专题1.1 锐角的三角函数【十大题型】
【北师大版】
【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】 2
【题型2 求角的正弦、余弦、正切值】 2
【题型3 由正弦、余弦、正切值求边长】 3
【题型4 含特殊角的三角函数值的混合运算】 4
【题型5 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状】 4
【题型6 比较三角函数值的大小】 4
【题型7 由三角函数值判断锐角的取值范围】 5
【题型8 求特殊角的三角函数值】 5
【题型9 锐角的三角函数中的新定义问题】 7
【题型10 同角（互余）两角的三角函数关系】 8
知识点：锐角的三角函数
在Rt△ABC中，∠C=90°，则的三角函数如下表：
定 义 表达式 取值范围 关 系
正弦 (∠A为锐角)
余弦 (∠A为锐角)
正切 (∠A为锐角)
特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
1
【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】
【例1】（23-24九年级·湖南娄底·期末）在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24九年级·河南南阳·期末）在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（ ）
A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍
C．都没有变化 D．不能确定
【变式1-2】（23-24九年级·甘肃白银·期末）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（ ）
A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡
C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关
【变式1-3】（23-24九年级·上海静安·课后作业）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 求角的正弦、余弦、正切值】
【例2】（23-24九年级·全国·单元测试）当时，．在中，是斜边上的高，那么与的值相等的锐角三角函数是 ．
【变式2-1】（23-24九年级·全国·专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形面积是4，则 ．
【变式2-2】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，已知的终边，直线的方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则这个等腰三角形底角的正弦值为 ．
【题型3 由正弦、余弦、正切值求边长】
【例3】（23-24九年级·上海宝山·期中）如图，菱形ABCD的边长为5，，E是边CD上一点（不与点C、D重合），把△ADE沿着直线AE翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为 ．
【变式3-1】（23-24九年级·广东佛山·期中）在中，，，，则周长 ．
【变式3-2】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图，在中，，于点，，，则的值为 ．
【变式3-3】（23-24九年级·上海静安·期中）已知点P在第二象限，且，与x轴的负半轴的夹角的余弦值是，则点P的坐标是 ．
【题型4 含特殊角的三角函数值的混合运算】
【例4】（23-24九年级·辽宁沈阳·开学考试）计算：．
【变式4-1】（23-24九年级·江苏常州·期末）计算：
(1)；
(2)．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏南京·期末）（1）计算：
（2）计算．
【变式4-3】（23-24·湖南怀化·模拟预测）计算
．
【题型5 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状】
【例5】（23-24九年级·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式5-1】（23-24·四川自贡·一模）在中，若满足，则是 三角形．
【变式5-2】（23-24九年级·山东泰安·阶段练习）若，则以为内角的的形状是 ．
【变式5-3】（23-24九年级·广东深圳·期末）若，那么的形状是 ．
【题型6 比较三角函数值的大小】
【例6】（23-24九年级·浙江宁波·期末）角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（23-24九年级·安徽滁州·阶段练习）比较大小： （填“”“”或“”）．
【变式6-2】（23-24九年级·浙江杭州·期末）已知是锐角三角形，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（23-24九年级·山东东营·开学考试）三角函数、、之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 由三角函数值判断锐角的取值范围】
【例7】（23-24·江苏南京·一模）若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（ ）
A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．2＜a＜3 D．3＜a＜4
【变式7-1】（23-24九年级·安徽六安·期末）若，则锐角满足（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（23-24九年级·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】（23-24·北京昌平·二模）如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB ∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【题型8 求特殊角的三角函数值】
【例8】（23-24九年级·四川巴中·阶段练习）进入高中后，我们还会学到下面的三角函数公式：
，
，
．
利用这些公式求出下列三角函数值．
(1)
(2)
