专题1.3 三角函数的应用【八大题型】
【北师大版】
【题型1 仰角俯角问题】 1
【题型2 坡度坡比问题】 3
【题型3 方向角问题】 4
【题型4 物理模型问题】 6
【题型5 实物抽象模型问题】 8
【题型6 坡度坡比与仰角俯角综合问题】 10
【题型7 临界值问题】 11
【题型8 方案设计问题】 14
【题型1 仰角俯角问题】
【例1】（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．
(1)求的长；
(2)若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，）
【变式1-1】（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．
(1)求线段的长（结果取整数）；
(2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：．
【变式1-2】（2024·河南新乡·二模）甲乙两楼是两幢完全一样的房子，小明与小奇住在甲幢．为测量房子的高度，制定如下方案：两幢房子截面图如图， ，小明在离屋檐处的点处水平放置平面镜（平面镜的大小忽略不计），小奇在离点水平距离的点处恰好在镜子中看到乙幢屋顶，此时测得小奇眼睛与镜面的竖直距离．下楼后，小明在地面点处测得点的仰角为，点与，在一条直线上，点，，，，在同一平面内，，求房子的高度．（精确到，参考数据：）
【变式1-3】（2024·江西南昌·模拟预测）每年的3月5日是“学雷锋纪念日”，为弘扬雷锋精神，某校九年级（1）班数学兴趣小组的同学们来到学校附近的雷锋像（图1）下敬献鲜花和花篮，集体朗诵《雷锋日记》部分章节，高唱歌曲《学习雷锋好榜样》，如图2，该兴趣小组的同学们利用所学的数学知识测量雷锋像的长度，表示底座高度，表示雷锋像人身的高度，在点D处测得点B的仰角，点C的仰角，后退2米到达点E处后测得点C的仰角，点A、D、E在同一直线上，．（参考数据：，，，，，，）
(1)求的度数；
(2)①求的长；
②求的长．
【题型2 坡度坡比问题】
【例2】（2024·海南海口·一模）如图，时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号在坡度（即）的山坡上加装了信号塔，信号塔底端Q到坡底A的距离为．当太阳光线与水平线所成的夹角为时，且．
(1) ， ；
(2)求信号塔的高度大约为多少米？（参考数据：，，）
【变式2-1】（2024·山东·模拟预测）如图，为一个斜面，坡比．斜面的高．为了减小小球下滑的速度，将坡面换成新坡面，且．
(1)求新坡面的坡比以及新坡面的长；
(2)原坡面的底部距离铁板的距离为．经过实验，坡面底部与铁板的距离必须大于，小球才不和铁板相撞．请你通过计算，判断小球从新坡面静止滑下，会不会与铁板相撞？
【变式2-2】（23-24九年级·广东江门·阶段练习）如图，小张同学去黄山旅游时，发现太阳光线照射在立柱（与水平地面垂直）上，其影子的一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，且，经测量，米，米，斜坡的坡角，求立柱的高．（结果精确到米，参考数据：，，）
【变式2-3】（2024·辽宁·模拟预测）如图1所示是斜坡处修建的一处水坝，对防御洪水灾害起到一定作用，同时可以储存水资源．已知为水平地面，斜坡的坡角为于点A．在斜坡的正中央修建水坝，已知，点E与点C在同一条水平线上．经测量．
(1)求水坝的高度；
(2)夏季，汛期来临．如图2，为了更好的预防洪水，相关部门在水坝的下方又修建了临时防护栏．已知C、E、G三点共线，．已知洪水越过了大坝后每分钟上涨，这一阶段持续时间为6分钟，则在此阶段洪水是否能越过防护栏？（参考数据：，，，）
【题型3 方向角问题】
【例3】（2024·重庆·模拟预测）如图，我市在三角形公园旁修建了两条骑行线路：①E—A—C；②E—D—C．经勘测，点A在点B的正西方10千米处，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西方向，点D在点C的正南方20千米处，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东方向．
（参考数据：，）
(1)求的长度．（结果精确到1千米）
(2)由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？
【变式3-1】（2024·重庆·模拟预测）如图为某公园平面图，小明沿路线跑步运动，小刚沿路线跑步运动，已知点G位于点A正东方向，点B位于点A正北方向，点C位于点B东北方向，，点D位于点G北偏西方向，点E位于点D北偏西方向，且，已知 米， 米， 米，（参考数据
(1)求的距离．（结果保留到个位）
(2)若小明和小刚同时出发，小明刚开始以速度4米/秒匀速跑步，当跑步到点C时由于体力下降，此时小明速度降为2米/秒继续匀速跑到点E，小刚以速度3米/秒匀速跑步至点E，请通过计算说明他们谁先到达点E．
【变式3-2】（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．
(1)求B，C两处的距离；
(2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，）
【变式3-3】（2024·四川宜宾·中考真题）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上；在B处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，）
【题型4 物理模型问题】
【例4】（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜，与墙面所成的角，厂房高，房顶与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离是的长度．
(1)求的度数；
(2)求的长度（结果精确到，参考数据：，，）
