专题1.2 解直角三角形【九大题型】
【北师大版】
【题型1 解直角三角形】 1
【题型2 解一图多三角形的直角三角形】 2
【题型3 解非直角三角形】 3
【题型4 网格问题】 6
【题型5 构造直角三角形求不规则图形的面积】 7
【题型6 在四边形中解直角三角形】 8
【题型7 在平面直角坐标系中解直角三角形】 9
【题型8 函数与解直角三角形】 11
【题型9 动态问题与解直角三角形】 12
知识点：解直角三角形
已知条件 图形 解法
已知一直角边和一个锐角
已知斜边和一个锐角
已知两直角边
已知斜边和一条直角边
【题型1 解直角三角形】
【例1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点分别为边的中点，连接，若，则的长度为（ ）
A．3 B． C．3.5 D．4
【变式1-1】（23-24九年级·全国·课后作业）在中，，， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·湖南长沙·三模）如图，在等腰中，，过点A作，交的延长线于点D，若，则的长为 ．
【变式1-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，在四边形纸片中，，，．将纸片沿折痕折叠，使点落在边上的点处．若，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【题型2 解一图多三角形的直角三角形】
【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）将一副直角三角板按如图所示摆放，其中，，，若，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式2-1】（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，是的中点，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，，于D，的平分线交于E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（ ）
A． B． C． D．
【题型3 解非直角三角形】
【例3】（2024·江苏扬州·一模）如图，若，，，且，则AC等于 ．
【变式3-1】（2024·陕西西安·三模）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为
A． +1 B．2 C． D．-
【变式3-2】（2024·湖北武汉·中考真题）如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 ．
【变式3-3】（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ．
【题型4 网格问题】
【例4】（2024·江苏扬州·一模）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则的值是 ．
【变式4-1】（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作格点图形，保留作图痕迹．
(1)在图①中，以为中线作，使；
(2)在图②中，以为中线作，使；
(3)在图③中，以为中线作，使为钝角且．
【变式4-2】（2019·江苏常州·二模）如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么∠ABC的正切值是 ．
【变式4-3】（2024·吉林白城·一模）图、图、图都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都在格点上．在图、图、图给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．
(1)在图中的的边，上分别找到点D，E，连接，使．
(2)在图中的的边上找到点F，连接，使．
(3)在图中的的边上找到点G，连接，使．
【题型5 构造直角三角形求不规则图形的面积】
【例5】（23-24九年级·全国·课后作业）一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到）．
【变式5-1】（23-24九年级·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
【变式5-2】（2024·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·浙江金华·一模）如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF
A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
【题型6 在四边形中解直角三角形】
【例6】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在正方形中，E为边的中点，以为斜边向外作等腰，连接，线段上有一点G，且，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式6-1】（2024·山东青岛·一模）在综合实践课上，小颖用四根长度相同的木条首尾相接制作了一个学具，如图1所示，测得，将学具变形成图2的形状，测得，若图1中的对角线，则变形后图2中对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·广东汕尾·模拟预测）如图，已知菱形的边长，，连接对角线，以为边作第二个菱形，使．连接，再以为边作第三个菱形，使…按此规律所作的第n个菱形的边长是 ．
【变式6-3】（2024·安徽合肥·三模）如图，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着折叠，使得点的对应点落在边上的点处，连接，为的中点，连接交、于点、两点．
（1）若，则的度数为 ．
（2）若，则值为 ．
【题型7 在平面直角坐标系中解直角三角形】
【例7】（2024·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点O为坐标原点，，C是斜边的中点，且交x轴于点D．将沿x轴向右平移得到，当的中点E恰好落在y轴上时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．(7， 0)
【变式7-1】（2024·河南郑州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，在中，点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，，，过点作轴于点，平分交于点，则点的坐标（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2024·江苏无锡·三模）已知，在平面直角坐标系中，，，现将绕点逆时针旋转，当线段第一次与轴平行时，点落在处，点落在处，求（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中放置了 5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点、、、、、、在x轴上．正方形的边长为2，，，则点到x轴的距离是( )
A． B． C． D．
【题型8 函数与解直角三角形】
【例8】（2024·河南濮阳·一模）如图（1），在矩形中， ，点N是对角线上一定点，点M沿边从点 A 运动到点 D，连接，，设．图（2）是y关于x的函数图象，则图（2）中的函数图象最低点的纵坐标m的值是（ ）