【变式8-1】（23-24九年级·陕西西安·期末）学习完特殊角的三角函数，爱思考的小明同学想探究一下的值．他的做法是：如图，先画，使得，再延长到，使，连接．你能根据小明的做法，求出的值吗？请你试一试．
【变式8-2】（23-24·浙江杭州·三模）在学习《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．
(1)初步尝试：我们知道：tan60°＝ ，tan30°＝ ，发现结论：tanA 2______tan∠A（填“＝”或“≠”）；
(2)实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC＝1，求tan∠A；
小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值．
请按小明的思路进行余下的求解：
(3)拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝．求tan2A的值．
【变式8-3】（23-24·辽宁大连·一模）经过对“锐角三角函数”一章节的学习后，小胖同学十分好奇角的三角函数值．于是他利用课余时间对其正切值进行了探究．在询问了老师、与同学研讨后，他决定通过构造已学的特殊角（如，，），以特殊角的三角函数值来解决问题．在他的提示下，请你帮助小胖同学求出：角的正切值为（ ）
A．-1 B． C． D．+1
【题型9 锐角的三角函数中的新定义问题】
【例9】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对．如图1，在中，，顶角的正对记作，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)计算：______；
(2)对于，的正对值的取值范围是______；
(3)如（3）图，已知，，其中为锐角，试求的值．
【变式9-1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-2】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）定义：，
，
，
；
例如：
(1)______，______，______；
(2)如图，在中，，，，；求证：；
(3)利用（2）中的结论证明：
（，）．
【变式9-3】（23-24九年级·上海·期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题（第（1）（2）不必写出过程）
(1)的值为（ ）．
A． B．1 C． D．2
(2)对于，的正对值的取值范围是 ．
(3)如果，，其中为锐角，试求的值．
【题型10 同角（互余）两角的三角函数关系】
【例10】（23-24九年级·全国·专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题．
(1) ； ； ．
(2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ；
(3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
(4)若，且，求的值．
【变式10-1】（23-24九年级·上海宝山·期中）如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联结EF．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）如果sinA＝，求的值．
【变式10-2】（2024九年级·安徽合肥期末）在中，，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式10-3】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题1.1 锐角的三角函数【十大题型】
【北师大版】
【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】 2
【题型2 求角的正弦、余弦、正切值】 4
【题型3 由正弦、余弦、正切值求边长】 8
【题型4 含特殊角的三角函数值的混合运算】 12
【题型5 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状】 13
【题型6 比较三角函数值的大小】 15
【题型7 由三角函数值判断锐角的取值范围】 17
【题型8 求特殊角的三角函数值】 19
【题型9 锐角的三角函数中的新定义问题】 23
【题型10 同角（互余）两角的三角函数关系】 29
知识点：锐角的三角函数
在Rt△ABC中，∠C=90°，则的三角函数如下表：
定 义 表达式 取值范围 关 系
正弦 (∠A为锐角)
余弦 (∠A为锐角)
正切 (∠A为锐角)
特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
1
【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】
【例1】（23-24九年级·湖南娄底·期末）在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键．正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断．
【详解】解：如下图，
A. ，故该选项不成立，不符合题意；
B. ，故该选项不成立，不符合题意；
C. ，故该选项不成立，不符合题意；
D. ，故该选项成立，符合题意．
故选：D．
【变式1-1】（23-24九年级·河南南阳·期末）在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（ ）
A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍
C．都没有变化 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确锐角三角函数的定义，知道变化前后的两个三角形相似．根据一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍，可知扩大后的度数没有发生变化，可以判断是否变化．
【详解】解：一个的三边的长都扩大为原来的2倍，
的度数没有发生变化，
锐角的正弦值、余弦值没有变化，
故选：C
【变式1-2】（23-24九年级·甘肃白银·期末）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（ ）