【变式4-1】（2024·湖南·一模）小华同学在家看电视的时候因误触遥控器导致换台，但遥控器并没有对准电视．小华想起物理课上学习过的光的反射，并猜想是遥控器的红外线信号在墙壁等其他光滑的地方发生反射然后被信号传感器接收导致换台，小华在好奇心驱使下验证了自己的设想．如图所示，为竖直的平面镜（足够长），的长度为信号传感器可接收信号的水平宽度，，小华坐在距离距离为d的点H，然后小华用遥控器水平对着平面镜持续按按钮，发现当时电视可以换台（假设红外线在Q点反射），求信号传感器可接收信号的水平范围．（结果含）
【变式4-2】（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 ．（单位：）（参考数据：）
【变式4-3】（23-24九年级·江苏·期末）在苏科版九年级物理第十一章《简单机械和功》章节中有这样一个问题：“如图1示意图所示，均匀杆长为，杆可以绕转轴点在竖直平面内自由转动，在点正上方距离为处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端相连，并将杆从水平位置缓慢向上拉起．当杆与水平面夹角为时，求动力臂．”从数学角度看是这样一个问题：如图2，已知于点且，连接，求点到的距离．请写出解答过程求出点到的距离．（结果保留根号）
【题型5 实物抽象模型问题】
【例5】（2024·广东深圳·模拟预测）周末淘气一家开车外出旅游，车子突然向路边侧滑，幸亏淘气爸爸反应及时，车子才慢慢停了下来．淘气一家人赶紧下车查看，原来是前轮爆胎了．爸爸说，只要把备胎换上就行了．于是爸爸从后备厢取出备胎和工具，开始忙活，其中千斤顶引起了小光的注意．图（1）是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图（2）所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即，之间的距离）．已知，当千斤顶升高 时，四边形为正方形．（参考数据：，，结果保留整数）
【变式5-1】（23-24九年级·湖南·期末）图（1）是一扇半开着的办公室门的照片，门框镶嵌在墙体中间，门是向室内开的．图（2）画的是它的一个横断面．虚线表示门完全关好和开到最大限度（由于受到墙角的阻碍，再也开不动了）时的两种情形，这时二者的夹角为，从室内看门框露在外面部分的宽为，求室内露出的墙的厚度a的值．（假设该门无论开到什么角度，门和门框之间基本都是无缝的．精确到，）
【变式5-2】（23-24九年级·山东济南·期末）如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到0.01米）（参考数据：，，，，，）
(1)求液压杆顶端到底盘的距离的长；
(2)求的长．
【变式5-3】（2024·江西吉安·一模）如图1是某门禁自动识别系统，主要由可旋转摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其示意图，已知摄像机长，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，，与连接，杆，，，点到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为．(参考数据：，，，结果精确到)
(1)求显示屏所在部分的宽度；
(2)求镜头到地面的距离．
【题型6 坡度坡比与仰角俯角综合问题】
【例6】（2024·广东中山·三模）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡度为：点、、在同一水平线上．
(1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度；
(2)求大树的高度（结果保留根号）．
【变式6-1】（2024·重庆·模拟预测）在课外实践中，小明为了测量江中信号塔离河边的距离，采取了如下措施：如图在江边处，测得信号塔的俯角为，若米，，米，平行于，的坡度为，坡长米，求的长（精确到0.1米，参考数据：，，）
【变式6-2】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，某小山高412米，其斜坡的坡度为，它的前面有一座建筑物．为了测量建筑物的高度，在山顶D和坡底C测的建筑物顶端A的俯角和仰角分别为，．求建筑物的高度．（结果精确到0.1米，）
【变式6-3】（2024·四川广安·中考真题）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度．
（结果精确到个位；参考数据：，，，）
【题型7 临界值问题】
【例7】（23-24九年级·江苏南通·开学考试）如图，斜坡的坡角，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端安装支架，所在的直线垂直于水平线，垂足为点，为与的交点．已知，前排光伏板的坡角．
(1)求的长（结果取整数）；
(2)冬至日正午，经过点的太阳光线与所成的角．后排光伏板的前端在上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：，，，
三角函数锐角A
0.22 0.47 0.53
0.97 0.88 0.85
0.23 0.53 0.62
【变式7-1】（2024·福建泉州·二模）如图所示为单反照相机取景器的示意图，五边形为五棱镜的一个截面，．光线垂直射入，且只在和上各发生一次反射，两次反射的入射角相等，最后光线垂直射出．若两次反射都为全反射，则该五棱镜折射率的最小值是（ ）（注：满足全反射的条件为折射率)
A． B． C． D．
【变式7-2】（23-24九年级·浙江金华·阶段练习）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．如图，现有一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上．（参考数据：，）
(1)当人安全使用这架梯子时，求梯子底端与墙距离（即）的最小值；
(2)当梯子顶端与地面距离为时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？
