专题3.13 圆全章专项复习【4大考点13种题型】
【北师大版】
【考点1 圆的有关性质】 2
【题型1 垂径定理的应用】 3
【题型2 弧、弦、圆心角的关系】 7
【题型3 圆周角定理及其推论的应用】 12
【题型4 巧用圆内接四边形的性质求解】 21
【考点2 点和圆、直线和圆的位置关系】 26
【题型5 切线的判定】 27
【题型6 切线的性质】 33
【题型7 切线长定理】 40
【题型8 三角形的外接圆与内切圆】 46
【考点3 正多边形和圆】 52
【题型9 正多边形和圆的有关计算】 52
【题型10 正多边形中的规律探究性问题】 57
【考点4 弧长和扇形面积】 62
【题型11 圆锥侧面展开图的有关计算】 63
【题型12 不规则图形面积的计算】 69
【题型13 利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题】 76
【考点1 圆的有关性质】
知识点一 圆的定义
圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以瞧成就是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
比较圆的两种定义可知：第一种定义就是圆的形成进行描述的，第二种就是运用集合的观点下的定义，但就是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。
知识点二 圆的相关概念
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦就是线段，弧就是曲线，判断等弧首要的条件就是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才就是等弧，而不就是长度相等的弧。
知识点三 圆的对称性
圆就是轴对称图形，任何一条直径所在直线都就是它的对称轴。
知识点四 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论：平分弦（不就是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不就是直径，否则结论不成立。
知识点五 弦、弧、圆心角的关系
弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。
注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。
知识点六 圆周角定理
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角就是直角，90°的圆周角所对弦就是直径。
圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”就是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。
知识点七 圆内接四边形及其性质
圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
【题型1 垂径定理的应用】
【例1】（2024·江西吉安·三模）如图，一座石桥的主桥拱是四弧形，某时刻添得水面的宽度为8米，拱高（的中点C到水面的距离）为2米．
(1)求主桥拱所在圆的半径．
(2)在主桥拱所在圆的圆心处有一水位检测仪，若过几天某时刻的水面为，检测仪观测点的仰角为，求此时水面的宽度．（参考数据：，，）
【答案】(1)主桥拱所在圆的半径长为5米
(2)此时水面的宽度约为9米
【分析】（1）连接，，构造，通过垂径定理得出是直角三角形，再利用勾股定理即可求解．
（2）设与相交于点，根据平行线的性质得出，为直角三角形，再利用锐角三角形的余弦值即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，．
∵是的中点，，
∴，所在的直线经过圆心．
设半径，则．
∵在中，，
∴，解得．
答：主桥拱所在圆的半径长为5米．
（2）（2）如图，设与相交于点．
由题意得．
∵，∴．
∵，
∴，∴．
∵在中，，
∴，
∴．
答：此时水面的宽度约为9米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形及应用，涉及垂径定理，勾股定理的应用及平行线的性质等知识，解决问题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式1-1】（23-24九年级·安徽淮南·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．如图，用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．这根圆柱形木材的直径是多少寸？
【答案】这根圆形木材的直径为26寸
【分析】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．解决问题的关键是从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解．
【详解】解：由题可知，
∵为半径，
∴尺寸，
设，
∵，
∴，
在中，
由勾股定理得，
解得，
∴这根圆形木材的直径为26寸．
【变式1-2】（2024·河南周口·二模）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长一尺二，问径几何 ”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），求该圆材的直径为多少寸
【答案】该圆材的直径为20寸
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，过点作 于点，交于点，连接，设半径为，则，由勾股定理建立方程即可求得，从而求得圆的直径．
【详解】解：设该圆材的半径为寸．
如图所示，过点作 于点，交于点，连接，
则寸，
设寸，尺寸，
所以 寸．
在中，
即
解得，
则，即该圆材的直径为寸．
【变式1-3】（23-24九年级·河北唐山·期末）如图，装有水的水槽放在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为桌面截线，水面截线，直径一端点B刚好与点N重合，．
(1)计算的长度，并比较直径与长度的大小；
(2)请在图中画出线段，用其长度表示水的最大深度，并求水的最大深度．
【答案】(1)的长度为；直径小于长度
(2)水的最大深度为
【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论，垂径定理，含30度角的直角三角形，弧长公式．
（1）连接，由，，求出，根据弧长公式即可求解；
（3）过点O作交于点C，根据含30度角的直角三角形的特征，由，求出，再根据即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，连接．
，
，
，
，
，
直径小于长度；
（2）解：如图，过点O作交于点C，
在中，，，
，
，
，
水的最大深度为．
【题型2 弧、弦、圆心角的关系】
【例2】（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，．
(1)求证：；
(2)连接 作直线求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得；
（2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∴，
即．
∴．
（2）证明：连接
∵
∴
∴
∴
∵
∴E、O都在的垂直平分线上．
∴
【变式2-1】（23-24九年级·湖南湘西·期末）如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．连接，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得．
【详解】证明：连接．
在中， ，
，
，、分别是半径和的中点，
，
，
，
．
【变式2-2】（23-24九年级·甘肃武威·期末）已知，如图，在中，，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】此题考查了弧与弦的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．利用，，得出，，即可得，即可证．
【详解】证明：∵，，
∴，，
∴，
∴．
【变式2-3】（2024·浙江·模拟预测）已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且．
(1)如图，求证：．
(2)在图中找出一组全等的三角形，并给出证明．
(3)如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，证明见解析；
(3)．
【分析】（）由得，即得，得到，进而即可求证；
（）．由（）得，，再利用即可求证；
（）如图，连接，由垂直得，同理（）可得，得到为等腰直角三角形，即得，进而得，利用勾股定理得，设，，可得，，利用完全平方公式可得，得到，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
即，
∴，
即，
∴；
（2）解：．
证明：由（）得，，
在和中，
，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，
同理（）可得，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
设，，
在中，由勾股定理得，
∴，
又∵的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，等角对等边，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，完全平方公式，正确作出辅助线是解题的关键．
【题型3 圆周角定理及其推论的应用】
【例3】（2024·贵州遵义·三模）如图，是的外接圆，D是弧的中点，连接，，．平分交于点E．
(1)写出图中一个与相等的角______；
(2)试判断的形状，并说明理由；
(3)若的半径为，，求的长．
【答案】(1)（或或）；
(2)是等腰三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据题意得,则，
（2）根据题意得,则，由角平分线的，结合和，则，故；
（3）连接OD，交AC于点F，连接OA．由题意得，，则，在中，结合即可。
【详解】（1）解：∵D是弧的中点，
∴,
∴，
故答案为：（或或）；
（2）解：是等腰三角形，
理由如下：
∵点D是的中点，
∴，
∴，
又∵CE平分，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
即是等腰三角形．
（3）解：连接OD，交AC于点F，连接OA．如图，
∵，D是弧AC的中点，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
又，
∴。
【点睛】本题主要考查圆的知识，涉及同弧所对圆周角相等、角平分线的定义、等腰三角形的性质、垂径定理、圆周角定理和解直角三角形，解题的关键是熟悉圆的相关知识。
【变式3-1】（2024·安徽合肥·二模）如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，弦的弦心距为．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若⊙O的半径为5，，则的长为 ．
