第3章 圆单元提升卷
【北师大版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24九年级·云南红河·期末）如图，是的直径，半径，是圆上，之间的一点，，与相交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理、等边对等角，先求出，再由圆周角定理得出，最后由等边对等角即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
2．（3分）（23-24·江苏南京·三模）如图，与矩形的三边分别相切于点，连接，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，连接，则，，，可证四边形为正方形，都为矩形，得到，，利用勾股定理可得，，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，则，，，
则，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴点三点共线，
∴四边形都为矩形，
∴，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
3．（3分）（23-24九年级·全国·专题练习）如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．无法计算
【答案】B
【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，对称的性质；作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接，当点P与D重合时，最小，利用勾股定理即可求得最小值．
【详解】解：如图，作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接，
则，；
∵点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，
∴，，
∴；
∵，
∴当点P与D重合时，最小，最小值为线段的长；
在中，，
由勾股定理得：，
即的最小值为；
故选：B．
4．（3分）（23-24九年级·山东威海·期末）如图，是的弦，把的劣弧沿着对折，A是对折后劣弧上的一点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题主要考查了折叠，圆内接四边形．熟练掌握折叠的性质，圆内接四边形的性质，是解决问题的关键，
将沿翻折，点A落在处，得到，点在上，根据，得到，根据，得到．
【详解】
如图，沿翻折，点A落在处，
则，
由对折知，，
∴点在上，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
故选：C．
5．（3分）（23-24九年级·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，内接于，是的直径，，点D是劣弧上一点，连结，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，先根据圆周角定理，由，则利用互余可计算出，然后根据圆内接四边形的性质得到的度数，熟练掌握三角形的外心的定义与性质是解题的关键．
【详解】
解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
6．（3分）（23-24九年级·江苏南京·期中）如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，三角形外角的性质，添加辅助线是解题的关键．根据正多边形与圆求出相应的圆心角度数，再根据圆周角定理和三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，设这个正九边形的外接圆为，
则，
∴，
∴，
故选：C．
7．（3分）（23-24九年级·山东聊城·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．先根据勾股定理得到，再根据扇形的面积公式计算出，由旋转的性质得到，于是．
【详解】解：，，
，
．
又绕A点逆时针旋转后得到，
，
．
故选：B．
8．（3分）（23-24九年级·江苏连云港·期中）如图，四边形内接于，，．劣弧沿弦翻折，刚好经过圆心．当对角线最大时，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先作好辅助线，利用翻折性质得出△OBF为等边三角形，进而得出OB，再利用过直径的三角形是直角三角形得出OE=EB=，进而即可得解.
【详解】当BD过圆心时最大，连接OA，作OE⊥AB，还原劣弧，设与点O对应的点为F，连接FB、FC、OF，OF交BC于G，如图所示：
由翻折的性质，得
OB=BF，∠OBC=∠FBC
∵翻折后刚好经过圆心
∴OB=OF
∴△OBF为等边三角形，即∠OBC=30°
∵OF⊥BC
∴
∵
∴BG=CG=1.5
∴
∵，OE⊥AB，OA=OB
∴∠ABD=∠ADB=45°
∴OE=EB=
∴
故选：A.
【点睛】此题主要考查折叠的性质以及圆性质的综合应用，解题关键是作辅助线，利用特殊角三角函数进行求解.
9．（3分）（23-24·吉林延边·模拟预测）如图，是的直径，与切于点，点在上，连接与交于点，过点作交的延长线于点．若，则的长为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质，平行线的性质，根据切线的性质可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，进而可得，即可解答．
【详解】解：与切于点，
，
∵，
，
，，
，
，
，
，
故选：C．
10．（3分）（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，是的直径，，点是圆上不与、重合的点，平分，交于，平分，交于点，与交于点．以下说法：①点是弧的中点；②；③；④若，则．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由平分可得，再由圆周角定理即可判断①；由①可得，由角平分线的定义、圆周角定理结合三角形外角的定义及性质证明，得到，即可判断②；令，则，此时，，，即，即可判断③；由，得，根据平分，得 ，从而利用直角三角形的两锐角互余得，即可判断④．
【详解】解： 平分，
，
∴，
点是的中点，故①正确，符合题意；
，
，
，
，
平分，
，
，，
，
，
，故②正确，符合题意；
是的直径，
，
∴，
令，则，此时，，，即，故③错误，不符合题意；
∵，，
∴，
∵， 平分，
∴ ，
∴，
∵，
∴，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①②④，共个，
故选：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、圆周角定理、三角形外角的定义及性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24九年级·黑龙江七台河·期末）如图，是的直径，C、D是上两点，，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质；连接，由等腰三角形的性质得，由角的和差得，由圆的基本性质得，即可求解；理解圆的基本性质是解题的关键.
