形的判定与性质解决阅读类问题】
【例10】（23-24八年级·山东潍坊·期中）【阅读材料】
老师的问题：如图1，在中，，分别交，于点，，，垂足为点，，，求的值． 小亮的思路：过点作，交的延长线于点，构造（如图2），经过推理和计算能够求出的值．
【解答问题】
（1）的值是______；
（2）你还有其他添加辅助线的方法吗？写出你的求解过程；
（3）如图3，中，是上的一点，连接，且交于点，，，，求证：．
【变式10-1】（2024·江苏南通·八年级期末）【阅读材料】
【解答问题】请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由．
老师的问题：如图，在中，点在上，连接，只用一把无刻度的直尺，求作四边形，使得四边形是平行四边形． 小明的作法：（）连接，，相交于点； （）连接并延长，交于点；（）连接．四边形即为所求．
【变式10-2】（2024·山西吕梁·八年级期末）阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的学习任务．
斯坦纳一雷米欧斯定理 对于命题“等腰三角形的两个底角的平分线相等”，利用全等三角形的知识很容易获得证明，年德国数学家雷米欧斯在他给斯图姆的信中提出了它的逆命题“如果三角形中两内角平分线相等，三角形必为等腰三角形”，并要求给出这一命题的几何证明后来瑞士几何学家斯坦纳给出了证明，因此把这一定理叫做斯坦纳雷米欧斯定理． 下面给出该定理的一种证明方法不完整： 已知：如图，在中，，分别是，的平分线，且． 求证：． 证明：如图，作，取，连接，且使点，在的两侧，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点． ， ， ，． ，，， ． ，依据， ， ， ， ．依据
学习任务：
(1)分别写出上述证明过程中的“依据”和“依据”．
依据：______．
依据：______．
(2)在上面证明过程的基础上，求证：四边形是平行四边形．
(3)请结合材料和中的证明过程，完成该定理的证明．
【变式10-3】（23-24八年级·山东临沂·期末）如图，已知和是等边三角形，点、分别为边、上的点，且，连接、．
(1)小华同学猜想：“四边形是平行四边形”，下面是她的证明过程，请阅读并将其证明过程补充完整．
证明：为等边三角形，
，，
在和中
．
(2)若，求四边形的面积．
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【题型2 由平行四边形的性质证明】 6
【题型3 判定平行四边形的条件】 11
【题型4 证明平行四边形】 15
【题型5 确定平行四边形的个数】 19
【题型6 利用平行四边形的判定与性质求解】 22
【题型7 利用平行四边形的判定与性质证明】 25
【题型8 平行四边形的判定与性质的应用】 32
【题型9 利用平行四边形的判定与性质解决新定义问题】 37
【题型10 利用平行四边形的判定与性质解决阅读类问题】 50
知识点1：平行四边形的性质
性质 数学语言 图示
边 平行四边形的对边相等 四边形是平行四边形，
角 平行四边形的对角相等 四边形是平行四边形，
对角线 平行四边形的对角线互相平分 四边形是平行四边形，
【拓展延伸】
（1）证明平行四边形的性质时，一般通过作对角线把四边形转化为三角形来解答.
（2）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了理论依据.
（3）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形.
（4）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形面积的四分之一；相邻两个三角形周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值.
【规律方法】
（1）平行四边形的邻角互补；
（2）若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积.