【答案】 6
【分析】（1）连接，证明和都是等腰直角三角形即可；
（2）延长交于点，连接，则是的中位线，可以求出，然后根据垂直证明，根据圆周角相等则所对的弦相等得到．
【详解】解：（1）如图，连接，
是弦的弦心距，
，
和都是等腰直角三角形，
∵，
，
故答案为：；
（2）如图，延长交于点，连接，
由，得是的中位线，
，
在中，，
由勾股定理得
，
，
∵是的直径，
∴，
，
∵
∴，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，圆心角与弧、弦的关系，三角形的中位线定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
【变式3-2】（2024·江苏南京·二模）千姿百态的桥
问题：景区计划在半径为的人工湖上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计．
“型”
（1）如图①，若点，，，在上，则的最大值为 ；
“型”
（2）如图②，若点，，在上，且．求的最大值；
“型”
（3）如图③，若点，，在上，且，垂足为，则的最大值为 ．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据题意得出，，即可得出结论；
（2）连接，过点作于点，根据度的圆周角所对的弦是直径及勾股定理得，继而得到，再根据，得到，即可得出结论；
（3）如图，过点作于点，延长交于点，连接，设，，得到，由垂径定理得，根据勾股定理得，即，由一元二次方程根的判别式得，继而得到，则，可得结论．
【详解】解：（1）∵点，，，在半径为的上，
∴，，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：；
（2）连接，过点作于点，
∵，的半径为，
∴，
∴，
∵，
即当时，的面积取得最大值，
∴，即，
∴，
∴的最大值为；
（3）如图，过点作于点，延长交于点，过点作于点，连接，，设，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，当点与点重合时，取“”，
∵，
，
∴，
∵，即，
整理，得：，
∴，
解得：，
∴，
∴
，
∴的最大值为
故答案为：．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了弦与直径的关系，度的圆周角所对的弦是直径，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识点．掌握圆的基本性质是解题的关键．
【变式3-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，是的直径，点C是的中点，弦分别交于点F，G，且，连接．
(1)设，用含的式子表示的度数；
(2)求证：；
(3)若的半径为1，记的面积分别为，，S，设，，且满足，求a，b的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，．
【分析】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程；
（1）连接，由是的直径可得，则，即可得到，根据计算即可；
（2）把顺时针旋转，则与重合，即可得到，得到，，则，再证明得到，即可得到；
（3）连接，则，即可表示出，，S，再结合（2）中结论代入计算即可．
【详解】（1）连接，，
∵是的直径，点C是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）把顺时针旋转，点对应点，连接，则，
∵，
∴与重合，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）∵的半径为1，
∴，
∵点C是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
由（2）可得，，，
∴，，
∵,
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，即，
∴
∴，即
∵，
∴，
∴
整理可得，解得，
∵，
∴，
∴．
【题型4 巧用圆内接四边形的性质求解】
【例4】（2024·福建泉州·模拟预测）已知，为的位于圆心两侧的两条弦，且．
(1)如图1，连接，．求证：．
(2)如图2，过点作的垂线交于点．若在上取一点，使得．求证：，，三点共线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接、，由可得，根据圆内接四边形的性质得，可得，即可得；
（2）连接，由可得，则，根据圆内接四边形的性质得，可得，可得，则，，即可得经过圆心．
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质等，合理添加辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
；
（2）如图2，连接，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
经过圆心．
∴，，三点共线
【变式4-1】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，均是上的点，且是的直径，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查圆与内接四边形的综合，掌握内接四边形的性质，直径所对圆周角是直角的知识是解题的关键．
根据均是上的点，可得四边形是内接四边形，则，由此可求出的度数，根据是的直径，可得，由此即可求解．
【详解】解：均是上的点，
∴四边形是内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：B．
【变式4-2】（2024·吉林白城·模拟预测）如图，是圆内接四边形的一条对角线，点D关于的对称点E在边上，若，则 °．
【答案】110
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质定理，轴对称的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质定理及轴对称的性质是解题的关键．根据圆内接四边形的性质定理可得，再根据轴对称的性质即得答案．
【详解】四边形是圆内接四边形，，
，
点D关于的对称点E在边上，
，
．
故答案为：110．
【变式4-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
如图，圆内接四边形ABCDABCD的对角线ACAC，BDBD交于点EE，BDBD平分∠ABC∠ABC，∠BAC=∠AD
(1)求证：平分，并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点，若，，试求四边形的面积和此圆半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)；
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到，由垂径定理推出是等边三角形．
（1）由圆周角定理得到，而，因此，得到平分，由圆内接四边形的性质得到，即可求出；
（2）由垂径定理推出是等边三角形，得到由，得到，由平行线的性质求出，由圆内接四边形的性质求出，得到，由直角三角形的性质得到，因为是圆的直径，即可得到圆半径的长是4．
【详解】（1）证明：，，
，
平分，
平分，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
是圆的直径，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，，
，
是圆的直径，
圆的半径长是4，
．
【考点2 点和圆、直线和圆的位置关系】
知识点一 点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。
（2）用数量关系表示：若设⊙O的半径就是r，点P到圆的距离OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r；点p在圆上 d=r；点p在圆内 d＜r。
知识点二 过已知点作圆
（1）经过一个点的圆（如点A）
以点A外的任意一点（如点O）为圆心，以OA为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。
·O1
A ·O2
·O3
（2）经过两点的圆（如点A、B）
以线段AB的垂直平分线上的任意一点（如点O）为圆心，以OA（或OB）为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。
A
B
（3）经过三点的圆
①经过在同一条直线上的三个点不能作圆
②不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆，作法：连接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点O，以点O为圆心，以OA（或OB、OC）的长为半径作圆即可，如图，这样的圆只能作一个。
知识点三 三角形的外接圆与外心
（1）经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
（2）外接圆的圆心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
知识点四 直线与圆的位置关系
（1）直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。
（2）直线与圆的位置关系可以用数量关系表示
若设⊙O的半径就是r，直线l与圆心0的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交 d ＜ r； 直线l与⊙O相切 d = r； 直线l与⊙O相离 d ＞ r。
知识点五 切线的判定与性质
（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。
（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
（3）切线的其她性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
知识点六 切线长定理
（1）切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
（3）注意：切线与切线长就是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线就是直线，就是不能度量的；切线长就是一条线段的长，这条线段的两个端点一个就是在圆外一点，另一个就是切点。
知识点七 三角形的内切圆与内心
（1）三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。
（2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。
（3）注意：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点与内心的射线，必平分三角形的内角。
【题型5 切线的判定】
【方法总结】因为切线与圆有且只有一个公共点,所以题中信息是否明确给出公共点可以作为判定切线方法选择的一个标准.
