九年级下册押题重难点检测卷
【北师大版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24九年级·浙江台州·自主招生）在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与x轴两交点间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（ ）
A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位
C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象的平移，抛物线与轴的交点坐标，根据平移规则，将二次函数的图象，向下平移3个单位即可．
【详解】∵平移二次函数的图象，使其与x轴两交点间的距离为2个单位长度，
∴将二次函数的图象向下平移3个单位得，
∵与x轴的交点坐标为，
∴与x轴两交点间的距离为2个单位长度．满足题意；
故选：B．
2．（3分）（23-24九年级·广东广州·期中）如图，的顶点在正方形网格的格点处，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求CD、BD、BC，再根据三角函数的意义可求出tanC的值．
【详解】解：如图，连接，由网格的特点可得，
，，，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．
3．（3分）（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，设，易得，则，进而得出，再得出，最后根据，即可解答．
【详解】解：延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
设，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4．（3分）（23-24九年级·重庆涪陵·期末）如图，，，都是上的点，与交于点，过点且与相切的直线与的延长线交于点．，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查切线的定义、圆周角定理和平行线的判定与性质，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键．
根据切线的性质可得，由圆周角定理得，所以，所以，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：根据切线的性质可得，
，
，
，
，
，
故答案为：A
5．（3分）（2024·湖北武汉·模拟预测）二次函数，若对满足的任意x都有，则实数a的范围为（ ）
A．且 B． C． D．或
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．当时，当，时，满足条件；当时，当，，当，时，满足条件，然后分别解不等式组确定实数的范围．
【详解】解：当时，抛物线与轴的交点为，
当，时，满足的任意都有，
即，
解得；
当时，抛物线与轴的交点为，
当，，且当，时，满足的任意都有，
即且，解得
，
综上所述，实数的范围为且．
故选：A
6．（3分）（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“圆的内接四边形对角互补”可得，．根据三角形外角定理可得，，由此可得，又由，可得，即可得解．
本题主要考查了“圆的内接四边形对角互补”和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】∵四边形是的内接四边形
∴，
，，
，
，，，
，
解得，
，
．
故选：C
7．（3分）（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可．
【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，
四边形是正方形，
、互相平分，，，
，，
．
，，
．
，．
点、的横坐标分别为、，
，．
，，，
设，则，，
，，，．
又，，
，．
．
．
．
点、在轴的同侧，且点在点的右侧，
．
．
故选：B．
8．（3分）（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在同一个圆中作出圆的内接正三角形 和正八边形 ，若连接 ，则 的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正多边形和圆，连接 ，，，，求出正三角形和正八边形的中心角的度数，再利用圆周角定理，进行求解即可．
【详解】如图，连接 ，，，．
正三角形的中心角 ，
正八边形的中心角 ，
，
，
．
9．（3分）（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线交x轴于，，交y轴负半轴于点C，顶点为D，下列结论：①；②；③若方程的两根分别为m，n，则；④当是等腰直角三角形时，；⑤抛物线上有两点、，且，若，则．正确的有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】依据题意，由抛物线交轴的负半轴于点，从而令，又对称轴是直线，故可判断①；抛物线过，从而，又，即，进而，最后可以判断②；依据，代入方程，可化为，根据一元二次方程根与系数关系即可判断③；由是等腰直角三角形，为顶点，从而，结合顶点为，对称轴是直线，故，再由抛物线为，又抛物线过点，计算可以判断④；根据，判断出点在直线左侧，点在直线右侧，根据二次函数增减性即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线交轴的负半轴于点，开口向上，
∴令．
∵
∴对称轴是直线，
∴．，
∴，故①错误．
∵抛物线过，
∴．
又，即，
∴．
∴，故②错误．
∵，
则可化为，即，
若方程的两根分别为m，n，即方程的两根分别为m，n，
则；故③正确；
是等腰直角三角形，
又为顶点，
∵抛物线交x轴于，，
故设顶点为，对称轴是直线，
，
∴可设抛物线为，
又抛物线过点，
∴．
∴，故④正确．
因为，
所以点在直线左侧，点在直线右侧，
又因为，
则．
因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
所以，故⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质及二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键．
10．（3分）（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，结合三角函数即可求解．
【详解】解：延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，
∵四边形内接于，
∴
∴
∵
∴，
∴是的直径，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∴，,
∵
∴
又∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24九年级·内蒙古·阶段练习）若二次函数的图象经过，，三点，则关于，，的大小关系为 (用号连接) ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由可得抛物线开口向上，对称轴是直线，由对称性可得点关于直线的对称点为，又由开口方向可得时，随的增大而减小，根据即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵
∴抛物线开口向上，对称轴是直线，
∴点关于直线的对称点为，
∵抛物线开口向上，
∴时，随的增大而减小，
又∵，
∴，
故答案为：．
12．（3分）（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，平行线分线段成比例，先设，根据，，得出再分别用勾股定理求出，故，再运用解直角三角形得出，，代入，化简即可作答．
【详解】解：如图，过点A作垂足为H,
∵，，
设，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得
∴，，
∴，，
∴，
过点C作垂足为M，
∴，，
∵,，
∴，
∴，
故答案为：．
13．（3分）（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，求出，的值即可得到答案．
【详解】解：作，交y轴于点F，
由题可得：，
是等边三角形，，
∴是的角平分线，
，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，
故答案为：．
14．（3分）（2024·河南信阳·模拟预测）如图，等边的边长为2，的内切圆与三边的切点分别为，，，以点为圆心，为半径作，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】此题考查了正三角形的内切圆、等边三角形的性质、扇形面积等知识，由等边的边长为2可得扇形的面积为，等边的面积为，的面积为．即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：∵等边的边长为2，
∴，
∴等边的面积为，扇形的面积为，的半径为
∴的面积为．
阴影部分的面积
故答案为：
15．（3分）（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可．
【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：
，
令，则，
或，
解得：或，
，
故答案为：1．
16．（3分）（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ．
【答案】或或2
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：为直径，为弦，
，
当的长为正整数时，或2，
当时，即为直径，
将沿翻折交直线于点F，此时与点重合，
故；
当时，且在点在线段之间，
如图，连接，
此时，
，
，
，
，
；
当时，且点在线段之间，连接，
同理可得，
，
综上，可得线段的长为或或2，
故答案为：或或2．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（2024·浙江杭州·模拟预测）在二次函数中，
(1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标；
(2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点；
(3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标
(2)见解析
(3)
【分析】（1）二次函数的图象经过，即可求得，得到抛物线为，解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）依据题意，由，又对于任意的都有，从而可以判断的大小，进而可以得解；
（3）依据题意，由，在二次函数图象上，从而对称轴直线，故，即，又抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合可得 ，再分类讨论即可得解．
【详解】（1）解：二次函数图象经过，
，
，
抛物线为，
，
顶点坐标为；
（2）证明：
∴二次函数图象与轴总有两个公共点；
（3）解：对称轴直线，
∴即．
∵，
∴，
∵抛物线过，
∴，即，
∵，
∴，
解得，即
∵抛物线开口向上，
∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．
∵，
∴，
当，解得（不合题意舍去）；
当，解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
18．（6分）（2024·贵州贵阳·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．
（1）求∠OMP的度数；
（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．
【答案】（1）∠PMO=135°；（2）内心M所经过的路径长为πcm．
【详解】【分析】（1）先判断出∠MOP=∠MOC，∠MPO=∠MPE，再用三角形的内角和定理即可得出结论；
（2）分两种情况，当点M在扇形BOC和扇形AOC内，先求出∠CMO=135°，进而判断出点M的轨迹，再求出∠OO'C=90°，最后用弧长公式即可得出结论．
【详解】（1）∵△OPE的内心为M，
∴∠MOP=∠MOC，∠MPO=∠MPE，
∴∠PMO=180°﹣∠MPO﹣∠MOP=180°﹣（∠EOP+∠OPE），
∵PE⊥OC，即∠PEO=90°，
∴∠PMO=180°﹣（∠EOP+∠OPE）=180°﹣（180°﹣90°）=135°；
（2）如图，∵OP=OC，OM=OM，
而∠MOP=∠MOC，
∴△OPM≌△OCM，
∴∠CMO=∠PMO=135°，
所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（和）；
点M在扇形BOC内时，
过C、M、O三点作⊙O′，连O′C，O′O，
在优弧CO取点D，连DA，DO，
∵∠CMO=135°，
∴∠CDO=180°﹣135°=45°，
∴∠CO′O=90°，而OA=2cm，
∴O′O=OC=×2=，
∴弧OMC的长==π（cm），
同理：点M在扇形AOC内时，同①的方法得，弧ONC的长为πcm，
所以内心M所经过的路径长为2×π=πcm．
【点睛】本题考查了弧长的计算公式、三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点I的运动轨迹．
19．（6分）（23-24九年级·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2．
(1)求抛物线L的函数解析式；
(2)求小球P在x轴上的落点坐标；
(3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数．
【答案】(1)抛物线L的函数解析式为；
(2)小球P在x轴上的落点坐标为；
(3)竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）由题意知，抛物线L的顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可；