【变式7-3】（23-24九年级·陕西西安·期中）【问题提出】
（1）如图①，在中，点是边的中点，连接并延长至点，连接，若，的面积为，的面积为，则________的大小（填“”“”“”）
【问题探究】
（2）如图②，在中，，，，点为边的中点，．问：在边上是否存在一点，使得线段恰好平分的面积？若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由．
【问题解决】
（3）我校有着丰富多彩的校园生活，为了让同学们进一步接触到更多的校园社团活动，提高空间利用率，现计划对校园部分区域进行改造，某区域是如图③的四边形，，米，，点、分别在边、上，四边形为矩形，边、将这块区域分成了三部分，其中，矩形的面积为108平方米．为了方便通行，学校准备在这块区域中修一条笔直的小路（小路的两端、分别在和上，且小路的宽度忽略不计），使得将四边形分成两部分，同时平分矩形的面积，且使得区域的面积最小．试问学校的想法能否实现？若能，请求出这条小路的长及面积的最小值；若不能，请说明理由．
【题型8 方案设计问题】
【例8】（23-24九年级·山东潍坊·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务
探究纸伞中的数学问题
素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨且，，，D点为伞圈．
素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到的位置，且A、E、三点共线．测得，，伞完全张开时，如图1所示（参考值：）．
素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为，此时发现身上被雨淋湿，测得．
问题解决
任务1 判断位置 求证：平分．
任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到0.1）．
任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 ，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）
【变式8-1】（2024·广东广州·一模）【项目式学习】为了测量某段河流的宽度，两个数学研学小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的数H恰好在A的正北方向.测量方案与数据如表t
项目课题 测量河流宽度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组
测量方案 示意图
说明 点B，C在点A的正东方向 点B在点A正东方向，点C在点A正西方向
数据 ，， ，，
请选择其中一个方案及其数据：
(1)求的度数；
(2)求出河宽(精确到).参考数据：，，，
【变式8-2】（23-24九年级·湖南娄底·期中）如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测它到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离，方案如下：
课题 检测新生物到皮肤的距离
工具 医疗仪器等
示意图
说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为；再在皮肤上选择距离B处的C处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为．
测量数据 ，，
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，、，，）
【变式8-3】（2024·山西太原·二模）从2014年至今，“图说我们的价值观”公益广告通过绘画、书法、雕塑、剪纸、刺绣、动画等形式来传播社会主义核心价值观，产生了良好的传播效果．在某校校园内有一块“社会主义核心价值观”宣传牌，同学们用所学知识对宣传牌的有关数据进行了测量，并尝试提出问题、解决问题．
数学抽象 将宣传牌抽象成如右图所示的图形，其中点A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，B，C两点在水平地面，点A，F所在直线与平行．
测量工具 老师教学用的量角器（可测角度与线段长，长度的最大量程为50）
测量数据 ，，，，，点C到宣传牌右侧立柱的距离的长为．
提出问题 …
小华想根据上述方案与测量数据，求点A到地面的距离，请你帮他完成．（结果精确到1cm．参考数据：，，，，，）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题1.3 三角函数的应用【八大题型】
【北师大版】
【题型1 仰角俯角问题】 1
【题型2 坡度坡比问题】 7
【题型3 方向角问题】 13
【题型4 物理模型问题】 21
【题型5 实物抽象模型问题】 26
【题型6 坡度坡比与仰角俯角综合问题】 31
【题型7 临界值问题】 36
【题型8 方案设计问题】 44
【题型1 仰角俯角问题】
【例1】（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．
(1)求的长；
(2)若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，）
【答案】(1)的长约为8米；
(2)模拟装置从点下降到点的时间为秒．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键．
（1）过点作交于点，根据余弦值求出的长即可；
（2）先由勾股定理，求出的长，再利用正弦值求出的长，进而得到的长，然后除以速度，即可求出下降时间．
【详解】（1）解：如图，过点作交于点，
由题意可知，，
，
在中，，米，
，
米，
即的长约为8米；
（2）解：米，米，
米，
在中，，米，
，
米，
米，
模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，
模拟装置从点下降到点的时间为秒，