【例5】（2024·广东广州·模拟预测）如图，是的直径，点C、D在圆上，，平分，与相交于点E．
(1)在的延长线上找一点F，使，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：是的切线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据基本作图的基本要求作图解答即可．
（2）连接．根据直径，得到，进而得出，再由圆周角定理，得到，， 从而推出，得到，即可证明是的切线．
本题考查了基本作图，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，切线的判定定理，熟练掌握作图，切线的判定定理是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，作图如下：
则点、为所求．
（2）证明：连接．
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
．
又为半径，
是切线．
【变式5-1】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将沿过点的直线翻折并展开，点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点、．若，判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】与相切，理由见解析
【分析】连接，由等腰三角形的性质得，再由折叠的性质得，进而证明，则，因此，然后由切线的判定即可得出结论．
【详解】解：与相切．
证明：连接．
∵，
∴．
∵图形沿过点A的直线翻折，点C的对应点落在边上，
∴．
∴．
∴．
∴由，得，即．
∴与相切．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、等腰三角形的性质、折叠的性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定和折叠的性质是解题的关键．
【变式5-2】（2024·山东青岛·一模）如图，是的内接三角形，是的直径，为的中点，，在的延长线上．
(1)是的切线吗？为什么？
(2)若，则的度数为______°．
【答案】(1)是的切线，理由见解析；
(2)30
【分析】本题考查切线的判定，等边三角形的判定及性质，圆周角定理，关键是掌握切线的判定方法，圆周角定理．
（1）由圆周角定理得到，由等腰三角形的性质得到，即可证明问题；
（2）连接，得到是等边三角形，得到，由为的中点，得到，由圆周角定理即可求出的度数．
【详解】（1）解：是的切线，理由如下，
连接，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
半径，
是的切线；
（2）解：连接，
，
，
等边三角形，
，
为的中点，
，
．
故答案为：30．
【变式5-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，的延长线与过点的直线相交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)点是弧的中点，点在弧上，过点作于点，是否存在常数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由圆周角定理的推论得， 从而得，即可证明结论成立；
（）在上取一点，使得，连接，证明，得，，又由圆周角定理及等腰直角三角形的性质得，，从而即可得解．
【详解】（1）∵是的直径,
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解: 存在，，理由如下:
在上取一点，使得，连接，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，切线的判定，熟练掌握直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【题型6 切线的性质】
【方法总结】已知圆的切线时,常连接圆心和切点,得到半径垂直于切线,通过构造直角三角形解决问题,即“见切线,连半径,得垂线”.
【例6】（2024·湖南·二模）如图，为四边形的外接圆，是等边三角形，是的切线，D是的中点，的延长线交于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)的面积为
【分析】（1）由等边三角形得，因为，所以，结合三角形内角和列式计算，再因为是的切线，所以，因为内错角相等，所以两直线平行，即可作答．
（2）先由圆内角四边形的对角互补，得，再由圆周角定理得出，然后证明为直角三角形．运用勾股定理列式代入数值进行计算，即可作答．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
．
连接，
∵
则．
是的切线，
．
．
．
．
（2）解：为四边形的外接圆，．
是的中点，
∴
．
∴为直角三角形．
．
．
的面积为．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形，切线性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【变式6-1】（2024·天津滨海新·模拟预测）已知为的直径，为上一点，．
(1)如图①，点是弧上一点，求的大小；
(2)如图②，过点作的切线，过点作于点，与交于点，若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，由为的直径，，得到是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，于是得到结论；
（2）连接，与相交于，由是的切线，得到，求得，根据平行线的判定定理得到，由平行线的性质得到，由为的直径，得到，由垂径定理得到，于是得到结论．
【详解】（1）解：连接，
为的直径，，
，
是等边三角形，
，
；
（2）解：连接，与相交于，
是的切线，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式6-2】（2024·安徽合肥·三模）如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点E，交于点F，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角等知识，掌握圆的相关性质是解题关键．
（1）连接，根据圆的切线的性质，得到，根据角平分线的定义以及等边对等角的性质，得到，进而得出，推出，得到，即可证明结论；
（2）根据同弧所对的圆周角相等，得到，进而得出，再根据直径所对的圆周角是直角，得出，，由30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，再结合勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接．
为圆O的切线，
．
平分，
．
，
，
，，
．
在和中，
，
，
．
是的切线．
（2）解：，
，
，
．
．
是直径，
，
，
．
在中，，，
．
．
【变式6-3】（2024·山东·模拟预测）如图，是的直径，B、C都是上的点，连接，E是延长线上一点，连接，且．
(1)证明：是的切线；
(2)连接，交于点F．当时，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角定理得到，结合，推出，再根据是的直径，得到，进而得到，即可推出，从而得到，即可证明结论；
（2）由，可得，易证是等边三角形，根据，求出，利用勾股定理求出，得到，再利用勾股定理求出，由即可求解．
【详解】（1）证明： ，，
，
是的直径，
，
，
，
，
，即，
是半径，
是的切线；
（2）解： ，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的特征，等边三角形的判定与性质，勾股定理．灵活掌握切线的判定定理是解题的关键．
【题型7 切线长定理】
【例7】（23-24九年级·河南商丘·期末）如图，中，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，且．连接交于点F．
(1)求证：．
(2)若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)、
【分析】（1）连接，由切线得性质得：，再证明与相切于点C，则，再证，得，则，即可得答案；
（2）先求出的值，由，求出，再证明垂直平分，则，求出的长，即可得答案．
【详解】（1）解：如下图，连接，
与相切于点E，
，
，
，
，
是的半径，，
与相切于点C，
，
在和中，，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，且，
，
解得：，
，
，
点O、点A都在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
，
，
，
，
线段，的长分别是1、．
【点睛】此题考查了切线的判定与性质、切线长定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
【变式7-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，圆的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，则长（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】此题主要考查了切线的性质和等腰三角形的性质，利用切线的性质得出，进而得出，即可得出，同理：即可得出结论．
【详解】连接，，
，是的切线，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
故选：A．
【变式7-2】（2024·山东聊城·二模）如图，为半圆O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半圆O的切线交于点P，若的长是，则的长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的知识点是：圆心角、假、张的关系，切线的性质，切线长定理以及解直角三角形的应用等知识，连接，由于C是半圆的三等分点，那么，进而可由切线长定理求得；在中根据半径的长以及的度数，可求得的值，进而可由勾股定求得的长．
【详解】解：连接，
∵C为半圆弧的三等分点，
∴，
∵，都是的切线，
∴，
在中，，则，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：
【变式7-3】（23-24九年级·江苏扬州·期中）数学兴趣小组的同学在探究等分问题的过程中，得到了很多成果．
成果一：制作了三分角仪．图(1)是示意图，点在半径的延长线上，，，足够长．若要将三等分，只需要适当放置三分角仪，使点在上，点落在上，当与半相切时，、就将三等分了．
成果二：创造了只用圆规将圆四等分的方法．如图(2)，具体步骤为：①将六等分，等分点分别是点、、、、、；②分别以点、为圆心，长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点、，则点、、、将四等分．
(1)请你说明三分角仪的正确性；
(2)证明点、、、是四等分点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先利用垂直平分得到，则平分，再根据切线长定理得到平分，即，于是判断将三等分；
（2）利用圆周角定理得出，然后勾股定理解，结合勾股定理得出，即可得出答案
【详解】（1）证明：∵，
即垂直平分，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
∵，
∴为的切线，
∵与半相切，
∴平分，
∴，
即将三等分；
（2）如图2
∵是的直径，
∴
∵，．
∴，
设的半径为，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴是直角三角形且，
∴，
∴点、、、是的四等分点．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理及逆定理，切线长定理和正多边形和圆，综合运用以上知识是解题的关键．
【题型8 三角形的外接圆与内切圆】
【方法总结】三角形内切圆的常用结论：
【例8】（2024·上海·模拟预测）如图，是圆O直径，弦，垂足为D，圆O周长为，
(1)，求内切圆的面积；
(2)，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】此题考查了垂径定理、内切圆、圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
（1）连接，证明，则是等边三角形，得到，点O是的内心，求出，即可得到内切圆的面积；
（2）连接，根据（1）中的结论求出，即可证明．
【详解】（1）解：连接，
∵是圆O直径，圆O周长为，
∴，，
∴，
∵
∴，
∵是圆O直径，弦，
∴，垂直平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，点O是的内心，
∴，
∴
∴内切圆的面积为；
（2）如图，连接，
∵是等边三角形， ，
∴，，
∴，
∵点O是的内心，
∴，
∴
∴．
【变式8-1】（23-24九年级·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接、，求证：点D是的外心．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证；
（2）连接，证出即可得证；
（3）连接，，，证出即可得证．
【详解】（1）证明：点I是的内心，
平分，
，
，
，
．
（2）证明：如图，连接，
点I是的内心，
平分，平分，
，
又，
，
，，
，
．
（3）证明：如图，连接，，，
，
．
，
∴点D是的外心．
【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键.