A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡
C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关
【答案】A
【分析】本题主要考查了锐角三角形，根据三角函数定义与性质，值越大越大；值越小越大；值越大越大，从而判断出答案．
【详解】解：A、的值越大，则越大，则梯子越陡，原说法正确，符合题意；
B、的值越大越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意；
C、的值越小越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意；
D、陡缓程度与的函数值有关，原说法错误，不符合题意；
故选：A．
【变式1-3】（23-24九年级·上海静安·课后作业）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论．
【详解】解：如下图所示
在Rt中，=，故A不符合题意；
在Rt中，=，故B不符合题意；
∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90°
∴∠A=∠BCD
∴=tan∠BCD=，故C不符合题意；
≠，故D符合题意．
故选D．
【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键．
【题型2 求角的正弦、余弦、正切值】
【例2】（23-24九年级·全国·单元测试）当时，．在中，是斜边上的高，那么与的值相等的锐角三角函数是 ．
【答案】，，，
【分析】根据题意作出相应图形，然后利用正弦和余弦函数的定义即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵是斜边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，，，．
【点睛】题目主要考查正弦函数和余弦函数的定义，理解三角函数的基本定义是解题关键．
【变式2-1】（23-24九年级·全国·专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形面积是4，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，如图所示，大正方形的边长，小正方形的边长，得到，从而，即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
大正方形的面积是25，小正方形面积是4，
大正方形的边长，小正方形的边长，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查历史背景问题求解，数形结合，灵活运用三角函数定义求解是解决问题的关键．
【变式2-2】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，已知的终边，直线的方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角函数的定义，一次函数的图象和性质等知识．根据一次函数的性质，求出、的坐标，得到、、的长度，根据三角函数的定义即可求出的值,再证明即可得到答案．
【详解】解：根据题意：直线的方程为，
令，则，令，则，
∴点坐标为，点坐标为，
故，；
∴，，
∵，
∴
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则这个等腰三角形底角的正弦值为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．本题易错，容易丢掉腰为底为的情况．
【详解】解：如图：当腰为，底为时，
过点作，垂足为．
，，
，．
在直角中，
．
．
如图：当腰为，底为时，
过点作，垂足为．
，，
，．
在直角中，
．
．
故答案为：或．
【题型3 由正弦、余弦、正切值求边长】
【例3】（23-24九年级·上海宝山·期中）如图，菱形ABCD的边长为5，，E是边CD上一点（不与点C、D重合），把△ADE沿着直线AE翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，由折叠得，过点A作于点H，过点作于点G，得 由菱形的性质得，可得，设则由勾股定理得由折叠得而，在中由勾股定理得，解方程求出的值即可解决问题
【详解】解：过点A作于点H，过点作于点G，点D与点F重合，如图，
由折叠得，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∵四边形是菱形，
∴
∴
∴
设则，
由折叠得，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴
解得，，
∴
故答案为：
【变式3-1】（23-24九年级·广东佛山·期中）在中，，，，则周长 ．
【答案】60
【分析】本题考查了锐角三角形函数、勾股定理，根据正弦的定义得出，再由勾股定理计算出，最后由的周长进行计算即可，熟练掌握锐角三角形函数、勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：如图，
在中，，，，
，
，
，
周长，
故答案为：60．
【变式3-2】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图，在中，，于点，，，则的值为 ．
【答案】//
【分析】由题意易证，即得出 ，从而得出，解出的值即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查同角的余角相等，正切的定义．证明出是解题关键．
【变式3-3】（23-24九年级·上海静安·期中）已知点P在第二象限，且，与x轴的负半轴的夹角的余弦值是，则点P的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据题意，画出图形，过点P作轴于A，根据余弦值可知，根据求出，再根据勾股定理求出，即可得到P点坐标．
【详解】解：如下图所示，过点P作轴于A
由题意可知：，
∴，
∵，
∴，，
∴在中，
∴，
∵点P在第二象限，
∴点P的坐标为
故答案为：．
【点睛】此题考查的是勾股定理的应用和求点的坐标，灵活运用所学知识求解是解题关键．
【题型4 含特殊角的三角函数值的混合运算】
【例4】（23-24九年级·辽宁沈阳·开学考试）计算：．
【答案】3
【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的混合运算，根据计算顺序先求括号内、去绝对值和求一个数的立方根，再按实数加减计算即可．