（2）对于，令，求解一元二次方程，据此计算即可求解；
（3）由题意先求出，当和时，求得对应的值，再设竖直摆放的回收箱有个，根据题意得出关于的不等式组，求出的整数解即可．
【详解】（1）解：∵从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2，
∴顶点坐标为，
∴设抛物线L对应的函数解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线L对应的函数解析式为；
（2）解：对于，
令，则，
解得，，
∴小球P在x轴上的落点坐标为；
（3）解：∵，，
∴，对于，
当时，；
当时，；
设竖直摆放的回收箱有个，
则，
解得，
∵是正整数，
∴可以是3或4或5或6或7，
答：竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个．
20．（8分）（2024·上海·中考真题）已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结．
（1）求证：；
（2）联结，当时，求证：四边形为矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连结，由M、N分别是和的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由， 可得，可证，，根据等腰三角形三线合一性质;
（2）设OG交MN于E，由，可得，可得，，可证可得，由CN∥OG，可得，由可得AM∥CN，可证是平行四边形，再由可证四边形ACNM是矩形．
【详解】证明：（1）连结，
∵M、N分别是和的中点，
∴OM，ON为弦心距，
∴OM⊥BC，ON⊥AD，
，
在中，，
，
在Rt△OMG和Rt△ONG中，
，
，
∴，
;
（2）设OG交MN于E，
，
∴，
∴，即，
，
在△CMN和△ANM中
，
，
，
∵CN∥OG，
，
，
，
∴AM∥CN，
是平行四边形，
，
∴四边形ACNM是矩形．
【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键．
21．（8分）（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空：_________；
（2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________；
【解决问题】
（3）求的长．
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】（1）；
（2）可推出四边形是平行四边形，从而，从而，进而得出，根据，得出，进一步得出结果；
（3）作于，解直角三角形求得和，进而表示出，在直角三角形中根据勾股定理列出方程，进而得出结果．
【详解】解：（1），
，
故答案为：；
（2）、、、均与所在直线平行，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；
（3）如图，
作于，
，
，，
，
设，则，，
，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质，勾股定理，线段之间的数量关系，解决问题的关键是理解题意，熟练应用有关基础知识．
22．（9分）（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)是等腰三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，根据已知得出，根据得出，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得，即可得证；
（2）根据题意得出，则，证明，得出，等量代换得出，即可得出结论；
（3）根据，，设，则，等边对等角得出，则．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
即，又是的直径，
∴是的切线；
（2）∵，是的直径，
∴，，
∴，
∵，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴是等腰三角形，
（3）∵，，
设，则，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23．（9分）（23-24九年级·江苏盐城·阶段练面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由；
(3)如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)存在，，，，；
(3)存在点M使最小，
【分析】本题主要考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）将代入函数解析式，求出解析式，即可求出点A，C的坐标；
（2）设，根据勾股定理分情况进行讨论，列出方程求解即可；
（3）作点关于的对称点，连接交于点，连接，求出直线的解析式，直线的解析式，联立方程即可．
【详解】（1）解：将代入，
即，
解得，
，
令，，
令，，
解得，
；
（2）解：存在点P，使是直角三角形，
，对称轴为直线，
设，
，
，
，
，
①当时，，
，
解得；
②当，，
，
解得；
③当，，
，
解得或，
综上所述，或或或；
（3）解：存在
作点关于的对称点，连接交于点，连接，
由对称性可知，，
，
当三点共线时，有最小值，
，
，
，
由对称性可知，，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设直线解析式为，
，
解得，
故直线解析式为，
联立方程组，
解得．
故．
24．（10分）（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）证明，得出，即可证明结论；
（2）过点C作于点F，过点D作于点G，解直角三角形得出，，证明，得出，求出，根据勾股定理得出，得出，证明，得出，求出；
（3）连接，证明，得出，求出，证明为直角三角形，得出，根据勾股定理求出，证明，得出，求出结果即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）过点C作于点F，过点D作于点G，如图所示：
则，
∴，
∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
（3）连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，负值舍去，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形，，
∴，
∴在中根据勾股定理得：
，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
25．（10分）（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值；
(3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作 交轴于点，连接，求面积的最小值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）连接，过点作 轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．设直线的表达式为，解方程组得到直线的表达式为，则，求得，求得于是得到，解方程得到，根据平移的性质得到，将代入，解方程即可；