【变式8-2】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．
(1)求证：EB=EI；
(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．
【答案】(1)见解析
(2)AI=4
【分析】（1）欲证明EB=EI，只要证明∠EBI=∠EIB；
（2）连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，证明△AEM≌△AEN和△BME≌△CNE，再利用勾股定理计算即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵I是△ABC的内心，
∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，
∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠IBE=∠IBD+∠EBD，
∵∠CBE=∠CAE，
∴∠BIE=∠EBI，
∴EB=EI；
（2）解：连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，则EM=EN，
∵∠BAE=∠CAE，
∴=，
∴BE=EC=4．
∵AE=AE，EM=EN，
∴△AEM≌△AEN，
∴AM=AN．
∵BE=EC，EM=EN，
△BME≌△CNE(HL)，
∴BM=CN．
设BM为x，则8-x=6+x，解得x=1，即BM=1，
∴AM=7．
又∵BE=4，由勾股定理得，EM==．
∴AE==8，
∵EI=BE=4，
∴AI=AE EI=4．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【变式8-3】（23-24九年级·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE，
(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度数；
(2)求证：DE=DB．
【答案】(1)124°
(2)证明见解析
【分析】（1）根据圆周角定理求出，根据三角形的内心的概念，三角形内角和定理求出∠EBC；
（2）根据内心的性质，三角形的外角定理证明．
【详解】（1）解：∵∠CBD=34°
∴∠CAD=34°
∵点E是△ABC的的内心
∴∠BAC=2∠CAD=68°
∴∠EBC+∠ECB=（180°-68°）÷2=56°
∴∠BEC=180°-56°=124°
（2）∵E是△ABC的内心
∴∠BAD=∠CAD，∠EBA=∠EBC
∵ ∠DEB=∠BAD+∠EBA,∠DBE=∠EBC+∠CBD，∠CBD=∠CAD
∴∠DEB=∠DBE
∴DE=DB ．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理，三角形的内心的概念，三角形的外角的性质是解题的关键．
【考点3 正多边形和圆】
知识点一 正多边形的外接圆与圆的内接正多边形
正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n就是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所的的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就就是这个正多边形的外接圆。
正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。
知识点二 正多边形的性质
（1）正n边形的半径与边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。
（2）所有的正多边形都就是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也就是中心对称图形，正n边形的中心就就是对称中心。
正n边形的每一个内角等于，中心角与外角相等，等于。
【题型9 正多边形和圆的有关计算】
【方法总结】利用正多边形和圆的性质,已知正多边形的边长,求解与正多边形有关的量时,通常做法是作出正多边形的边心距,构造由半径、边心距、边长的一半围成的直角三角形,然后利用勾股定理解决.
【例9】（2024·辽宁·模拟预测）在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．
(1)如图①，求证：点H，G三等分．
(2)如图②，操作并证明．
①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法）
②求证：是①所作圆的切线．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）由正多边形的性质证明，可得，再证明是等边三角形，从而可得结论；
（2）①按照题干的要求作线段的垂直平分线，再作圆即可；②过点O作，垂足为P，连接， 证明．结合，，．从而可得结论；
【详解】（1）证明：在圆内接正六边形中，
，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴是等边三角形，
∴．
∴点H，G三等分．
（2）①解：如图，即为所求作．
②证明：如图，过点O作，垂足为P，连接，则．
由（1）知，，
∴．
∵，，
∴．
∴是①所作圆的切线．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆的内接多边形的性质，切线的判定，作线段的垂直平分线，掌握以上基础知识是解本题的关键．
【变式9-1】（2024·福建厦门·二模）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解决问题的关键．
先由正多边形内角和定理求出，再根据圆内接四边形的性质即可求出．
【详解】解：正五边形内接于，
，
四边形是内接四边形，
，
，
故选：D．
【变式9-2】（2024·广东广州·三模）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ．
【答案】 4
【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握圆的相关性质及正方形的相关性质、准确的辅助线及计算是本题的解题关键．
（1）利用圆的面积公式计算出半径即可求出直径；
（2）连接，，以、为边作，连接，证明出，，当、、共线时，最小，即为的最小值，利用勾股定理求出即可解答此问．
【详解】解：（1）的面积为，
，
的直径长为，
故答案为：；
（2）如图，连接，，以、为边作，连接，
四边形为正方形，
，，
四边为平行四边形，
，
，
，
当、、共线时，最小，即为的最小值，
在中，，，
，
，
，
周长的最小值为，
故答案为：4．
【变式9-3】（23-24九年级·浙江金华·期中）如图所示，已知正八边形内接于，连接、，相交于点．若的半径为1，
(1)求的长；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，，与交于点，先根据正八边形和圆的性质求出的值，再根据特殊角三角函数值求出的长即可；
（2）再根据圆周角定理和三角形的外角定理即可求出的度数．
【详解】（1）解：如图，连接，，与交于点，
由题意可知，，，
∵多边形是正八边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵所对的圆心角为，
∴所对的圆周角为，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了正八边形与圆的综合、圆周角定理、锐角三角函数、垂径定理等知识，熟练运用正八边形的性质、特殊角的三角函数值、圆周角定理是解题的关键．
【题型10 正多边形中的规律探究性问题】
【方法总结】正多边形中规律探究性问题是重要的考点之一,解答这类问题的关键是灵活运用特殊与一般的思想.这类问题需要从简单的情形入手,由浅入深、由简单到复杂、由特殊到一般逐步分析探索,发现变化规律, 再根据变化规律归纳出最后的结果.