A． B． C．6 D．
【变式8-1】（2024·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，以为边向y轴左侧作等边，将沿x轴正方向平移得到，点恰好落在一次函数的图象上，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2024·江苏常州·模拟预测）已知直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点A，C，若，轴， ．
(1)求反比例函数和直线的函数表达式；
(2)过点O作直线的垂线，交直线于点P，求P点坐标．
【变式8-3】（2024·广西南宁·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，点D，E，F分别在边上运动，满足．
(1)求证：；
(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；
(3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．
【题型9 动态问题与解直角三角形】
【例9】（2024·河南新乡·一模）如图所示，正方形纸片的边长为4．点E为边上不与端点重合的一动点，将纸片沿过的直线折叠，连接、，若是以为腰的等腰三角形，则 ．
【变式9-1】（2024·湖北·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．
【变式9-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，点分别为边上的动点，连接，，若，，则面积的最大值为 ．
【变式9-3】（2024九年级·全国·专题练习）已知：矩形中，，点E在对角线上，且，动点P在矩形的四边上运动一周，则以P、E、C为顶点的等腰三角形有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
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【北师大版】
【题型1 解直角三角形】 2
【题型2 解一图多三角形的直角三角形】 5
【题型3 解非直角三角形】 8
【题型4 网格问题】 14
【题型5 构造直角三角形求不规则图形的面积】 19
【题型6 在四边形中解直角三角形】 22
【题型7 在平面直角坐标系中解直角三角形】 29
【题型8 函数与解直角三角形】 34
【题型9 动态问题与解直角三角形】 40
知识点：解直角三角形
已知条件 图形 解法
已知一直角边和一个锐角
已知斜边和一个锐角
已知两直角边
已知斜边和一条直角边
【题型1 解直角三角形】
【例1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点分别为边的中点，连接，若，则的长度为（ ）
A．3 B． C．3.5 D．4
【答案】D
【分析】根据三角形中位线得出，再由余弦函数确定，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
题目主要考查解三角形，中位线的性质及斜边上的中线的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
【详解】解：∵点分别为边的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【变式1-1】（23-24九年级·全国·课后作业）在中，，， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形边角关系是解题的关键．
先根据正切三角函数的定义求得，再根据特殊角的三角函数值求出角度即可．
【详解】解：在中，
∵，， ，
∴，
∴，
故选：A．
【变式1-2】（2024·湖南长沙·三模）如图，在等腰中，，过点A作，交的延长线于点D，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，以及三角形外角的性质，熟练掌握锐角三角函数的概念是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得，，求出，然后利用的正切求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴
故答案为：．
【变式1-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，在四边形纸片中，，，．将纸片沿折痕折叠，使点落在边上的点处．若，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查折叠的性质、解直角三角形、矩形的判定与性质．由折叠的性质知，，再由得到，过点A作于点H，在中求出的长度，再证明四边形是矩形，从而得出，据此即可解决问题．
【详解】解：如图，过点A作于点H，
由折叠的性质知，，
，
，
在中，，
∵，
，
四边形是矩形，
，
，
故选：B．
【题型2 解一图多三角形的直角三角形】
【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）将一副直角三角板按如图所示摆放，其中，，，若，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据，，，得；
根据，得；解答即可．
本题考查了直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，三角函数，熟练掌握三角函数，特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】根据，，，
得；
根据，
得；
故选C．
【变式2-1】（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，是的中点，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形．过作于，由锐角的正切求出的长，由勾股定理求出长，由的正切，勾股定理求出长，即可求解．
【详解】解：过作于，
是的中点，
，
，，，
，
，
，
，
，
令，，
，
，
，
．
故选：B
【变式2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，，于D，的平分线交于E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解直角三角形的知识，利用三角函数可得：，，，代入计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴、、是直角三角形，
∵，
∴在中，，
∵，
∴在中，，
∵平分，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式2-3】（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得，，，利用新钢架减少用钢，代入数据计算即可求解．
【详解】解：∵等边，于点D，长，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴新钢架减少用钢
，
故选：D．
【题型3 解非直角三角形】
【例3】（2024·江苏扬州·一模）如图，若，，，且，则AC等于 ．
【答案】
【分析】延长CD与AB交于点E,过点E作交BD于点M，过点A作交CE于点N，证明得到根据等腰三角形的性质得到得到进而求出CE的长度，设 根据列出方程，求出，即可求解.