（3）过作轴，垂足为，过点作 轴，过点作 轴，与交于点，设且，求得抛物线的顶点，得到，推出，解方程得到当时，，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：抛物线过点
得
解得
抛物线的表达式为
顶点；
（2）解：如图，连接，过点作 轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．
设直线的表达式为
由题意知
解得
直线的表达式为
的面积为12
，
，
解得（舍）
点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点
将代入
得
解得．
（3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作 轴，过点作 轴，与交于点，设且
抛物线的顶点
，
易得
当时，
点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小
最近距离即边上的高，高为：
面积的最小值为．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)九年级下册押题重难点检测卷
【北师大版】
考试时间：120分钟；满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24九年级·浙江台州·自主招生）在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与x轴两交点间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（ ）
A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位
C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位
2．（3分）（23-24九年级·广东广州·期中）如图，的顶点在正方形网格的格点处，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
3．（3分）（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（23-24九年级·重庆涪陵·期末）如图，，，都是上的点，与交于点，过点且与相切的直线与的延长线交于点．，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2024·湖北武汉·模拟预测）二次函数，若对满足的任意x都有，则实数a的范围为（ ）
A．且 B． C． D．或
6．（3分）（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在同一个圆中作出圆的内接正三角形 和正八边形 ，若连接 ，则 的度数是 （ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线交x轴于，，交y轴负半轴于点C，顶点为D，下列结论：①；②；③若方程的两根分别为m，n，则；④当是等腰直角三角形时，；⑤抛物线上有两点、，且，若，则．正确的有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（3分）（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24九年级·内蒙古·阶段练习）若二次函数的图象经过，，三点，则关于，，的大小关系为 (用号连接) ．
12．（3分）（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则 ．
13．（3分）（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ．
14．（3分）（2024·河南信阳·模拟预测）如图，等边的边长为2，的内切圆与三边的切点分别为，，，以点为圆心，为半径作，则阴影部分的面积为 ．
15．（3分）（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ．
16．（3分）（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（2024·浙江杭州·模拟预测）在二次函数中，
(1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标；
(2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点；
(3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围．
18．（6分）（2024·贵州贵阳·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．
（1）求∠OMP的度数；
（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．
19．（6分）（23-24九年级·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2．
(1)求抛物线L的函数解析式；
(2)求小球P在x轴上的落点坐标；
(3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数．
20．（8分）（2024·上海·中考真题）已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结．
（1）求证：；
（2）联结，当时，求证：四边形为矩形．
21．（8分）（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空：_________；
（2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________；
【解决问题】
（3）求的长．
22．（9分）（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)当时，求的长．
23．（9分）（23-24九年级·江苏盐城·阶段练面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由；
(3)如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
24．（10分）（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长．
25．（10分）（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值；
(3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作 交轴于点，连接，求面积的最小值．
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