【例10】（2024·湖南湘西·中考真题）观察下列结论：
（1）如图①，在正三角形中，点M，N是上的点，且，则，；
（2）如图②，在正方形中，点M，N是上的点，且，则，；
（3）如图③，在正五边形中，点M，N是上的点，且，则，；……
根据以上规律，在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是上的点，且，与相交于O．也会有类似的结论．你的结论是 ．
【答案】 ，
【分析】根据正多边形内角和定理结合全等三角形的判定和性质可得出（1）、（2）、（3）的结论，根据以上规律可得出正n边形的结论．
【详解】（1）∵正三角形ABC中，点M、N是AB、AC边上的点，且AM=BN，
∴AB=AC，∠CAM=∠ABN=，
∵在△ABN和△CAM中，
，
∴△ABN≌△CAM（SAS），
∴AN= CM，∠BAN=∠MCA，
∴∠NOC=∠OAC+∠MCA =∠OAC+∠BAN =∠BAC=60°，
故结论为：AN= CM，∠NOC=60；
（2）∵正方形ABCD中，点M、N是AB、BC边上的点，且AM=BN，
∴AB=AD，∠DAM=∠ABN=，
同理可证：Rt△ABNRt△DAM，
∴AN= DM，∠BAN=∠ADM，
∠NOD=∠OAD+∠ADM =∠OAD+∠BAN =∠BAC=90°，
故结论为：AN= DM，∠NOD=90；
（3）∵正五边形ABCDE中，点M、N是AB、BC边上的点，且AM=BN，
∴AB=AE，∠EAM=∠ABN=，
同理可证得：Rt△ABNRt△EAM，
∴AN= EM，∠BAN=∠AEM，
∠NOE=∠OAE+∠AEM =∠OAE+∠BAN =∠BAE=108°，
故结论为：AN= EM，∠NOE=108；
∵正三角形的内角度数为：60°，
正方形的内角度数为：90°，
正五边形的内角度数为：108°，
∴以上所求的角恰好等于正n边形的内角，
在正n边形中，点M，N是上的点，且，与相交于O，结论为： ，．
故答案为： ，．
【点睛】本题考查了正n边形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是发现与的夹角与正边形的内角相等．
【变式10-1】（2015·山东威海·中考真题）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连结OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=，
故选：D，
【变式10-2】（23-24九年级·湖南湘西·期中）如图1，图2，图3 ，M、N分别是的内接正三角形，正方形，正五边形，…的边上的点，且，连接，图1中，图2中，图3中…，根据这样的规律，图n中的度数是 ．
【答案】
【分析】作多边形的半径，根据多边形的性质可证，得，再根据“等边对等角”得，于是可得，从而可证则，因此．
本题考查了正多边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边对等角、正多边形中心角等知识点，解题的关键综合运用这些性质解题．
【详解】不失一般性，设时的情形，可以推广到一般情况．连接，如下图
由正多边形的性质知：
∴
∴
由得：
∴
即：
又∵
∴
∴
∴
即：
∵
∴
故答案为：．
【变式10-3】（23-24九年级·浙江台州·期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义．
(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________；
(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”；
(3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．
【答案】(1)
(2)，
(3)随着n的增大，越来越接近于1，见解析
【分析】（1）根据“正圆度”的定义进行求解即可；
（2）设正方形边长和正六边形的边长都为1，求出此情形下对应的内切圆半径，再根据“正圆度”的定义进行求解即可；
（3）根据（1）（2）所求可知随着n的增大，越来越接近于1，再由张衡和祖冲之对圆周率的研究即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，
故答案为：；
（2）解：假设正方形边长1，
∴此时正方形的内切圆半径为，
∴；
设正六边形的边长为1，内切圆圆心为O，则，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，随着n的增大，越来越接近于1．由张衡、祖冲之的研究，精进的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长L也与对应的内切圆周长更接近，其比值更接近于1．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，正确理解题意是解题的关键．
【考点4 弧长和扇形面积】
知识点一 弧长公式
在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就就是圆的周长C=2πR，所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式l=×2πR=。
知识点二 扇形面积公式
在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就就是圆的面积S=πR2，所以圆心角为n°的扇形的面积为S扇形=。
比较扇形的弧长公式与面积公式发现：
S扇形=
知识点三 圆锥的侧面积与全面积
圆锥的侧面积就是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易的到圆锥的侧面展开图就是一个扇形。设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积。圆锥的全面积为。
【题型11 圆锥侧面展开图的有关计算】
【例11】（2024·江苏盐城·三模）如图， ，点A、C分别在射线上， ．
(1)用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线和相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；
(2)将劣弧所在的扇形围成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 ．
(3)求所得的劣弧与线段围成的封闭图形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了圆周角定理和扇形面积公式．
（1）过A、分别作、的垂线，它们相交于，然后以为半径作即可；
（2）先证明为等边三角形得到，，求出长，进而求出结论；
（3）先证明为等边三角形得到，，再计算出，然后根据扇形的面积公式，利用劣弧与线段、围成的封闭图形的面积进行计算．
【详解】（1）解：如图，过A、分别作、的垂线，它们相交于，然后以为半径作,
则即为所求；
（2）解：∵，，
，
由作图知
和分别是切线，
，
，
为等边三角形，
则长为：，
所在的扇形围成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径设为r，
，
，
则该圆锥的底面圆的半径设为；
（3）∵，，
，
由作图知
和分别是切线，
，
，
为等边三角形，
，，
∵，
垂直平分，
平分，
，
，
劣弧与线段、围成的封闭图形的面积
．
【变式11-1】（23-24九年级·江苏泰州·期中）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．
(1)求阴影部分面积；
(2)用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
【答案】(1)；
(2)该圆锥的底面圆的半径是．
【分析】本题考查了扇形的面积计算，圆锥的底面圆的半径．
（1）是圆O的直径，求出求得，进而利用扇形的面积公式可得阴影部分的面积；
（2）求出的长度，即圆锥底面圆的周长，继而可得出底面圆的半径．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴是圆O的直径，
∴点A、O、B三点共线，
∴，
又∵，
∴，
∵圆的直径为2，
则，
故．
∴；
（2）解：的长，
则，
解得：．
故该圆锥的底面圆的半径是．
【变式11-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，在半径为4的扇形中，，点C是上的一个动点（不与点A，重合），连接，，，，垂足分别为点D，E．
(1)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径；
(2)在中是否存在长度为定值的边 若存在，请求出这条边的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1
(2)存在，
【分析】（1）设该圆锥的底面半径为r，根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的弧长列式即可得到答案；
（2）连接，由垂径定理得到D为中点，E为中点．则为的中位线．得到．再求出的长，即可得到的长，结论得证；
【详解】（1）解：设该圆锥的底面半径为r，
由题意得．
解得，
即该圆锥的底面半径为1．
（2）存在，的长为定值．如图，连接．
∵，，
∴D为中点，E为中点．
∴为的中位线．
∴．
∵，，
∴．
∴．
【点睛】此题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式、垂径定理、三角形中位线定理的等知识，数形结合是解题的关键．
【变式11-3】（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，
(1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；
(2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据扇形的两个面积公式可得，再代入求解即可；
（2）连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角三角形即可求解．
【详解】（1），，
，
，
扇形纸板的圆心角度数为；
（2）如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，
由（1）得，
彩带长度的最小值为．
【题型12 不规则图形面积的计算】
【例12】（23-24九年级·浙江台州·期末）如图，扇形中，，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】过点作于点，过点作交的延长线于点，设交于点，交于点，根据题意得出，进而根据即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点，设交于点，交于点，