即模拟装置从点下降到点的时间为秒．
【变式1-1】（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．
(1)求线段的长（结果取整数）；
(2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键．
（1）设，在中，．在中，．则．解方程即可；
（2）求出，根据即可得到答案．
【详解】（1）解：设，由，得．
，垂足为，
．
在中，，
．
在中，，
．
．
得．
答：线段的长约为．
（2）在中，，
．
．
答：桥塔的高度约为．
【变式1-2】（2024·河南新乡·二模）甲乙两楼是两幢完全一样的房子，小明与小奇住在甲幢．为测量房子的高度，制定如下方案：两幢房子截面图如图， ，小明在离屋檐处的点处水平放置平面镜（平面镜的大小忽略不计），小奇在离点水平距离的点处恰好在镜子中看到乙幢屋顶，此时测得小奇眼睛与镜面的竖直距离．下楼后，小明在地面点处测得点的仰角为，点与，在一条直线上，点，，，，在同一平面内，，求房子的高度．（精确到，参考数据：）
【答案】
【分析】本题考查了解正三角形的应用，相似三角形的应用；延长分别交于点，过作于点，解得，设，则，在，得出，进而求得，根据反射的性质，证明，进而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：延长分别交于点，过作于点，
在中，，
，
解得，
设，则
由题意可得：，
在中，，
，
根据反射可知，，
，
，
，
即，
解得，
答：房子的高度为．
【变式1-3】（2024·江西南昌·模拟预测）每年的3月5日是“学雷锋纪念日”，为弘扬雷锋精神，某校九年级（1）班数学兴趣小组的同学们来到学校附近的雷锋像（图1）下敬献鲜花和花篮，集体朗诵《雷锋日记》部分章节，高唱歌曲《学习雷锋好榜样》，如图2，该兴趣小组的同学们利用所学的数学知识测量雷锋像的长度，表示底座高度，表示雷锋像人身的高度，在点D处测得点B的仰角，点C的仰角，后退2米到达点E处后测得点C的仰角，点A、D、E在同一直线上，．（参考数据：，，，，，，）
(1)求的度数；
(2)①求的长；
②求的长．
【答案】(1)
(2)①的长约为米；②的长约为米．
【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．
（1）连接，过点作，由题意可知，，，，进而得到，再根据平行线的性质，得出，即可求解；
（2）①由题意可知，是等腰直角三角形，则令米，利用锐角三角函数列方程，求出，即可求解；
②由①可知，米，再利用锐角三角函数求出米，即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，过点作，
由题意可知，，，，
，
，
，，
，
；
（2）解：①由题意可知，，，，，米，
是等腰直角三角形，
，
令米，则米，
在中，，
，
，
即的长约为米；
②由①可知，米，
在中，，
米，
米，
即的长约为米．
【题型2 坡度坡比问题】
【例2】（2024·海南海口·一模）如图，时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号在坡度（即）的山坡上加装了信号塔，信号塔底端Q到坡底A的距离为．当太阳光线与水平线所成的夹角为时，且．
(1) ， ；
(2)求信号塔的高度大约为多少米？（参考数据：，，）
【答案】(1)13，37
(2)信号塔的高度大约为米
【分析】（1）根据题意即可求出，作，垂足为S，根据题意，即可求得；
（2）根据题意和作图可知四边形为矩形，根据坡度的定义设米，在中，由勾股定理可得，代入求出的长，利用锐角三角函数关系，得出的长，进而得出答案．
【详解】（1）解：信号塔底端Q到坡底A的距离为，
；
如图，作，垂足为S，
根据题意，
∴；
（2）解：根据题意和作图可知四边形为矩形，
∴．
由，可得，
设米，则米，
在中，由勾股定理可得，
∴，
解得（负值舍去），
∴（米），（米），
∴，
∵，
在中， ，
即，
∴（米），
∴（米），
答：信号塔的高度大约为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，坡度的定义，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．
【变式2-1】（2024·山东·模拟预测）如图，为一个斜面，坡比．斜面的高．为了减小小球下滑的速度，将坡面换成新坡面，且．
(1)求新坡面的坡比以及新坡面的长；
(2)原坡面的底部距离铁板的距离为．经过实验，坡面底部与铁板的距离必须大于，小球才不和铁板相撞．请你通过计算，判断小球从新坡面静止滑下，会不会与铁板相撞？
【答案】(1)新坡面的坡比，
(2)会，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的坡角即正切值，勾股定理，线段的和与差，三角形外角性质，等腰三角形性质，理解坡角的概念是解题的关键．
（1）根据坡比得到，利用三角形外角性质得到，利用等腰三角形性质得到，利用解直角三角形得到，，进而得到，即可得到新坡面的坡比以及新坡面的长；
（2）根据题意得到，再与进行比较判断，即可解题．
【详解】（1）解：由题知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
新坡面的坡比；
新坡面的长为：；
（2）解：由题知，，
，
，
，
小球从新坡面静止滑下，会与铁板相撞．
【变式2-2】（23-24九年级·广东江门·阶段练习）如图，小张同学去黄山旅游时，发现太阳光线照射在立柱（与水平地面垂直）上，其影子的一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，且，经测量，米，米，斜坡的坡角，求立柱的高．（结果精确到米，参考数据：，，）
【答案】米．
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过点D作于点H，过点D作于点G，证明四边形是矩形，，，进一步求出，，，即可得到立柱的高．
【详解】解：过点D作于点H，过点D作于点G，