【详解】延长CD与AB交于点E,过点E作交BD于点M，过点A作交CE于点N，
,
,
设
解得：
故答案为
【点睛】考查等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键.
【变式3-1】（2024·陕西西安·三模）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为
A． +1 B．2 C． D．-
【答案】B
【分析】作于，作于，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果．
【详解】如图，
作于，作于，
在Rt中，，
在Rt中，，，
，
在Rt中，设，
在Rt中，，
，
由得，
，
，
，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．
【变式3-2】（2024·湖北武汉·中考真题）如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 ．
【答案】
【详解】【分析】如图，延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．
【详解】解：如图，延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，
∵DE平分△ABC的周长， AD=DB，
∴BE=CE+AC，
∴ME=EB，
又AD=DB，
∴DE=AM，DE∥AM，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=120°，
∵CM=CA，
∴∠ACN=60°，AN=MN，
∴AN=AC sin∠ACN=，
∴AM=，
∴DE=，
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确添加辅助线是解题的关键．
【变式3-3】（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点作于点，计算得出，再证明四边形是平行四边形，得，再在中求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是中线，
∴，
由翻折知，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
由翻折知，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型4 网格问题】
【例4】（2024·江苏扬州·一模）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则的值是 ．
【答案】
【分析】根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据直角三角斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=DB，结合等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可得，由此可得．
【详解】解：根据题意由勾股定理得：
∴AB2=AC2+BC2，
∴AC⊥BC，∠C=90°，
结合网格可知D分别为AB的中点，
∴CD=AD=DB，
∴∠B=∠DCB，
又∵∠B+∠DCB=∠ADC，
∴,
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．关键是得出．
【变式4-1】（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作格点图形，保留作图痕迹．
(1)在图①中，以为中线作，使；
(2)在图②中，以为中线作，使；
(3)在图③中，以为中线作，使为钝角且．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查应用与设计作图，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据三角形中线的定义以及题意要求画出图形；
（2）根据直角三角形的判定三角形中线的定义画出图形；
（3）根据三角形中线的定义以及题意要求画出图形；
【详解】（1）解：使，即让是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，过点作的垂线，使为中点即可；
（2）解：在点正下方与点对齐的地方找到点，过点画直线使为中点即可得到点；
（3）解：过点画斜线使为中点找到，连接起来即可使；
【变式4-2】（2019·江苏常州·二模）如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么∠ABC的正切值是 ．
【答案】
【分析】过点C作CD⊥AB于点D由勾股定理可知：BC2＝8，AB2＝20，由于AC＝2，设AD＝x，由勾股定理可知：AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，解出x的值后，利用锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，
由勾股定理可知：BC2＝8，AB2＝20，
由于AC＝2，
设AD＝x，易得AB=,
∴由勾股定理可知：AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，
∴4﹣x2＝8﹣（2﹣x）2，
解得：x＝，
∴BD＝
∴由勾股定理可知：CD＝，
∴tan∠ABC＝，
故答案为：
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
【变式4-3】（2024·吉林白城·一模）图、图、图都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都在格点上．在图、图、图给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．
(1)在图中的的边，上分别找到点D，E，连接，使．
(2)在图中的的边上找到点F，连接，使．
(3)在图中的的边上找到点G，连接，使．
【答案】(1)图见解析；
(2)图见解析；
(3)图见解析；
【分析】本题主要考查了作图——应用与设计作图、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形和正方形的性质等知识，掌握利用数形结合的思想是解答本题的关键．
（1）取，格点，连接交于点，连接交于点，连接，则即为所求点；
（2）取格点，连接交于点，则点为所求点；
（3）连接交于点，则点为中点，连接相交于点，连接交于点，则为所求作点，．
【详解】（1）如图，取，格点，连接交于点，连接交于点，连接，则即为所求点， ．