∵
则四边形是正方形，
，
∴，
，
，
，
在中，，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，正方形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
【变式12-1】（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ．
【答案】/
【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积，作辅助线构造全等三角形是解问题的关键．
连接，过点D作于点M，过点D作于点N，先证明是正方形，然后证明，最后运用解题即可．
【详解】如图，连接，过点D作于点M，过点D作于点N，
则
∵，
∴，，四边形是矩形
∵，D是的中点，
∴
∴
同理
∴四边形是正方形
∴，
由题可知，，
∴
在与中，
，
∴
∴
∵
∴
故答案为
【变式12-2】（23-24九年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，，点O是边的中点，半圆O与相切于点D、E，若阴影部分的面积为，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】连接，根据切线长定理和切线的性质可知四边形是正方形，从而证明，由等腰直角三角形的性质推出，从而证明，利用平行线间距离相等从而得到，继而得到阴影部分的面积等于扇形的面积，从而利用得到扇形半径的长度，从而得到的长，继而得出的长．
【详解】解：连接，
∵半圆O与相切于点D、E，
∴，．
∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形．
∴，．
又∵，，点O是边的中点，
∴，，
∴．
∵，，
∴．
∵平行线间距离相等，
∴，
∴阴影部分的面积等于扇形的面积．
∵阴影部分的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查切线长定理，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等角对等边，切线的性质，勾股定理，扇形面积公式，不规则图形的面积求法等知识，综合性很大，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式12-3】（2024·广东惠州·三模）如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接．
(1)填空： °；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)30
(2)与相切，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到结论；
（2）连接，根据垂径定理得到，，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论；
（3）根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，连接，根据三角形中位线定理得到，，求得，得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：弦于，是的直径，
，
，
故答案为：30；
（2）解：与相切，
理由如下：
连接，如图所示：
弦于，是的直径，
，，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
（3）解：是的直径，
，
，，
，
，
连接，如图所示：
点是的中点，
，
，
是的中位线，
，，
，
，
，
图中阴影部分的面积的面积扇形的面积的面积．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，垂径定理，扇形的面积的计算，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
【题型13 利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题】
【例13】（23-24九年级·云南曲靖·阶段练习）如图，在等边内有一点，且，，，若把绕着点逆时针旋转得到，连接，．
(1)求的度数；
(2)求的长．
(3)求点划过的路径长；
(4)当时，如果是由旋转所得，求扫过的区域的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由旋转的性质，结合等边三角形的判定即可得到是等边三角形，再由是等边三角形，利用等边三角形性质，结合三角形全等的判定得到，进而有，，再利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，且，即可得到答案；
（2）由旋转的性质，结合等边三角形的判定即可得到是等边三角形，从而确定；
（3）根据题意，把绕着点逆时针旋转得到，点划过的路径是，利用弧长公式代值求解即可得到答案；
（4）由（1）的证明过程，结合旋转性质得到扫过的区域的面积，根据扇形面积公式代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：把绕着点逆时针旋转得到，则是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，，
在中，，，，则，由勾股定理的逆定理可知为直角三角形，且，
；
（2）解：把绕着点逆时针旋转得到，则是等边三角形，
；
（3）解：如图所示：
把绕着点逆时针旋转得到，点划过的路径是，则长度为；
（4）解：由（1）的证明过程可知，，点划过的路径是，点划过的路径是，如图所示：
由旋转性质可知，
扫过的区域的面积
．
【点睛】本题考查旋转综合，涉及旋转性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、弧长公式、扇形面积公式等知识，理解旋转的性质，灵活运用相关几何判定与性质，数形结合求解是解决问题的关键．
【变式13-1】（2024·江苏南通·一模）如图，已知正方形的边长为cm，将正方形在直线上顺时针连续翻转4次，则点所经过的路径长为 ( )
A．4πcm B．πcm C．πcm D．πcm
【答案】B
【分析】正方形 在直线上顺时针连续翻转4次，实际点经过的路径有三段，其中一段以为半径，圆心角为的弧长，另两段是以为半径，圆心角为的弧长，然后根据弧长公式计算．
【详解】解：点经过的路径如图
因为正方形 的边长为，
所以，
所以点所经过的路径长．
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算：弧长 ， （为正整数）为弧所对的圆心角的度数，为圆的半径）．也考查了正方形和旋转的性质．
【变式13-2】（16-17九年级·山东济南·期末）如图，在矩形中，已知，将矩形绕着点在桌面上顺时针旋砖至，使其停靠在矩形的点处，若，则点的运动路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质、弧长的计算、轨迹等知识，由在矩形中，已知，可求得的长，由旋转的性质，易得，又由，即可求得的度数，继而求得答案．
【详解】解：连接，
∵在矩形中，，
，
，
根据旋转的性质可知：，
根据矩形的性质可知：，
，
，
，
∴点的运动路径长为： ．
故选B．
【变式13-3】（2024·山东淄博·二模）如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是？
【答案】（1）；；；（2）41次
【分析】（1）根据正方形旋转3次和5次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可；
（2）利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出π=10×π+π，即可得出旋转次数．
【详解】解：（1）如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，
∴ 顶点O运动过程中经过的路程为：
，
顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：
=1+π，
正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为：
．
（2）∵ 正方形OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程为：
，
根据第四次正方形旋转O点不动，也就是此时也是正方形OABC经过4次旋转的路程，
∴ π=10×π+π，
∴正方形纸片OABC经过了：10×4+1=41次旋转．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和弧长计算公式，分别求出旋转3，4，5次旋转的路径是解决问题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题3.13 圆全章专项复习【4大考点13种题型】
【北师大版】
【考点1 圆的有关性质】 1
【题型1 垂径定理的应用】 2
【题型2 弧、弦、圆心角的关系】 4
【题型3 圆周角定理及其推论的应用】 5
【题型4 巧用圆内接四边形的性质求解】 6
【考点2 点和圆、直线和圆的位置关系】 8
【题型5 切线的判定】 9
【题型6 切线的性质】 10
【题型7 切线长定理】 12
【题型8 三角形的外接圆与内切圆】 13
【考点3 正多边形和圆】 15
【题型9 正多边形和圆的有关计算】 15
【题型10 正多边形中的规律探究性问题】 16
【考点4 弧长和扇形面积】 18
【题型11 圆锥侧面展开图的有关计算】 18
【题型12 不规则图形面积的计算】 20
【题型13 利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题】 21
【考点1 圆的有关性质】
知识点一 圆的定义
圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以瞧成就是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
比较圆的两种定义可知：第一种定义就是圆的形成进行描述的，第二种就是运用集合的观点下的定义，但就是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。
知识点二 圆的相关概念
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦就是线段，弧就是曲线，判断等弧首要的条件就是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才就是等弧，而不就是长度相等的弧。
知识点三 圆的对称性
圆就是轴对称图形，任何一条直径所在直线都就是它的对称轴。