【题型1 由平行四边形的性质求解】
【例1】（24-25八年级·吉林长春·期末）如图，在平行四边形中，，过的中点E作 于点 F，延长交的延长线于点 G，则的长为（ ）．
A． B． C．8 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用平行四边形的性质成为解题的关键．
由平行四边形的性质可得，进而得到；再根据中点的定义可得；然后说明，易得；再运用勾股定理求得，最后再运用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ 四边形是平行四边形,
∴,
∴,
∵E是的中点,
∴,
∵,
∴,
∴，
，
∴，
．
故选 B．
【变式1-1】（24-25八年级·全国·期末）如图， 的对角线相交于点O， 且， 过点O作， 交于点M．如果的周长为18， 那么的周长是 ．
【答案】36
【分析】本题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形与线段垂直平分线的性质．
由四边形是平行四边形，可得，又由，可得，然后由的周长为18，求得平行四边形的周长．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴垂直平分线段，
∴，
∵的周长为18，
∴，
∴平行四边形的周长是：．
故答案为：36．
【变式1-2】（23-24八年级·安徽黄山·期末）如图，是平行四边形的对角线，点在上，，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质是关键；设；由等腰三角形的性质及三角形外角的性质得，由平行四边形的性质及已知，，则有，则，再由平行线性质即可求解．
【详解】解：设；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴；
∵，
∴，
即，
∴，
即．
故答案为：．
【变式1-3】（2024·北京通州·二模）如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值 ．
【答案】
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，垂线段最短，设，交于点，四边形是平行四边形，则，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值．
【详解】解：如图，设，交于点，过点作于点，连接
四边形是平行四边形，
，，
∵点D是的中点，为定点，
∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，即最小，
即当重合时，最小，
∴
，
∴，
∵，即，
∴，
，
∴，
．
故答案为：
【题型2 由平行四边形的性质证明】
【例2】（23-24八年级·北京海淀·期末）如图1，和是的对角线，．点为射线上的一点，连接．
(1)当点在线段的延长线上，且时，
①依题意补全图1；
②求证：；
(2)如图2，当点在线段上，且时，用等式表示线段，和的数量关系，并证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)，证明见解析．
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）①根据题意补全图形即可；②由等边对等角得出，由平行四边形的性质得出，推出，证明，即可得证；
（2）延长至点，使得，连接，由全等三角形的性质可得，由三角形外角的定义及性质得出，从而推出，即可得证．
【详解】（1）解：① 依题意补全图形
②证明：∵，
∴．
∵ 四边形是平行四边形，
∴
∴．
∵，
∴
∵，
∴．
在和中，
，
∴
∴．
（2）解：线段，和的数量关系为．
证明：延长至点，使得，连接．
由（1）②可得
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
．
【变式2-1】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，在中，点E，F分别在上，且，连接，交于点O．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，利用证得后即可证得结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
．
【变式2-2】（23-24八年级·陕西汉中·期末）如图，在中，连接，延长至点E，延长至点F，使，连接．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，由四边形是平行四边形，得到，，进一步得到，由，得到，证明，即可得到，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式2-3】（23-24八年级·重庆渝北·期末）如图，在平行四边形中，对角线平分，且，点F为边上一点，连接交对角线于点G．
(1)如图1，已知于点F，，，求线段的长．
(2)如图2，已知点E为边上一点，连接交线段于点H，且满足，，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质得，，，算出，在中，由勾股定理得到的长，再由，得到，即可得到结论；
（2）取的中点M，连接．证明，得到，从而得到，即可得到结论．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，，，
∴，，．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）取CH的中点M，连接BM．
∵，
∴，
∴．
∵，
，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理、相含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键是证明．
知识点2：平行四边形的判定
判定方法 数学语言 图形
边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义） 四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （或）， 四边形是平行四边形.
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形.