则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴，
在中，米，斜坡的坡角，
∴米，米，
∴米，米，
在中，米，米，
∴米，
∴米,
即立柱的高为米．
【变式2-3】（2024·辽宁·模拟预测）如图1所示是斜坡处修建的一处水坝，对防御洪水灾害起到一定作用，同时可以储存水资源．已知为水平地面，斜坡的坡角为于点A．在斜坡的正中央修建水坝，已知，点E与点C在同一条水平线上．经测量．
(1)求水坝的高度；
(2)夏季，汛期来临．如图2，为了更好的预防洪水，相关部门在水坝的下方又修建了临时防护栏．已知C、E、G三点共线，．已知洪水越过了大坝后每分钟上涨，这一阶段持续时间为6分钟，则在此阶段洪水是否能越过防护栏？（参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)在此阶段洪水能越过防护栏，理由见解析
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
（1）首先得到，然后利用三角函数求出，得到，进而利用三角函数求解即可；
（2）首先求出，过点F作，设，表示出，，然后根据列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
∴，
在中，，
∴，
在中，；
（2）解：根据题意得，，
∴
∴
如图所示，过点F作
∵，
∴
∵，
∴
∵，，
∴，
设，
∴，，
∵
∴
∴
∴
∵洪水越过了大坝后每分钟上涨，这一阶段持续时间为6分钟，
∴洪水共上涨了
∵
∴在此阶段洪水能越过防护栏．
【题型3 方向角问题】
【例3】（2024·重庆·模拟预测）如图，我市在三角形公园旁修建了两条骑行线路：①E—A—C；②E—D—C．经勘测，点A在点B的正西方10千米处，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西方向，点D在点C的正南方20千米处，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东方向．
（参考数据：，）
(1)求的长度．（结果精确到1千米）
(2)由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？
【答案】(1)千米
(2)②
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，方向角问题，根据已知条件添加辅助线是解题的关键．
（1）过点作，交的延长线于点，根据垂直的定义得到，证明四边形是矩形，根据解直角三角形的相关计算进行计算即可得到答案；
（2）利用含的直角三角形的性质求出的长，再利用三角函数进行计算即可．
【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点，
，
根据题意得：，
四边形是矩形，
，
在中，（千米），
（千米），
（千米），
（千米），
在中，，
（千米），
（千米）；
（2）解：应该选择路线②；
在中，，
，
路线①总路程（千米），
路线②总路程（千米），
，
故选路线②．
【变式3-1】（2024·重庆·模拟预测）如图为某公园平面图，小明沿路线跑步运动，小刚沿路线跑步运动，已知点G位于点A正东方向，点B位于点A正北方向，点C位于点B东北方向，，点D位于点G北偏西方向，点E位于点D北偏西方向，且，已知 米， 米， 米，（参考数据
(1)求的距离．（结果保留到个位）
(2)若小明和小刚同时出发，小明刚开始以速度4米/秒匀速跑步，当跑步到点C时由于体力下降，此时小明速度降为2米/秒继续匀速跑到点E，小刚以速度3米/秒匀速跑步至点E，请通过计算说明他们谁先到达点E．
【答案】(1)的距离为840米
(2)小明先到达点E
【分析】（1）过点C作交于点F，交于点H，交于点I，交于点J，于点K，证明四边形为矩形，四边形为正方形，为等腰直角三角形，设，根据相关性质以及勾股定理求出，，，的长根据，求出x的值，进而得出结果；
（2）利用他们没人所走的距离除以速度得出时间进行比较即可．
【详解】（1）解：如图，过点C作交于点F，交于点H，交于点I，交于点J，于点K，
则四边形为矩形，
设，
点D位于点G北偏西方向，点E位于点D北偏西方向且，
，
，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
米，
米，
点C位于点B东北方向，
，
米，
米，
，
解得：，
，
，
米；
（2）由（1）可知米，
小明走到E点所用时间为秒，
小刚走到E点所用时间为秒，
，
小明先到达点E．
【点睛】本题考查了方位角，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的计算，等腰三角形的判定与性质，有理数混合运算的应用，准确作出辅助线，求出相关边长是解题关键．
【变式3-2】（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．
(1)求B，C两处的距离；
(2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，）
【答案】(1)B，C两处的距离为16海里
(2)渔政船的航行时间为小时
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形．
（1）根据题意易得，则，再求出（海里），即可解答；
（2）过点D作于点F，设海里，则，，则，求出，进而得出海里，海里，根据勾股定理可得：（海里），即可解答．
【详解】（1）解：过点A作于点E，
∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵海里，
∴（海里），
∴（海里），
∴B，C两处的距离为16海里．
（2）解：过点D作于点F，
设海里，
∵，
∴，
由（1）可知，海里，
∴海里，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴海里，海里，
根据勾股定理可得：（海里），
∴渔政船的航行时间为（小时），
答：渔政船的航行时间为小时．