【详解】解：
．
【变式4-1】（23-24九年级·江苏常州·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）把特殊角的三角函数值代入进行计算，然后根据二次根式的运算即可解答；
（）把特殊角的三角函数值代入进行计算，然后根据二次根式的运算即可解答；
本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的运算，熟记各运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏南京·期末）（1）计算：
（2）计算．
【答案】（1）4；（2）
【分析】此题考查负整数指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数、零指数幂等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
（2）根据负整数指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数、零指数幂进行运算，再合并即可．
【详解】解：（1）原式
．
（2）
．
【变式4-3】（23-24·湖南怀化·模拟预测）计算
．
【答案】；
【分析】本题考查特殊三角函数值的计算和，熟知特殊角的三角函数值及实数运算法则是正确解决本题的关键．代入特殊角的三角函数值再计算即可；
【详解】
．
【题型5 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状】
【例5】（23-24九年级·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
是等腰三角形
故选：A．
【变式5-1】（23-24·四川自贡·一模）在中，若满足，则是 三角形．
【答案】等边/正
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；非负数的性质，等边三角形的判定．熟知特殊角的三角函数值是关键．先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值和，即可作出判断．
【详解】解：根据题意得：且 ，
则，
∴，
∴是等边三角形．
故答案为：等边．
【变式5-2】（23-24九年级·山东泰安·阶段练习）若，则以为内角的的形状是 ．
【答案】直角三角形
【分析】直接利用非负数的性质得出，进而得出的形状．
【详解】解：∵，
∴，，
则，，
∴，
∴以为内角的的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键．
【变式5-3】（23-24九年级·广东深圳·期末）若，那么的形状是 ．
【答案】锐角三角形
【分析】根据二次根式和绝对值的非负数性质及特殊角的三角函数值可求出∠A和∠B的度数，然后根据三角形内角和求出∠C的度数，即可得到答案．
【详解】∵，
∴cos2A-=0，tan-=0，
∴cosA=（负值舍去），tanB=，
∴∠A=45°，∠B=60°，
∴∠C=180°-45°-60°=75°，
∴△ABC是锐角三角形，
故答案为：锐角三角形
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及非负数性质的应用，熟练掌握非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
【题型6 比较三角函数值的大小】
【例6】（23-24九年级·浙江宁波·期末）角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由角，满足，确定锐角三角函数的增减性，随的增大而增大，随的增大而减小，随的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案．
【详解】解：角，满足，随的增大而增大，随的增大而减小，
随的增大而增大，
A.∵,∴0<<,选项A正确，不合题意；
B．∵,∴,选项B正确，不合题意；
C．，，，，选项C不正确，符合题意；
D．，，，，选项D正确，不符合题意．
故选择：C．
【点睛】本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值的特殊关系是解题关键．
【变式6-1】（23-24九年级·安徽滁州·阶段练习）比较大小： （填“”“”或“”）．
【答案】
【分析】利用正切的增减性解答．
【详解】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角函数值大小的比较，掌握相关知识是解题关键．
【变式6-2】（23-24九年级·浙江杭州·期末）已知是锐角三角形，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】大边对大角，可得∠C＞∠B，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；依此即可求解．
【详解】解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，
则∠C＞∠B，
则sinB＜sinC．
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
【变式6-3】（23-24九年级·山东东营·开学考试）三角函数、、之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，由，再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，即可得出正确选项．
【详解】解：∵（），
∴，
当时，正弦值是随着角的增大而增大，
∴
∴，
故选：C．
【题型7 由三角函数值判断锐角的取值范围】
【例7】（23-24·江苏南京·一模）若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（ ）
A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．2＜a＜3 D．3＜a＜4
【答案】B
【详解】分析：首先明确tan45°=1，tan60°=，再根据正切值随着角的增大而增大，进行分析解答即可．
详解：
∵tan45°=1，tan60°=，
∴1＜tan55°＜，
∴1＜tan55°＜2.
故选B.
点睛：本题考查了锐角三角函数的增减性，利用特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是解决这类题目的基本思路.