【题型3 判定平行四边形的条件】
【例3】（23-24八年级·山东济宁·阶段练习）如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．如果点同时出发，设运动时间为，则当 时，以为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】或
【分析】本题考查了平行四边形的判定、一元一次方程的应用，分两种情况：当点在的右侧时；当点在的左侧时；由当时，四边形是平行四边形，建立一元一次方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：当点在的右侧时，
由题意得：，，则，
，
当时，四边形是平行四边形，即，
解得：；
当点在的左侧时，
由题意得：，，则，
，
当时，四边形是平行四边形，即，
解得：；
综上所述，当或时，以为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：或．
【变式3-1】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接，，，，添加下列条件后不能使四边形成为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质可得，，，分别分析每个选项，根据平行四边形的判定和全等三角形的判定和性质进行求证即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，故，，，
A. 添加，则，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
故添加该选项的条件能使四边形成为平行四边形；
B. 添加，则又∵，
∴四边形是平行四边形，
故添加该选项的条件能使四边形成为平行四边形；
C. 添加，则，，，
∴
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
故添加该选项的条件能使四边形成为平行四边形；
D. 添加，无法证明四边形是平行四边形，
故添加该选项的条件不能使四边形成为平行四边形；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
【变式3-2】（23-24八年级·浙江·期末）如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是 ．
【答案】①④
【分析】根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论．
【详解】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，OB=OD，OA=OC，
∵BF=DE，
∴BF-OB=DE-OD，
即OF=OE，
∴四边形AECF是平行四边形；
②∵AE=CF，不能判定△ABE≌△CDF，
∴不能判定四边形AECF是平行四边形；
③∠EAB=∠FCO不能判定四边形AECF是平行四边形；
④∵AF∥CE，
∴∠AFB=∠CED，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF=DE，
∴BF-OB=DE-OD，
即OF=OE，
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形；
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式3-3】（23-24八年级·湖南郴州·期末）如图，在四边形中，，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时．点P运动了 秒．
【答案】或
【分析】由题意可得，分或两种情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】设点P运动了t秒，
∴，，，，
①当时，且，则四边形是平行四边形，
即，
∴；
②当时，且，则四边形是平行四边形，
即，
∴，
综上所述：当直线在四边形内部截出一个平行四边形时，点P运动了秒或秒，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
【题型4 证明平行四边形】
【例4】（24-25八年级·山东济宁·期中）如图，是内部的一点，连接，，把绕点逆时针旋转得到线段，把绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，．．
(1)若，求的长；
(2)求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）证明是等边三角形，是等边三角形，得出，证明，证明，得出即可；
（2）证明，得出，根据，得出，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
同理：是等边三角形，
，
，
，
．
，，
．
．
（2）证明：，
，
，，
．
，，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
【变式4-1】（24-25八年级·广东东莞·阶段练习）如图，同学们用直尺和三角板画平行线，将一块三角板的一边贴着直尺推移到的位置．连接，证明得到的四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的判定，根据平移的性质，得到，即可得证。
【详解】证明：∵将一块三角板的一边贴着直尺推移到的位置，
∴
∴四边形是平行四边形．
【变式4-2】（24-25八年级·安徽黄山·期中）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是，．连接交于点．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定及等腰三角形的性质．解决本题的关键是熟练掌握旋转的性质与平行四边形的判定，由，，可得，从而得出，再由平行线的性质可得，可得出，最后由平行四边形的判定可得结论．
【详解】证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【变式4-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)请在图中连接，若恰好平分，求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得出、，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定，然后根据等量代换即可证明结论；
（2）如图：连接，由（1）得，，由等腰三角形三线合一可得，再证明，即，再结合即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴（两直线平行，内错角相等）
∵是的平分线，
∴
∴
∴（等边对等角）.
∴
（2）解：如图：连接
由（1）得，.
∵恰好平分，
∴（等腰三角形三线合一）
在和中，
∴,
∴（全等三角形的对应边相等），
又∵，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
【题型5 确定平行四边形的个数】