四边形为正方形，点为对角线交点，四边形为矩形，点为对角线交点，
点为中点，点为中点，
．
（2）取格点，连接交于点，则点为所求点，
，
为等腰三角形，
，
，
，又，
，即，
为等腰直角三角形，
，
，
．
（3）如图所示，连接交于点，则点为中点，连接相交于点，连接交于点，则为所求作点，．
四边形为矩形，为对角线交点，
点为中点，
四边形为正方形，为对角线交点，连接，
，，
，即为等腰三角形，根据三线合一，
为中垂线，
点为与交点，
．
【题型5 构造直角三角形求不规则图形的面积】
【例5】（23-24九年级·全国·课后作业）一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到）．
【答案】
【分析】把所给四边形构建成几个直角三角形，利用求和的方法来求面积即可．
【详解】解：如图，连接BD，作DE⊥AB于E，作BF⊥CD于F．
∵∠A＝∠C＝60°，
∴DE＝30 sin60°＝15≈25.9808m，
BF＝20 sin60°＝10≈17.3205m，
∴
＝×50×25.9808＋×50×17.3205≈．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，对于一个任意四边形，在求面积时，一般是构建直角三角形，利用求和的方法来求面积，熟练掌握解直角三角形是解题关键．
【变式5-1】（23-24九年级·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
【答案】A
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果．
【详解】解：连接，如图所示
，，
，
四边形的面积为48
故选：A．
【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式5-2】（2024·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出；
【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠AOD=60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°，
∴DG=DO，
同理可得：BH=BO，
S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH
=×AC××（DO+BO）
=，
故选：C．
【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键．
【变式5-3】（2024·浙江金华·一模）如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GFA．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】B
【分析】设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，分别求出当b=0时和当b≠0时，阴影部分的面积，由此即可判断．
【详解】解：设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，
过F作FM⊥BE于M，在Rt△BFM中，FM=BFsinB=asinB；
过G作GN⊥BE于N，在Rt△BGN中，GN=BGsinB=bsinB；
∴当b=0时，阴影部分的面积为三角形BEF的面积，S阴= acsinB；
当b≠0时，S阴=S△BEF-S△BDG= （a+b）（c-b）sinB-（c-a-b）sinB= acsinB，
∴运动过程中，阴影部分的面积不变，
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
【题型6 在四边形中解直角三角形】
【例6】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在正方形中，E为边的中点，以为斜边向外作等腰，连接，线段上有一点G，且，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】过点F作交于点P，交于点M，连接，过点G作于点H，设正方形边长为，则，证明，四边形为矩形，得出，，求出，设，则，得出，求出，，即可得出答案．
【详解】解：过点F作交于点P，交于点M，连接，过点G作于点H，如图所示：
则，设正方形边长为，
则，
∵四边形为正方形，
∴，，
，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握正方形的性质．
【变式6-1】（2024·山东青岛·一模）在综合实践课上，小颖用四根长度相同的木条首尾相接制作了一个学具，如图1所示，测得，将学具变形成图2的形状，测得，若图1中的对角线，则变形后图2中对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查的是正方形的性质、菱形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．如图1，连接交于O，根据菱形的性质得到，，平分，则，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出，如图2，利用正方形的性质得到的长．
【详解】解：如图1，连接交于O，
∵四边形为菱形，
∴，，平分，
∵，
∴，
∴，
如图2，∵四边形为正方形，
∴．
故选：A．
【变式6-2】（2024·广东汕尾·模拟预测）如图，已知菱形的边长，，连接对角线，以为边作第二个菱形，使．连接，再以为边作第三个菱形，使…按此规律所作的第n个菱形的边长是 ．
【答案】
【分析】连接，交于O，由菱形的性质可知，，且，利用求出，从而得到的长，同理可求得，的长，由此观察并总结规律，得到答案．
【详解】解：如图，连接，与相交于O，
则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故第二个菱形的边长是；
同理可求，第三个菱形的边长是；
…
所以第n个菱形的边长是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形规律的探索，勾股定理，菱形的性质，解直角三角形的应用等知识，解决本题的关键在于熟练运用菱形相关性质，并通过观察找出规律．
【变式6-3】（2024·安徽合肥·三模）如图，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着折叠，使得点的对应点落在边上的点处，连接，为的中点，连接交、于点、两点．
（1）若，则的度数为 ．
（2）若，则值为 ．
【答案】 /30度 /