【变式7-1】（23-24九年级·安徽六安·期末）若，则锐角满足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可．
【详解】解：，，
，
，
故选：B．
【变式7-2】（23-24九年级·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查锐角三角函数，首先明确，，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析．
【详解】解： ，正弦值随着角的增大而增大，
，
，
故选C
【变式7-3】（23-24·北京昌平·二模）如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB ∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【答案】=
【分析】根据tan∠AOB与tan∠COD的大小比较即可求解．
【详解】解：根据题意可知tan∠AOB＝2，tan∠COD＝2，
∴∠AOB＝∠COD，
故答案为＝.
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．
【题型8 求特殊角的三角函数值】
【例8】（23-24九年级·四川巴中·阶段练习）进入高中后，我们还会学到下面的三角函数公式：
，
，
．
利用这些公式求出下列三角函数值．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值的应用，解题的关键是根据题目中所给公式对待求式进行变形；
（1）根据，把写成，将其展开，再根据特殊角的函数值进行计算即可得到结果；
（2）根据，把写成，将其展开，再根据特殊角的函数值进行计算即可得到结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式8-1】（23-24九年级·陕西西安·期末）学习完特殊角的三角函数，爱思考的小明同学想探究一下的值．他的做法是：如图，先画，使得，再延长到，使，连接．你能根据小明的做法，求出的值吗？请你试一试．
【答案】
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值以及勾股定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．令，故可求出的值，从而得到答案．
【详解】解：令，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
．
【变式8-2】（23-24·浙江杭州·三模）在学习《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．
(1)初步尝试：我们知道：tan60°＝ ，tan30°＝ ，发现结论：tanA 2______tan∠A（填“＝”或“≠”）；
(2)实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC＝1，求tan∠A；
小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值．
请按小明的思路进行余下的求解：
(3)拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝．求tan2A的值．
【答案】(1)，，≠
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值得结论；
（2）根据题意，利用勾股定理求AC，得结论；
（3）作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，求tan∠BEC得结果．
【详解】（1）解：tan60°＝，tan30°＝，
发现结论：tanA≠2tan∠A
故答案为：，，≠；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，
∴AB==，
如图1，延长CA至D，使得DA=AB，
∴AD=AB=，
∴∠D=∠ABD，
∴∠BAC=2∠D，CD=AD+AC=2+，
∴tan∠A=tan∠D=；
（3）如图2，作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE．
则∠BEC=2∠A，AE=BE，∠A=∠ABE
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanA=
∴BC=1，AB=，设AE=x，则EC=3-x，
在Rt△EBC中，x2=(3-x)2+1，解得x=，
即AE=BE=，EC=，
∴tan2A=tan∠BEC=．
【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，难度较大，在直角三角形中添加辅助线构造2∠A是解题的关键．
【变式8-3】（23-24·辽宁大连·一模）经过对“锐角三角函数”一章节的学习后，小胖同学十分好奇角的三角函数值．于是他利用课余时间对其正切值进行了探究．在询问了老师、与同学研讨后，他决定通过构造已学的特殊角（如，，），以特殊角的三角函数值来解决问题．在他的提示下，请你帮助小胖同学求出：角的正切值为（ ）
A．-1 B． C． D．+1
【答案】D
【分析】构造等腰，平分，，设，，得到，再结合等腰直角三角形的性质即可求出各线段的长度，由图可知：，即有：，解方程即可求解．
【详解】构造等腰，平分，，设，，
各角度和线段的长度如下图所示，，
由图可知：，
即有：，
整理得：，
即：，（负值舍去），
经检验，是原方程的根，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了求解角的正切值的知识，依据特殊角构造出是解答本题的关键．
【题型9 锐角的三角函数中的新定义问题】
【例9】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对．如图1，在中，，顶角的正对记作，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)计算：______；
(2)对于，的正对值的取值范围是______；
(3)如（3）图，已知，，其中为锐角，试求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了新定义、三角函数、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，理解新定义是解此题的关键．
（1）先求出底角度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对定义解答即可；