【详解】解：如图，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．（3分）（23-24九年级·湖北·期末）如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，若围成圆锥的底面半径为1，则该圆形铁皮的直径是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．连接，根据扇形圆心角为，得到三点共线，为的直径，首先求得扇形的弧长，再求出圆锥的母线长，然后利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，连接，
，
三点共线，为的直径，
围成圆锥的底面半径为1，
，
，
，
，
，
该圆形铁皮的直径是，
故答案为：．
13．（3分）（23-24九年级·四川南充·期末）图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正六边形绕其中心最少旋转 ，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为2，则所得正八边形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转变换，图形规律以及等腰直角三角形的性质，由题意得正边形绕其中心最小旋转，所得图形与原图的重叠部分是正边形，旋转得到正八边形相当于将正方形剪掉了4个全等的等腰直角三角形，设等腰直角三角形的边长为，则正八边形的边长为，根据求出的值即可得解．
【详解】解：由题意得：正边形绕其中心最小旋转，所得图形与原图的重叠部分是正边形，则将一个正六边形绕其中心最少旋转所得图形与原图的重叠部分是正多边形，
由题意得：旋转得到正八边形相当于将正方形剪掉了4个全等的等腰直角三角形，
设等腰直角三角形的边长为，则正八边形的边长为，
∴，
解得：，
∴减去的每个等腰直角三角形的面积为：，
∴正八边形的面积为，
故答案为：，．
14．（3分）（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，是的外接圆，于点于点，连结，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查垂径定理，三角形中位线定理，解题的关键是利用垂径定理得到中点与．
【详解】解：是的外接圆，，，
，，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，
．
故答案为：．
15．（3分）（23-24·海南海口·模拟预测）如图，与相切于点，与弦相交于点，，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，余角性质，对顶角的性质，勾股定义，连接，由切线的性质可得，由得，又由得到，即可根据余角性质得到，进而得到，即得到，设，则，，由勾股定理可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，如图，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
解得，
即的长为，
故答案为：．
16．（3分）（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，点是正方形外接圆的劣弧上的一点，则代数式的值是 ．
【答案】；
【分析】延长PA到E，使AE=PC，连接BE，易证得△ABE≌△CBP，继而可证得△BEP是等腰直角三角形，则可求得答案．
【详解】解：延长PA到E，使AE＝PC，连接BE，
∵∠BAE+∠BAP＝180°，∠BAP+∠PCB＝180°，
∴∠BAE＝∠PCB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
在△ABE和△CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，
∴∠ABE+∠ABP＝∠ABP+∠CBP＝90°，
∴△BEP是等腰直角三角形，
∴PE=PB，
∵AE=CP，
∴PA+PC＝PE＝PB．
即：，
故答案为：．
．
【点睛】此题考查了圆的内接多边形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24九年级·湖北十堰·期中）如图，是的直径，为上的点，且，过点作于点．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行线的性质得到，根据半径相等可得，等量代换得到，进而证得结论；
（2）过点作于，根据垂径定理得到，再证明得到，然后利用勾股定理计算的长即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：过点作于，如下图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
即的半径长为．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．
18．（6分）（23-24九年级·浙江温州·期末）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上，，垂足为D，，分别交于点F，G．
(1)求证： ；
(2)若，求弧的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了圆周角定理和应用，以及弧长的计算方法，要熟练掌握．
（1）根据是 的直径，，，推出，即可推得．
（2）连接、，根据，，求出，再根据，求出，进而可得出答案．
【详解】（1）证明：∵是 的直径，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接、，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴弧的长度．
19．（8分）（23-24九年级·湖北武汉·期末）如图1，，是的弦，且，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，若，，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)13
【分析】本题考查了圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关基本知识．
（1）欲证明，只要证明即可；
（2）过点O作于点E，交于点F，连接，根据
得出，在中利用勾股定理求出，设的半径为r，则，利用勾股定理求出r即可．
【详解】（1）证明：，
，
，即，
；
（也可通过证明三角形全等解决）
（2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，，
，，
又，，
，
，
在中，，
设的半径为，中，，
，
解得，即的半径为13．
20．（8分）（23-24·宁夏银川·模拟预测）如图，为⊙的直径，、为⊙上不同于、的两点，，过点作交的延长线于点，直线与交于点．
(1)求证：为⊙的切线；
(2)填空：
①若，当时，______；
②当的度数为______时，四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)①1；②
【分析】（1）连接，如图，由于，则根据三角形外角性质得，而，所以，根据平行线的判定得到平行，再得到，然后根据切线的判定定理得为的切线；
（2）①由平行线分线段成比例可得，即可求的长；②根据三角形的内角和得到，根据等腰三角形的性质得到，连接，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，由菱形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，如图，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
为的切线；
（2）解：∵，
，
，
∵，
，
，
故答案为：；
当的度数为时，四边形是菱形，理由如下：
，
，
，
，
，
连接，
是的直径，
，而，
∴，
，
在与中，
，
≌，
，
，
∵，
四边形是菱形．
故答案为：．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21．（8分）（23-24九年级·天津宁河·期末）已知内接于，，，D是上的点．
(1)如图①，求和的大小；
(2)如图②，，垂足为E，求的大小．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查圆的内接四边形，圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
（1）由四边形是的内接四边形的性质求出答案即可；
（2）根据等弧所对的圆周角相等求出答案．
【详解】（1）解： ，
．
四边形是的内接四边形，
．
，
；
（2）解：连接．
，
．
．
．
．