【例5】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在4×4的正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，定义：由格点为顶点的平行四边形叫格点平行四边形．图中以A、B为顶点，面积为2的格点平行四边形的个数为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】根据已知，高为1，再去图上寻找符合的平行四边形 ．
【详解】解：根据AB=2，平行四边形面积为2
所以，高=1
以AB为边，满足条件的有6个，
以AB为对角线满足条件的3个合计9个．
故选D．
【点睛】本题需要理解题意，正确找到平行四边形的高，再图中找到满足定义平行四边形是关键．
【变式5-1】（23-24八年级·北京顺义·期末）如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．8个 D．11个
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键掌握平行四边形的判定定理，属于中考常考题型．
根据平行四边形的判定定理，即可解决问题．
【详解】解：如图，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画11个，
故选：D．
【变式5-2】（23-24八年级·安徽阜阳·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形．
【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的，
∴是正六边形，
∴，，是正六边形的对角线，
可得，
∴四边形是平行四边形，
同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个，
故选C．
【变式5-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．9个 D．11个
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定，两组对边必须平行，可以得出上下各两个平行四边形符合要求，以及特殊四边形矩形与正方形即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：一共11个面积为4的阵点平行四边形．
故选：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定得出结论是解题的关键．
【题型6 利用平行四边形的判定与性质求解】
【例6】（24-25八年级·吉林长春·期末）如图，在等腰中，腰长为5，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．13
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质可得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形的周长为；
故选：B．
【变式6-1】（24-25八年级·四川遂宁·期末）如图，，以为圆心，长为半径的圆弧交射线于点，连接．若，则的度数为 ．
【答案】/50度
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，等边对等角，根据作图可知，，进而得到四边形为平行四边形，进而得到，等边对等角即可得出结果．
【详解】解：由作图可知：，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式6-2】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，四边形中，是的中点，于点，若，四边形的面积为24，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．
过点E作的平行线交于点G，交延长线于点F，则可证明，继而，可证明四边形是平行四边形，故四边形的面积与平行四边形的面积相等，即可求解．
【详解】解：过点E作的平行线交于点G，交延长线于点F，
∴
∵E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积与平行四边形的面积相等，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【变式6-3】（23-24八年级·湖北襄阳期末）如图，在四边形中，，，则 ．
【答案】15
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，旋转的性质及勾股定理，将绕点D顺时针旋转得到，连接，作于点H，先求出，证明四边形是平行四边形，从而求出，进而求出答案．
【详解】解：如下图，将绕点D顺时针旋转得到，连接，作于点H，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故答案为：15．
【题型7 利用平行四边形的判定与性质证明】
【例7】（23-24八年级·陕西咸阳·期末）在四边形中，对角线交于点O．
(1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形；
(2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形；
(3)如图3，若，求的最小值．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)的最小值是13
【分析】（1）利用内错角相等证得，即可根据一组对边平行且相等得到结论；
（2）证明，推出，由此证得结论；
（3）过点D作，连接得到四边形是平行四边形，由此得到，利用勾股定理求出，即可得到．
【详解】（1）证明∶，
．
又，
四边形是平行四边形．
（2）证明：由（1）可得四边形是平行四边形，
，
．
又，
，
四边形是平行四边形．
（3）解∶如图，过点D作，连接
四边形是平行四边形，
．
又，
，
，
．
，
的最小值是13．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各定理并应用解决问题是解题的关键．
【变式7-1】（24-25八年级·四川遂宁·期末）已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F 分别是和上的点， 且．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)求证：；
(3)求证：经过点O ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
（）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求证；
（）利用即可证明；
（3）连接，由点O是平行四边形的对角线的中点，可得，再由四边形是平行四边形可证得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
即，
∴；
（3）证明：连接，