（2）求出0度和90度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）由，令，则，，在上取点，使，连接，作，为垂足，表示出的长，再计算出，最后由正对的定义即可求解．
【详解】（1）解：根据正对定义可得：
当顶角为时，等腰三角形底角为，则三角形为等边三角形，
底边腰长，
故答案为：1；
（2）解：当接近时，底边长接近0，由定义知接近0，
当接近时，等腰三角形的底接近腰的倍，由定义知接近，
的正对值的取值范围是，
故答案为：；
（3）解：如图：
在中，，
令，则，，
在上取点，使，连接，作，为垂足，
∴，
，，
．
【变式9-1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了锐角三角函数，定义新运算，根据定义逐项判断即可．
【详解】根据题意，得，，，
则，可知A，B不符合题意；
则，可知C符合题意；
则，可知D不符合题意．
故选：C．
【变式9-2】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）定义：，
，
，
；
例如：
(1)______，______，______；
(2)如图，在中，，，，；求证：；
(3)利用（2）中的结论证明：
（，）．
【答案】(1)；1；
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了三角函数的有关计算，解题的关键是理解题意，熟练掌握三角函数的定义．
（1）根据题干中提供的信息进行计算即可；
（2）根据三角函数的定义进行解答即可；
（3）根据解析（2）的结论分别求出，，即可得出结论．
【详解】（1）解：
；
；
；
（2）证明：∵在中，，，，，
∴，，，
∵，
∴．
（3）证明：∵
，
∴．
【变式9-3】（23-24九年级·上海·期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题（第（1）（2）不必写出过程）
(1)的值为（ ）．
A． B．1 C． D．2
(2)对于，的正对值的取值范围是 ．
(3)如果，，其中为锐角，试求的值．
【答案】(1)B
(2)
(3)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理以及三角形的三边关系等知识．
（1）先判断为等边三角形，得到，最后根据新定义求解即可；
（2）先根据三角形的三边关系和等腰三角形的性质得到，最后根据新定义求解即可；
（3）过点作于点，则，设，，然后用勾股定理求出、，最后根据新定义求解即可．
【详解】（1）解：在中，，，
为等边三角形，
，
，
故选：B；
（2）在中，根据三角形的三边关系得：，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）如图，过点作于点，则，
，
设，，
在中，，
是等腰三角形，
，
，
在中，，
．
【题型10 同角（互余）两角的三角函数关系】
【例10】（23-24九年级·全国·专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题．
(1) ； ； ．
(2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ；
(3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
(4)若，且，求的值．
【答案】(1)1，1，1
(2)1
(3)证明见解析
(4)
【分析】（1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案；
（2）由（1）中运算结果即可得到答案；
（3）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证；
（4）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
故答案为：1，1，1；
（2）解：由（1）中运算结果即可猜想在中，，都有，
故答案为：1；
（3）证明：在中，，，，的对边分别是，，，
由勾股定理即可得到，
，
；
（4）解：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键．
【变式10-1】（23-24九年级·上海宝山·期中）如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联结EF．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）如果sinA＝，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）先求证，得到，再根据，即可求证；
（2）根据三角函数的定义以及关系，求得的值，即可求解．
【详解】解：（1）∵BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高
∴
又∵
∴
∴，即
又∵
∴
（2）在，，
由锐角三角函数关系可得：，即
由（1）得，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系是解题的关键．
【变式10-2】（2024九年级·安徽合肥期末）在中，，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查锐角三角函数的概念，勾股定理，在中，，的a，的b，的c，则，，．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据锐角三角函数的概念，确定锐角三角函数值的取值范围用三角函数间的关系．
【详解】解：如图，在中，，
A、∵，，又∵不能比较a、b大小，∴不能判定与的大小，∴错误；故此选项不符合题意；
B、∵，又∵，，但不能比较a、b大小，∴，故此选项不符合题意；
C、∵，，∴，又∵
∴，故此选项不符合题意；
D、∵，，∴，又由勾股定理，得，∴，∴，故此选项符合题意．
故选：D．
【变式10-3】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．
【答案】；，理由见解析
【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根据题意得出，即可得出．
【详解】存在的一般关系有：，，
证明：，，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关键．
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