【变式3-3】（2024·四川宜宾·中考真题）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上；在B处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，）
【答案】长江口的宽度为米.
【分析】如图，过作于，过作于，过作于，而，可得四边形，都是矩形，由题意可得：，，证明，可得，设，，再利用三角函数建立方程组求解即可.
【详解】解：如图，过作于，过作于，过作于，而，
∴四边形，都是矩形，
∴，，，，
∵由题意可得：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，，
∴，即，
，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴长江口的宽度为米.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，矩形的判定于性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
【题型4 物理模型问题】
【例4】（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜，与墙面所成的角，厂房高，房顶与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离是的长度．
(1)求的度数；
(2)求的长度（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)约为11.8米
【分析】（1）连接，过点M作，根据题意可得，，，，从而利用平行线的性质求出，进而求出，然后由求解；
（2）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】（1）解：连接，过点M作，
由题意得：
，，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：在中，(米)，
∴能看到的水平地面上最远处D到他的距离约为11.8米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式4-1】（2024·湖南·一模）小华同学在家看电视的时候因误触遥控器导致换台，但遥控器并没有对准电视．小华想起物理课上学习过的光的反射，并猜想是遥控器的红外线信号在墙壁等其他光滑的地方发生反射然后被信号传感器接收导致换台，小华在好奇心驱使下验证了自己的设想．如图所示，为竖直的平面镜（足够长），的长度为信号传感器可接收信号的水平宽度，，小华坐在距离距离为d的点H，然后小华用遥控器水平对着平面镜持续按按钮，发现当时电视可以换台（假设红外线在Q点反射），求信号传感器可接收信号的水平范围．（结果含）
【答案】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用，先读懂题意，得，再结合图形，运用数形结合思路，进行列式，化简得，可作答．
【详解】解：设信号接收点为P，延长到点G且，过点G作垂直，垂足为E．
由题意，，
当为时，点P与A重合，．
当为时，点P与B重合，．
所以．
其中可以写成，
可以写成．
【变式4-2】（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 ．（单位：）（参考数据：）
【答案】128
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出，，由得到，求出，求出在中，根据即可求出答案．
【详解】解：如图，
∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
由题意可知， ，
∴，
∴
在中，，
∴，
故答案为：
【变式4-3】（23-24九年级·江苏·期末）在苏科版九年级物理第十一章《简单机械和功》章节中有这样一个问题：“如图1示意图所示，均匀杆长为，杆可以绕转轴点在竖直平面内自由转动，在点正上方距离为处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端相连，并将杆从水平位置缓慢向上拉起．当杆与水平面夹角为时，求动力臂．”从数学角度看是这样一个问题：如图2，已知于点且，连接，求点到的距离．请写出解答过程求出点到的距离．（结果保留根号）
【答案】
【分析】过点作于点，过点作于点，解，根据等面积法即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
即点到的距离为
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
【题型5 实物抽象模型问题】
【例5】（2024·广东深圳·模拟预测）周末淘气一家开车外出旅游，车子突然向路边侧滑，幸亏淘气爸爸反应及时，车子才慢慢停了下来．淘气一家人赶紧下车查看，原来是前轮爆胎了．爸爸说，只要把备胎换上就行了．于是爸爸从后备厢取出备胎和工具，开始忙活，其中千斤顶引起了小光的注意．图（1）是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图（2）所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即，之间的距离）．已知，当千斤顶升高 时，四边形为正方形．（参考数据：，，结果保留整数）
【答案】17
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，交于点，根据菱形的性质可得，平分，，，然后分别求出当时，当时，的长度，即可解答．
【详解】解：连接，交于点，
四边形是菱形，
，平分，，，
当，
，
是等边三角形，
；
当时，菱形是正方形，
平分，
，
在中，，
，
千斤顶升高的高度，
千斤顶升高了．
故答案为：17
【变式5-1】（23-24九年级·湖南·期末）图（1）是一扇半开着的办公室门的照片，门框镶嵌在墙体中间，门是向室内开的．图（2）画的是它的一个横断面．虚线表示门完全关好和开到最大限度（由于受到墙角的阻碍，再也开不动了）时的两种情形，这时二者的夹角为，从室内看门框露在外面部分的宽为，求室内露出的墙的厚度a的值．（假设该门无论开到什么角度，门和门框之间基本都是无缝的．精确到，）