∵点O是平行四边形的对角线的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴经过点O．
【变式7-2】（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图，在平行四边形中，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求平行四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解答的关键．
（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明，则，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证得结论；
（2）根据平行四边形的性质得到，再根据三线合一得到，然后利用勾股定理求得，进而利用平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，．
∴，，
∵点E是边的中点，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积为．
【变式7-3】（23-24八年级·贵州毕节·期末）平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接 ，如图1．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与 分别交于点G H R，如图2
①当时时，求的长．
②探究与的数量关系，直接写出答案．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
（1）由可得，可得，可得结论；
（2）①由等腰三角形的性质可得由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可求的长，即可求解；
②如图，过点H作于点M，证明，可得，由等腰直角三角形的性质可得，即可得结论．
【详解】（1）证明：∵平行四边形中，点O是对角线中点，
∴，
∴，且，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形；
（2）①如图2，过点D作点N，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②，
理由如下：如图，过点H作于点M，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【题型8 平行四边形的判定与性质的应用】
【例8】（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．求这个四边形停车位的面积．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，勾股定理，含直角三角形的性质，先判定四边形是平行四边形．过点作，交的延长线于点．由平行四边形的性质可得出，进而可得出，由直角三角形两锐角互余可得出，由含直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式求面积即可．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形．
如图，过点作，交的延长线于点．
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，由勾股定理，
得，
∴，
即这个四边形停车位的面积是．
【变式8-1】（23-24八年级·浙江金华·期中）如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？
【答案】见解析
【分析】根据桥垂直于河的两岸可得桥的长度为定值，将点A向下平移至点C，使的长等于河宽，连接，与河岸相交于点N，过点N作于点M，连接．利用平行四边形的性质可得为所建桥的位置．
【详解】解：如图，将点A向下平移至点C，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点N，过点N作于点M，连接．则为所建桥的位置．
∵桥垂直于河的两岸，
∴可得桥的长度为定值，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点与点之间线段最短，为定值，
∴最短，即从A地到B地的路程最短，
∴为所建桥的位置．
【点睛】此题考查了平移及最短路径问题及平行四边形得判定与性质，主要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．
【变式8-2】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形．
(1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面）
(2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，，可得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得的长即可；
（2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点，然后说明的长度为长支杆的一半即可．
【详解】（1）解：过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，，
∴四边形是平行四边形，
∴，即在地面上影子的长为2米；
故答案为：2；
（2）解：由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点，
当遮阳棚完全闭合后，每根杆的长度都一样，即的长度为长支杆的一半，
∵为长支杆的长度，为短支杆的长度．∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
【变式8-3】（23-24八年级·云南昭通·期末）巩义某中学体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为米，现要做一个不锈钢的扶手及两根与垂直且长为1米的不锈钢架杆和（杆子的底端分别为），且，则所用不锈钢材料的总长度为 米．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，含30度直角三角形的性质等知识，判定四边形为平行四边形是关键．连接，过点C作交延长线于点H；由题意可判定四边形是平行四边形，得，；依题意得米，由含30度角直角三角形求得，即可求得所用不锈钢材料的总长度．
【详解】解：连接，过点C作交延长线于点H；
，
；
米，
四边形是平行四边形，
，
，
；
，
，
（米），
米，
则所用不锈钢材料的总长度为（米）．
故答案为：．
【题型9 利用平行四边形的判定与性质解决新定义问题】
【例9】（23-24八年级·湖南娄底·期末）定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ；
②如图3，当时，则长为 ．
猜想论证：
（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