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定等知识：
（1）由折叠得根据可得结论；
（2）设分别表示出证明，得出根据得出进而即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴
由折叠得
∴在中，
∴，
故答案为：；
（2）设
∴
∴
∵G是的中点，
∴，
如图，
∵
∴
∵
∴
又
∴
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
故答案为：．
【题型7 在平面直角坐标系中解直角三角形】
【例7】（2024·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点O为坐标原点，，C是斜边的中点，且交x轴于点D．将沿x轴向右平移得到，当的中点E恰好落在y轴上时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．(7， 0)
【答案】A
【分析】本题主要考查了平移的性质，解直角三角形，坐标与图形，勾股定理，先求出，则由勾股定理得到，解直角三角形得到，根据线段中点的定义得到，则解直角三角形可得；由平移的性质可得，，则，求出，解得到，则，即．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
∵C是斜边的中点，
∴，
∵，
∴在中，，
由平移的性质可得，，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：A．
【变式7-1】（2024·河南郑州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，在中，点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，，，过点作轴于点，平分交于点，则点的坐标（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查解直角三角形，坐标与图形，解答的关键是以相应的知识的掌握与运用．由可得，则可求得，利用余弦可求得的长度，再由角平分线的定义可得，利用正切即可求的长度，从而可点的坐标．
【详解】解：，，
，
，
轴于点，
，
，
解得：，
平分，
，
，
即，
解得：，
点，
，
，
点的坐标为：．
故选：B
【变式7-2】（2024·江苏无锡·三模）已知，在平面直角坐标系中，，，现将绕点逆时针旋转，当线段第一次与轴平行时，点落在处，点落在处，求（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理和解直角三角形，过作轴于点，交于点，由旋转性质可知：， ，则由勾股定理得， 则，，最后用正切的定义即可解，熟练掌握知识点的运用是解题的关键．
【详解】如图，过作轴于点，交于点，
∵，，
∴，
由旋转性质可知：，
∴，，，
∴，
∴，则由勾股定理得：
∴，，
∴，
故选：．
【变式7-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中放置了 5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点、、、、、、在x轴上．正方形的边长为2，，，则点到x轴的距离是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题综合性强，难度较大，是中考常见题，利用直角构造一线三垂直是解决问题的关键．
利用正方形的性质以及平行线的性质可分别得出、、的长，进而得出、的长，最后根据的三角函数求解即可．
【详解】解：过小正方形的一个顶点W作轴于点Q，过点于点F，
∵正方形的边长为2，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
，
∴，
∴，
根据题意得出：，，，
∴，
，
∴点A3到x轴的距离是：．
故选D．
【题型8 函数与解直角三角形】
【例8】（2024·河南濮阳·一模）如图（1），在矩形中， ，点N是对角线上一定点，点M沿边从点 A 运动到点 D，连接，，设．图（2）是y关于x的函数图象，则图（2）中的函数图象最低点的纵坐标m的值是（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【分析】由图2数据可求、，作点关于的对称点E，连接，交于点，作，垂足为，可由解三角形求出求，从而可求y的最小值．
【详解】解：由图2，当时，M与D重合，
∴
∴
此时
∴，
∴
如图，作B点关于的对称点E，连接，交于点，作，垂足为，
∴，
，
当点M与点P重合时，此时最小，
在矩形中，，
∴，
∴，
，
∴
∴
故选：A
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、勾股定理，解直角三角形，结合图象数据判断特殊点位置，求出相关量，并合理构造辅助线是解题的关键．
【变式8-1】（2024·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，以为边向y轴左侧作等边，将沿x轴正方向平移得到，点恰好落在一次函数的图象上，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点、等边三角形的性质、平移的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握平移的性质和等边三角形的性质是解答的关键．过点作轴于点H． 先求得等边三角形的边长，再由平移性质得到，，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质求得，利用锐角三角函数求得， ，进而可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于点H．
由知，当时，，则，
∴等边三角形的边长为，．
由平移得，，，
∴，
∵，
∴，则，
∴，，，
∴，
∴点的坐标为，
故选：B．
【变式8-2】（2024·江苏常州·模拟预测）已知直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点A，C，若，轴， ．
(1)求反比例函数和直线的函数表达式；
(2)过点O作直线的垂线，交直线于点P，求P点坐标．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）由得，从而求出点A的坐标，再代入反比例函数中求出k的值，再将点和点代入直线解析式，求出m、n的值即可；
（2）过点P作x轴的垂线，设点P的坐标为，再证明，列出，即，解出t的值，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数关系式为，
将点和点代入直线解析式得：
，解得：，
∴直线的函数表达式；