【答案】室内露出的墙的厚度约为
【分析】该题主要考查了解直角三角的应用，此题读懂题意，理解题目叙述的意义是解题的关键，理解实际图形后才能把它转化成数学问题，然后利用三角函数解决问题．
宽为的门框及开成的门之间构成了一个直角三角形，且其中有一个角为60°，根据已知条件解直角三角形就可以求出a．
【详解】解：从图中可以看出，在室内厚为的墙面、宽为的门框及开成的门之间构成了一个直角三角形，且其中有一个角为60度．
从而
．
即室内露出的墙的厚度约为．
【变式5-2】（23-24九年级·山东济南·期末）如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到0.01米）（参考数据：，，，，，）
(1)求液压杆顶端到底盘的距离的长；
(2)求的长．
【答案】(1)米
(2)米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，
（1）根据即可求解；
（2）利用，先求出，再利用，求出，问题随之得解．
【详解】（1）在中，，．
，
，
即的长为米；
（2）在中，，，
，
，
，
，
，
（米），
即的长为米．
【变式5-3】（2024·江西吉安·一模）如图1是某门禁自动识别系统，主要由可旋转摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其示意图，已知摄像机长，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，，与连接，杆，，，点到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为．(参考数据：，，，结果精确到)
(1)求显示屏所在部分的宽度；
(2)求镜头到地面的距离．
【答案】(1)显示屏所在部分的宽度约为12.3cm
(2)镜头A到地面的距离约为68.2cm
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；
（1）过点作，垂足为，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）连接，过点作，交的延长线于点，根据已知可求出从而可证四边形是矩形，进而可得，然后利用平角定义求出，从而求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
【详解】（1）解： ，与水平地面所成的角的度数为，
显示屏上沿与水平地面所成的角的度数为．
过点作交点所在铅垂线的垂线，垂足为，则．
，
，
（2）如图，连接，作垂直反向延长线于点，
为的中点，
，
，
，
，，
四边形为矩形，，
，
．
．
，
镜头到地面的距离为．
【题型6 坡度坡比与仰角俯角综合问题】
【例6】（2024·广东中山·三模）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡度为：点、、在同一水平线上．
(1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度；
(2)求大树的高度（结果保留根号）．
【答案】(1)1米
(2)米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点，灵活应用所学知识成为解题的关键．
（1）如图：过点D作交于点H，设米，米，在中运用勾股定理列方程求解即可；
（2）如图，过点作交于点，设米，再证四边形为矩形可得米、， 进而得到，最后根据正切函数列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图：过点D作交于点H，
由题意知米，
斜面的坡度为，
，
设米，米，
在中，，
，解得：，舍，
米．
答：王刚同学从点到点的过程中上升的高度为米．
（2）解：如图，过点作交于点，
设米，
，
四边形为矩形，
米，米，
，
米，
米，
，
在中，，
，解得：，
米．
答：大树的高度是米．
【变式6-1】（2024·重庆·模拟预测）在课外实践中，小明为了测量江中信号塔离河边的距离，采取了如下措施：如图在江边处，测得信号塔的俯角为，若米，，米，平行于，的坡度为，坡长米，求的长（精确到0.1米，参考数据：，，）
【答案】的长
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，过点C作的垂线，交延长线于点F，延长交延长线于点G，先在中求得、的长，再利用求的长，进而得到的长；
【详解】解：如图，过点C作的垂线，交延长线于点F，延长交延长线于点G
∵的坡度为，
∴设为，则为，
∵，
∴在中，，解得：，
∴，，
∵，，
∴，
∴是直角三角形
∵，，
∴，，
设，
∵，
∴
解得：
∴的长
【变式6-2】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，某小山高412米，其斜坡的坡度为，它的前面有一座建筑物．为了测量建筑物的高度，在山顶D和坡底C测的建筑物顶端A的俯角和仰角分别为，．求建筑物的高度．（结果精确到0.1米，）
【答案】建筑物的高度约为米．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
由米，斜坡的坡度为，得到米，根据三角函数的定义得到，过A作于H，则，根据三角函数的定义即可解答．
【详解】解：在中，
∵米，斜坡的坡度为，
∴米，
在中，
∵，
∴，即,
过A作于H，则，
在中，，
∴，
∴．
答：建筑物的高度约为米．
【变式6-3】（2024·四川广安·中考真题）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度．
（结果精确到个位；参考数据：，，，）
【答案】32m
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点作于点，作于点，先求解，，再证明，再利用锐角的正切可得，从而可得答案.