【答案】（1）①；②；（2），证明见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键．
（1）①根据含30度的直角三角形的性质解答；②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算；
（2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案．
【详解】解：（1）①∵是等边三角形，
∴，
∵是的“旋补三角形”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵是的“旋补三角形”，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∵，是的“旋补中线”，
∴，
故答案为：4；
（2）猜想．
证明：如图，延长至点E使得，连接，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式9-1】（23-24八年级·浙江宁波·期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．
(1)如图1，四边形的顶点A、B、C在格点上，请你在的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求点D在格点上；
(2)如图2，在中，E是上一点，F是上一点，，，请证明四边形是等邻边四边形；
(3)如图3，在中，，，M、N分别为边上一点（N不与两端点重合），连结，，，当四边形是等邻边四边形时，请直接写出的长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)4或7或
【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，分类讨论是解题的关键．
（1）根据题意利用网格特点做出图形即可；
（2）连接，证明，则，即可得到结论；
（3）分四种情况分别进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求，
（2）连接，
四边形是平行四边形，
，
，
∵，
，
，
，，
)，
，
四边形是“等邻边四边形”；
（3）在中，，，
∴，，
过点M作于H，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
当时，设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
即，
当时，则，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
当时，设，则，作于点G，
则，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
在中，，
∴，
∴，
∴
即，
∵，
∴这种情况不存在，
综上可知，的长度为4或7或．
【变式9-2】（23-24八年级·北京西城·期中）对于平面直角坐标系中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，称P，Q两点间距离的最小值为图形M，N间的“近距离”，记作．在中，点，，，．
(1)d（点O，）__________．
(2)若点P在y轴正半轴上，d（点P，），直接写出点P坐标；
(3)已知点，，，，顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形W．
①当时，在图2中画出图形W，直接写出的值；
②若，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)4
(2)或
(3)①②
【分析】（1）由的点坐标可知为对角线的交点，可知点到，的距离相等且为6；点到，的距离相等；如图1，记与轴的交点为，，在中，由勾股定理得，设到的距离为，根据，求出的值，然后与6比较取最小值即可；
（2）作于，分为点P在点M的上方和下方，两种情况讨论，由d（点 P， ），可知，且，在中，由勾股定理得，求出的值，进而可得点坐标；
（3）①由，可得，在坐标系中描点，依次连接如图3所示，即为图形，过点作，垂足为K，延长，交于，由点坐标可知，进而得到，可知，，，根据勾股定理求出，即可求解；②过点E，G作直线，分别交于点P，L，由的点坐标可知，，，四边形是一个大小不变的平行四边形，且点沿着直线运动，分情况求解：当在x轴下方和上方，即当和，两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：由的点坐标可知为对角线的交点，
∴点到，的距离相等且为6；点到，的距离相等；
如图1，记与轴的交点为，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
设到的距离为，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴ d(点O ，) 的值为4，
故答案为：4．
（2）解：作于，
如图1，当点P在点M的上方时，
∵d（点 P， ），
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
点P坐标为；
如图2，当点P在点M的下方时，
同理可得：，
，
点P坐标为；
综上，点P坐标为或．
（3）解：①∵，
∴，
在坐标系中描点，依次连接如图3所示，即为图形，过点作，垂足为K，延长，交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
（负值舍去），
，
，
，
∴的值为．
②如图4，过点E，G作直线，分别交于点P，L，
由的坐标可知，，，四边形是一个大小不变的平行四边形，且点沿着直线运动，
由①知，
四边形是平行四边形，
，
，
，
∵，
，
，
当在x轴下方时，，此时，
，
，
，
，
，
解得：，
；
当在x轴上方时，，此时，
，，
，
，
，
解得：，
∴；
综上，时，．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，点到直线的距离相等，新定义下的实数运算等知识．解题的关键在于理解题意，分情况求解．
【变式9-3】（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，对于线段和点Q，给出如下定义：若在直线上存在点P，使得四边形为平行四边形，则称点Q为线段的“银杏点”．已知．
(1)在中，线段的“银杏点”是 ；
(2)点Q为直线上一点，若点Q是线段的“银杏点”且不在第二象限，求k的取值范围；
(3)已知正方形边长为1，以为中心且各边与坐标轴垂直，点M，N在线段上．若对于正方形上的任意一点，都存在线段，使得该点为线段的“银杏点”，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
(3)当时，正方形上的任意一点都存在线段，使得该点为线段的“银杏点”
【分析】（1）设点，由“平行四边形的对角线相平分”可求得点的坐标，进一步可知点所在直线的解析式，即可求解；
（2）结合（1）可知点为直线和直线的交点，即可确定点的坐标，根据点不在第二象限，即可求解；
（3）找到正方形左上角和右下角的顶点坐标即可求解．
【详解】（1）解：设，
∵，
∴的中点坐标为，