知识点四 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论：平分弦（不就是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不就是直径，否则结论不成立。
知识点五 弦、弧、圆心角的关系
弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。
注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。
知识点六 圆周角定理
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角就是直角，90°的圆周角所对弦就是直径。
圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”就是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。
知识点七 圆内接四边形及其性质
圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
【题型1 垂径定理的应用】
【例1】（2024·江西吉安·三模）如图，一座石桥的主桥拱是四弧形，某时刻添得水面的宽度为8米，拱高（的中点C到水面的距离）为2米．
(1)求主桥拱所在圆的半径．
(2)在主桥拱所在圆的圆心处有一水位检测仪，若过几天某时刻的水面为，检测仪观测点的仰角为，求此时水面的宽度．（参考数据：，，）
【变式1-1】（23-24九年级·安徽淮南·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．如图，用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．这根圆柱形木材的直径是多少寸？
【变式1-2】（2024·河南周口·二模）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长一尺二，问径几何 ”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），求该圆材的直径为多少寸
【变式1-3】（23-24九年级·河北唐山·期末）如图，装有水的水槽放在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为桌面截线，水面截线，直径一端点B刚好与点N重合，．
(1)计算的长度，并比较直径与长度的大小；
(2)请在图中画出线段，用其长度表示水的最大深度，并求水的最大深度．
【题型2 弧、弦、圆心角的关系】
【例2】（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，．
(1)求证：；
(2)连接 作直线求证：．
【变式2-1】（23-24九年级·湖南湘西·期末）如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：．
【变式2-2】（23-24九年级·甘肃武威·期末）已知，如图，在中，，，求证：．
【变式2-3】（2024·浙江·模拟预测）已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且．
(1)如图，求证：．
(2)在图中找出一组全等的三角形，并给出证明．
(3)如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长．
【题型3 圆周角定理及其推论的应用】
【例3】（2024·贵州遵义·三模）如图，是的外接圆，D是弧的中点，连接，，．平分交于点E．
(1)写出图中一个与相等的角______；
(2)试判断的形状，并说明理由；
(3)若的半径为，，求的长．
【变式3-1】（2024·安徽合肥·二模）如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，弦的弦心距为．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若⊙O的半径为5，，则的长为 ．
【变式3-2】（2024·江苏南京·二模）千姿百态的桥
问题：景区计划在半径为的人工湖上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计．
“型”
（1）如图①，若点，，，在上，则的最大值为 ；
“型”
（2）如图②，若点，，在上，且．求的最大值；
“型”
（3）如图③，若点，，在上，且，垂足为，则的最大值为 ．
【变式3-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，是的直径，点C是的中点，弦分别交于点F，G，且，连接．
(1)设，用含的式子表示的度数；
(2)求证：；
(3)若的半径为1，记的面积分别为，，S，设，，且满足，求a，b的值．
【题型4 巧用圆内接四边形的性质求解】
【例4】（2024·福建泉州·模拟预测）已知，为的位于圆心两侧的两条弦，且．
(1)如图1，连接，．求证：．
(2)如图2，过点作的垂线交于点．若在上取一点，使得．求证：，，三点共线．
【变式4-1】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，均是上的点，且是的直径，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·吉林白城·模拟预测）如图，是圆内接四边形的一条对角线，点D关于的对称点E在边上，若，则 °．
【变式4-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
如图，圆内接四边形ABCDABCD的对角线ACAC，BDBD交于点EE，BDBD平分∠ABC∠ABC，∠BAC=∠AD
(1)求证：平分，并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点，若，，试求四边形的面积和此圆半径的长．
【考点2 点和圆、直线和圆的位置关系】
知识点一 点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。
（2）用数量关系表示：若设⊙O的半径就是r，点P到圆的距离OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r；点p在圆上 d=r；点p在圆内 d＜r。
知识点二 过已知点作圆
（1）经过一个点的圆（如点A）
以点A外的任意一点（如点O）为圆心，以OA为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。
·O1
A ·O2
·O3
（2）经过两点的圆（如点A、B）
以线段AB的垂直平分线上的任意一点（如点O）为圆心，以OA（或OB）为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。
A
B
（3）经过三点的圆
①经过在同一条直线上的三个点不能作圆
②不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆，作法：连接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点O，以点O为圆心，以OA（或OB、OC）的长为半径作圆即可，如图，这样的圆只能作一个。
知识点三 三角形的外接圆与外心
（1）经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
（2）外接圆的圆心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
知识点四 直线与圆的位置关系
（1）直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。
（2）直线与圆的位置关系可以用数量关系表示
若设⊙O的半径就是r，直线l与圆心0的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交 d ＜ r； 直线l与⊙O相切 d = r； 直线l与⊙O相离 d ＞ r。
知识点五 切线的判定与性质
（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。
（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
（3）切线的其她性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
知识点六 切线长定理
（1）切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
（3）注意：切线与切线长就是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线就是直线，就是不能度量的；切线长就是一条线段的长，这条线段的两个端点一个就是在圆外一点，另一个就是切点。
知识点七 三角形的内切圆与内心
（1）三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。
（2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。
（3）注意：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点与内心的射线，必平分三角形的内角。
【题型5 切线的判定】
【方法总结】因为切线与圆有且只有一个公共点,所以题中信息是否明确给出公共点可以作为判定切线方法选择的一个标准.
【例5】（2024·广东广州·模拟预测）如图，是的直径，点C、D在圆上，，平分，与相交于点E．
(1)在的延长线上找一点F，使，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：是的切线．
【变式5-1】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将沿过点的直线翻折并展开，点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点、．若，判断与的位置关系，并说明理由．
【变式5-2】（2024·山东青岛·一模）如图，是的内接三角形，是的直径，为的中点，，在的延长线上．
(1)是的切线吗？为什么？
(2)若，则的度数为______°．
【变式5-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，的延长线与过点的直线相交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)点是弧的中点，点在弧上，过点作于点，是否存在常数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【题型6 切线的性质】
【方法总结】已知圆的切线时,常连接圆心和切点,得到半径垂直于切线,通过构造直角三角形解决问题,即“见切线,连半径,得垂线”.