22．（8分）（23-24·山东潍坊·中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接，证明，再证明，，可得，结合，从而可得结论；
（2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，证明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，则，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，
∵O为正方形中心，
∴，，而，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
∴，，
而正方形的边长，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
而，
∴．
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
23．（8分）（23-24·陕西西安·二模）【问题提出】
（1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段BD的长为___________；
【问题解决】
（2）如图②，在等腰直角中，，以AC为直径作半圆O，点D为上一动点，求点B、D之间的最大距离；
【问题探究】
（3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角以及弓形BDC组成，其中，点E为BC的中点，，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到的最大距离．
【答案】（1）；（2）；（3）小明的说法正确，见解析，
【分析】（1）连接BD，交AC于点E，根据题意BD是AC的垂直平分线，通过解直角三角形解出BE与DE的长，两者相加即可解题．
（2）结合图形，可知B，O，D三点共线时，BD有最大值，根据解直角三角形解出BO的长，加上半圆的半径，即可解答．
（3）作辅助线如图，证明，即说明小明的说法正确；可知弓形的圆心在上，当通过勾股定理求出半径的长度，再算出的长，即可解答．
【详解】解：（1）
如图，连接BD交AC于点E ，
是等腰直角三角形，为等边三角形，
，,
在与中，
，
，
，，
根据三线合一，可得垂直平分，
，
，
，
，，
．
（2）如图②，连接BO并延长交于点D，则此时BD最大．
在上取一点异于点D的点，连接、．
在中，，
，
，即．
最大
在等腰直角中，，O为AC的中点，
且．
．
．
点B、D之间的最大距离为．
（3）小明的说法正确．
如图③，过点A作BC的平行线AF，延长DE交AF于点F．
点E为BC中点，，
所在的圆的圆心O在直线DF上．
设圆O半径为r，连接BO．
在中，，
且，
，得．
连接AO并延长交于点，则为最大距离．
在中，，且，
小明的说法正确．
在中，．
．
．
点A到的最大距离为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第3章 圆单元提升卷
【北师大版】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24九年级·云南红河·期末）如图，是的直径，半径，是圆上，之间的一点，，与相交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（23-24·江苏南京·三模）如图，与矩形的三边分别相切于点，连接，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（23-24九年级·全国·专题练习）如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．无法计算
4．（3分）（23-24九年级·山东威海·期末）如图，是的弦，把的劣弧沿着对折，A是对折后劣弧上的一点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（23-24九年级·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，内接于，是的直径，，点D是劣弧上一点，连结，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（23-24九年级·江苏南京·期中）如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（23-24九年级·山东聊城·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．2
8．（3分）（23-24九年级·江苏连云港·期中）如图，四边形内接于，，．劣弧沿弦翻折，刚好经过圆心．当对角线最大时，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（23-24·吉林延边·模拟预测）如图，是的直径，与切于点，点在上，连接与交于点，过点作交的延长线于点．若，则的长为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．2
10．（3分）（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，是的直径，，点是圆上不与、重合的点，平分，交于，平分，交于点，与交于点．以下说法：①点是弧的中点；②；③；④若，则．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24九年级·黑龙江七台河·期末）如图，是的直径，C、D是上两点，，若，则 ．
12．（3分）（23-24九年级·湖北·期末）如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，若围成圆锥的底面半径为1，则该圆形铁皮的直径是 ．
13．（3分）（23-24九年级·四川南充·期末）图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正六边形绕其中心最少旋转 ，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为2，则所得正八边形的面积为 ．
14．（3分）（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，是的外接圆，于点于点，连结，若，则的长为 ．
15．（3分）（23-24·海南海口·模拟预测）如图，与相切于点，与弦相交于点，，若，，则的长为 ．
16．（3分）（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，点是正方形外接圆的劣弧上的一点，则代数式的值是 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24九年级·湖北十堰·期中）如图，是的直径，为上的点，且，过点作于点．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径长．
18．（6分）（23-24九年级·浙江温州·期末）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上，，垂足为D，，分别交于点F，G．
(1)求证： ；
(2)若，求弧的长度．
19．（8分）（23-24九年级·湖北武汉·期末）如图1，，是的弦，且，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，若，，，求的半径．
20．（8分）（23-24·宁夏银川·模拟预测）如图，为⊙的直径，、为⊙上不同于、的两点，，过点作交的延长线于点，直线与交于点．
(1)求证：为⊙的切线；
(2)填空：
①若，当时，______；
②当的度数为______时，四边形是菱形．
21．（8分）（23-24九年级·天津宁河·期末）已知内接于，，，D是上的点．
(1)如图①，求和的大小；
(2)如图②，，垂足为E，求的大小．
22．（8分）（23-24·山东潍坊·中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求阴影部分的面积．
23．（8分）（23-24·陕西西安·二模）【问题提出】
（1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段BD的长为___________；
【问题解决】
（2）如图②，在等腰直角中，，以AC为直径作半圆O，点D为上一动点，求点B、D之间的最大距离；
【问题探究】
（3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角以及弓形BDC组成，其中，点E为BC的中点，，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到的最大距离．
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