∵四边形为平行四边形，
∴的中点即为的中点，即的中点为，
∵，
∴的坐标为，
∴在直线上，
由可得直线解析式为，
而在直线上，且都不在直线上，，不在直线上，
∴线段的“银杏点”是；
故答案为：；
（2）由（1）得点在直线上，点为直线上一点，
∴点为直线和直线的交点，
①时，直线和直线平行，没有交点，
不符合题意；
②时，联立，
解得：，
即点，
假设点在第二象限，
则，
解得，
∵点不在第二象限，
∴，
综上：且；
（3）正方形边长为1，以为中心各边与坐标轴垂直，
∴正方形左上角的顶点坐标为，右下角的顶点坐标为，
若与等长，由（1）可得线段的“银杏点”在直线上，
若点与点重合时，线段的“银杏点在直线上，
当正方形左上角的顶点，
在 时，，解得；
当正方形右下角的顶点，
在 时，，解得，
故当时，正方形上的任意一点都存在线段，使得该点为线段的“银杏点”．
【点睛】本题是一次函数综合题，以新定义题型为背景，考查了平行四边形的性质、一次函数的交点等知识点，正确理解题意是解题关键．
【题型10 利用平行四边形的判定与性质解决阅读类问题】
【例10】（23-24八年级·山东潍坊·期中）【阅读材料】
老师的问题：如图1，在中，，分别交，于点，，，垂足为点，，，求的值． 小亮的思路：过点作，交的延长线于点，构造（如图2），经过推理和计算能够求出的值．
【解答问题】
（1）的值是______；
（2）你还有其他添加辅助线的方法吗？写出你的求解过程；
（3）如图3，中，是上的一点，连接，且交于点，，，，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理及其逆定理：
（1）先证明四边形是平行四边形，得到，平行线的性质，得到，勾股定理求出的长即可；
（2）过点D作，交的延长线于点M，同法（1）进行求解即可；
（3）过点A作，证明四边形为平行四边形，求出的长，勾股定理逆定理求出，得到，即可得证．
【详解】解：（1）∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）能：过点D作，交的延长线于点M
∵，
∴
∵
∴四边形为平行四边形
∴
∵
∴
∵
∴
∴在中，
；
（此问答案不唯一，正确即得分）
（3）过点A作，交的延长线于点F
∴
在中，，
∴
∵，
∴四边形为平行四边形
∴
∴
∵
∴
∴三角形为直角三角形
∴
∴
∴．
【变式10-1】（2024·江苏南通·八年级期末）【阅读材料】
【解答问题】请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由．
老师的问题：如图，在中，点在上，连接，只用一把无刻度的直尺，求作四边形，使得四边形是平行四边形． 小明的作法：（）连接，，相交于点； （）连接并延长，交于点；（）连接．四边形即为所求．
【答案】正确，理由见解析．
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质可得，，得，进而证明，得到，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：正确．
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
【变式10-2】（2024·山西吕梁·八年级期末）阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的学习任务．
斯坦纳一雷米欧斯定理 对于命题“等腰三角形的两个底角的平分线相等”，利用全等三角形的知识很容易获得证明，年德国数学家雷米欧斯在他给斯图姆的信中提出了它的逆命题“如果三角形中两内角平分线相等，三角形必为等腰三角形”，并要求给出这一命题的几何证明后来瑞士几何学家斯坦纳给出了证明，因此把这一定理叫做斯坦纳雷米欧斯定理． 下面给出该定理的一种证明方法不完整： 已知：如图，在中，，分别是，的平分线，且． 求证：． 证明：如图，作，取，连接，且使点，在的两侧，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点． ， ， ，． ，，， ． ，依据， ， ， ， ．依据
学习任务：
(1)分别写出上述证明过程中的“依据”和“依据”．
依据：______．
依据：______．
(2)在上面证明过程的基础上，求证：四边形是平行四边形．
(3)请结合材料和中的证明过程，完成该定理的证明．
【答案】(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；或角角边或两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据，即可得出依据：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；根据全等三角形的判定方法即可得出依据：或角角边或两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等．
（2）连接，利用可证，得出，进而推出，再结合，即可证得四边形是平行四边形．
（3）由平行四边形的性质可得，进而推出，再利用等腰三角形的判定：等角对等边，可得．
【详解】（1）解：由，可知推理依据为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
根据的证明过程可知推理依据为：或角角边或两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等．
故答案为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；或角角边或两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等．
（2）证明：如图，连接．
由材料可知，，，
，．
又，，
，
，
，
．
又，
四边形是平行四边形，
（3）证明：由（2）可知，四边形是平行四边形，
．
由材料可知，，
，
．
【点睛】本题主要考点全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，关键是证明，以及证明四边形是平行四边形．
【变式10-3】（23-24八年级·山东临沂·期末）如图，已知和是等边三角形，点、分别为边、上的点，且，连接、．
(1)小华同学猜想：“四边形是平行四边形”，下面是她的证明过程，请阅读并将其证明过程补充完整．
证明：为等边三角形，
，，
在和中
．
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，得出，证明，连接证明，得出，，证明为等边三角形，得出，即可证明结论；
（2）过点B作于点G，根据等边三角形的性质得出，根据勾股定理得出，根据平行四边形的性质求出结果即可．
【详解】（1）证明：为等边三角形，
，，
在和中
，
∴，
∴，
∵等边中，
∴，
连接，
∵与为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：过点B作于点G，如图所示：
根据解析（1）可知：，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定．
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