（2）解：过点P作x轴的垂线，垂足为D，
∵直线的函数表达式
∴设点P的坐标为，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
即，
解之得，
∴
∴P点坐标为；
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质及判定，锐角三角函数的应用，正确求出解析式是解题的关键．
【变式8-3】（2024·广西南宁·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，点D，E，F分别在边上运动，满足．
(1)求证：；
(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；
(3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当时，的面积随的增大而减小，当时，的面积随的增大而增大
【分析】（1）根据等边三角形的性质结合题意可得出，，，从而即可证明；
（2）分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，根据锐角三角函数和三角形面积公式可求出；设的长为x，则，，可求出， 结合（1）可求出，最后根据求解即可；
（3）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵是边长为2的等边三角形，
∴，．
∵，
∴，即，
∴；
（2）解：分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，如图，
在等边中，，，
∴，
∴．
设的长为x，则，，
∴，
∴．
由（1）同理可证，
∴，
∵的面积为y，，
∴；
（3）解：∵，
∴，该抛物线对称轴为，
∴该抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增，即当时，的面积随的增大而减小，当时，的面积随的增大而增大．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，锐角三角函数，二次函数的实际应用及其性质等知识．熟练掌握锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键．
【题型9 动态问题与解直角三角形】
【例9】（2024·河南新乡·一模）如图所示，正方形纸片的边长为4．点E为边上不与端点重合的一动点，将纸片沿过的直线折叠，连接、，若是以为腰的等腰三角形，则 ．
【答案】或
【分析】根据当是以为腰的等腰三角形时，分以下两种情况：①当时，过点作于点，延长交于点N，②当时，如图，过点作于点，延长交于点G，结合等腰三角形性质、矩形的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，解直角三角形的相关计算，以及勾股定理求解，即可解题．
【详解】
解：当是以为腰的等腰三角形时，分以下两种情况：
①当时，过点作于点，延长交于点N，如图所示：
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
即是正方形的对称轴，
连接，
正方形纸片的边长为4．
，
是等边三角形，
，
由折叠的性质可知：，
；
②当时，如图，过点作于点，延长交于点G，
，
，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
四边形为矩形，
，，
，
设，则，
由勾股定理得：，
解得，
，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，等边三角形性质和判定，解直角三角形的相关计算，勾股定理，解题的关键在于构建直角三角形，利用勾股定理列方程求解．
【变式9-1】（2024·湖北·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、解直角三角形、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是根据题意正确画出图形，再添加合适的辅助线，构造直角三角形，找出全等三角形解决问题．过点作，交的延长线于点，证明，得出，解直角三角形求出和，再求出即可求解．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，
四边形为平行四边形，，
，，，
，，，
由翻折得，，
又∵，
∴，，
在和中，
，
，
，
，，，
，
设，，
，，
，，
在中，，
，
故答案为：．
【变式9-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，点分别为边上的动点，连接，，若，，则面积的最大值为 ．
【答案】6
【分析】该题主要考查了勾股定理，解直角三角形，二次函数最值求解等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
由题意可知，即可得，证明，在中，勾股定理算出，即可得出，设．则，根据，得出，即可得，，即可得出 ，据此即可求解；
【详解】解：由题意可知，
，
∴在中，，
又，
，
在中，，
，
设．则，．
∵，
，
，
，
，
∵，
当时，取得最大值6，
故答案为：6．
【变式9-3】（2024九年级·全国·专题练习）已知：矩形中，，点E在对角线上，且，动点P在矩形的四边上运动一周，则以P、E、C为顶点的等腰三角形有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】此题考查了解直角三角形、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，分四情况：P在上；P在上：P在上；P在上，画出图形，进行解答即可.
【详解】解： （1）P在上：①，此时有一点P；
②时，
过E作于N，
矩形中，，，
∴
则，
，
∴，此时有一点P；
③时，
P在的垂直平分线（M为垂足）上，，
，
，存在一点P；
（2）P在上：①，
此时P在的垂直平分线（M为垂足）上，
，
，
，
即P在的延长线上，此时不存在P点；
②，此时不存在P点；
③，
过E作于N，
，
，
，即此时存在一点P；
（3）P在上：①
，
过P作于M，，
，
，即此时存在一点P；
②
，
，此时存在一点P；
③，则，
∵，
∴，
，，
，，即存在2点P；
（4）P在上：①，即P在的垂直平分线（M为垂足）上，
，，，即P在的延长线上，此时不存在P点
，
，即小于C到的最短距离，即此时不存在P点；
②，
∵C到的最短距离是12，
∴此时不存在P点；
③
过E作于M，
，
，
即E到的最短距离大于，
即此时不存在P点；
综合上述：共有．
故选：D．
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