【例6】（2024·湖南·二模）如图，为四边形的外接圆，是等边三角形，是的切线，D是的中点，的延长线交于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
【变式6-1】（2024·天津滨海新·模拟预测）已知为的直径，为上一点，．
(1)如图①，点是弧上一点，求的大小；
(2)如图②，过点作的切线，过点作于点，与交于点，若，求的长．
【变式6-2】（2024·安徽合肥·三模）如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点E，交于点F，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【变式6-3】（2024·山东·模拟预测）如图，是的直径，B、C都是上的点，连接，E是延长线上一点，连接，且．
(1)证明：是的切线；
(2)连接，交于点F．当时，若，求的长．
【题型7 切线长定理】
【例7】（23-24九年级·河南商丘·期末）如图，中，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，且．连接交于点F．
(1)求证：．
(2)若，求线段的长．
【变式7-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，圆的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，则长（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式7-2】（2024·山东聊城·二模）如图，为半圆O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半圆O的切线交于点P，若的长是，则的长是 ．
【变式7-3】（23-24九年级·江苏扬州·期中）数学兴趣小组的同学在探究等分问题的过程中，得到了很多成果．
成果一：制作了三分角仪．图(1)是示意图，点在半径的延长线上，，，足够长．若要将三等分，只需要适当放置三分角仪，使点在上，点落在上，当与半相切时，、就将三等分了．
成果二：创造了只用圆规将圆四等分的方法．如图(2)，具体步骤为：①将六等分，等分点分别是点、、、、、；②分别以点、为圆心，长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点、，则点、、、将四等分．
(1)请你说明三分角仪的正确性；
(2)证明点、、、是四等分点．
【题型8 三角形的外接圆与内切圆】
【方法总结】三角形内切圆的常用结论：
【例8】（2024·上海·模拟预测）如图，是圆O直径，弦，垂足为D，圆O周长为，
(1)，求内切圆的面积；
(2)，求证：．
【变式8-1】（23-24九年级·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接、，求证：点D是的外心．
【变式8-2】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．
(1)求证：EB=EI；
(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．
【变式8-3】（23-24九年级·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE，
(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度数；
(2)求证：DE=DB．
【考点3 正多边形和圆】
知识点一 正多边形的外接圆与圆的内接正多边形
正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n就是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所的的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就就是这个正多边形的外接圆。
正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。
知识点二 正多边形的性质
（1）正n边形的半径与边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。
（2）所有的正多边形都就是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也就是中心对称图形，正n边形的中心就就是对称中心。
正n边形的每一个内角等于，中心角与外角相等，等于。
【题型9 正多边形和圆的有关计算】
【方法总结】利用正多边形和圆的性质,已知正多边形的边长,求解与正多边形有关的量时,通常做法是作出正多边形的边心距,构造由半径、边心距、边长的一半围成的直角三角形,然后利用勾股定理解决.
【例9】（2024·辽宁·模拟预测）在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．
(1)如图①，求证：点H，G三等分．
(2)如图②，操作并证明．
①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法）
②求证：是①所作圆的切线．
【变式9-1】（2024·福建厦门·二模）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2024·广东广州·三模）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ．
【变式9-3】（23-24九年级·浙江金华·期中）如图所示，已知正八边形内接于，连接、，相交于点．若的半径为1，
(1)求的长；
(2)求的度数．
【题型10 正多边形中的规律探究性问题】
【方法总结】正多边形中规律探究性问题是重要的考点之一,解答这类问题的关键是灵活运用特殊与一般的思想.这类问题需要从简单的情形入手,由浅入深、由简单到复杂、由特殊到一般逐步分析探索,发现变化规律, 再根据变化规律归纳出最后的结果.
【例10】（2024·湖南湘西·中考真题）观察下列结论：
（1）如图①，在正三角形中，点M，N是上的点，且，则，；
（2）如图②，在正方形中，点M，N是上的点，且，则，；
（3）如图③，在正五边形中，点M，N是上的点，且，则，；……
根据以上规律，在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是上的点，且，与相交于O．也会有类似的结论．你的结论是 ．
【变式10-1】（2015·山东威海·中考真题）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（23-24九年级·湖南湘西·期中）如图1，图2，图3 ，M、N分别是的内接正三角形，正方形，正五边形，…的边上的点，且，连接，图1中，图2中，图3中…，根据这样的规律，图n中的度数是 ．
【变式10-3】（23-24九年级·浙江台州·期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义．
(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________；
(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”；
(3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．
【考点4 弧长和扇形面积】
知识点一 弧长公式
在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就就是圆的周长C=2πR，所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式l=×2πR=。
知识点二 扇形面积公式
在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就就是圆的面积S=πR2，所以圆心角为n°的扇形的面积为S扇形=。
比较扇形的弧长公式与面积公式发现：
S扇形=
知识点三 圆锥的侧面积与全面积
圆锥的侧面积就是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易的到圆锥的侧面展开图就是一个扇形。设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积。圆锥的全面积为。
【题型11 圆锥侧面展开图的有关计算】
【例11】（2024·江苏盐城·三模）如图， ，点A、C分别在射线上， ．
(1)用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线和相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；
(2)将劣弧所在的扇形围成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 ．
(3)求所得的劣弧与线段围成的封闭图形的面积．
【变式11-1】（23-24九年级·江苏泰州·期中）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．
(1)求阴影部分面积；
(2)用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
【变式11-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，在半径为4的扇形中，，点C是上的一个动点（不与点A，重合），连接，，，，垂足分别为点D，E．
(1)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径；
(2)在中是否存在长度为定值的边 若存在，请求出这条边的长度；若不存在，请说明理由．
【变式11-3】（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，
(1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；
(2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．
【题型12 不规则图形面积的计算】
【例12】（23-24九年级·浙江台州·期末）如图，扇形中，，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【变式12-1】（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ．
【变式12-2】（23-24九年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，，点O是边的中点，半圆O与相切于点D、E，若阴影部分的面积为，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式12-3】（2024·广东惠州·三模）如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接．
(1)填空： °；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积．
【题型13 利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题】
【例13】（23-24九年级·云南曲靖·阶段练习）如图，在等边内有一点，且，，，若把绕着点逆时针旋转得到，连接，．
(1)求的度数；
(2)求的长．
(3)求点划过的路径长；
(4)当时，如果是由旋转所得，求扫过的区域的面积．
【变式13-1】（2024·江苏南通·一模）如图，已知正方形的边长为cm，将正方形在直线上顺时针连续翻转4次，则点所经过的路径长为 ( )
A．4πcm B．πcm C．πcm D．πcm
【变式13-2】（16-17九年级·山东济南·期末）如图，在矩形中，已知，将矩形绕着点在桌面上顺时针旋砖至，使其停靠在矩形的点处，若，则点的运动路径长为（ ）
A． B． C． D．
【变式13-3】（2024·山东淄博·二模）如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是？
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