【详解】解：过点作于点，作于点
由题意得：，
在中，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
在中.
，
答：该风力发电机塔杆的高度为.
【题型7 临界值问题】
【例7】（23-24九年级·江苏南通·开学考试）如图，斜坡的坡角，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端安装支架，所在的直线垂直于水平线，垂足为点，为与的交点．已知，前排光伏板的坡角．
(1)求的长（结果取整数）；
(2)冬至日正午，经过点的太阳光线与所成的角．后排光伏板的前端在上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：，，，
三角函数锐角A
0.22 0.47 0.53
0.97 0.88 0.85
0.23 0.53 0.62
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解求出，再解求出即可；
（2）设交一直在点M，作延长线于点N，解求出，求出，得到，解求出，根据可求出结论．
【详解】（1）在中， ，
∴
，
在中，，
∴；
（2）设交一直在点M，作延长线于点N，如图，
则
∴
在中，
在中，
∴
∴
∵
∴
∴
在中， ，
∴ ，
∴，
∴的最小值为
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．
【变式7-1】（2024·福建泉州·二模）如图所示为单反照相机取景器的示意图，五边形为五棱镜的一个截面，．光线垂直射入，且只在和上各发生一次反射，两次反射的入射角相等，最后光线垂直射出．若两次反射都为全反射，则该五棱镜折射率的最小值是（ ）（注：满足全反射的条件为折射率)
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据几何关系求出入射角，通过折射定律求出五棱镜折射率的最小值即可得到答案；
【详解】解：设入射到面上的入射角为，因为在和上发生反射，且两次反射的入射角相等，
根据光学几何关系可得，
∴两次反射的入射角相等，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴最小折射率，
故选：D；
【点睛】本题主要考查解答几何光学问题，解题的关键是正确作出光路图．
【变式7-2】（23-24九年级·浙江金华·阶段练习）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．如图，现有一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上．（参考数据：，）
(1)当人安全使用这架梯子时，求梯子底端与墙距离（即）的最小值；
(2)当梯子顶端与地面距离为时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？
【答案】(1)米
(2)，人能安全使用这架梯子
【分析】（1）根据得出当时，取最小值，根据求解即可；
（2）根据计算出的正弦值，即可得出的度数，最后判断的度数是否在安全的角度范围之内，即可进行解答．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，取最小值，
在中，，
（米），
梯子底端与墙距离（即）的最小值为米；
（2）解：在中，，
，
，
，
人能安全使用这架梯子．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤，利用三角函数值进行计算．
【变式7-3】（23-24九年级·陕西西安·期中）【问题提出】
（1）如图①，在中，点是边的中点，连接并延长至点，连接，若，的面积为，的面积为，则________的大小（填“”“”“”）
【问题探究】
（2）如图②，在中，，，，点为边的中点，．问：在边上是否存在一点，使得线段恰好平分的面积？若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由．
【问题解决】
（3）我校有着丰富多彩的校园生活，为了让同学们进一步接触到更多的校园社团活动，提高空间利用率，现计划对校园部分区域进行改造，某区域是如图③的四边形，，米，，点、分别在边、上，四边形为矩形，边、将这块区域分成了三部分，其中，矩形的面积为108平方米．为了方便通行，学校准备在这块区域中修一条笔直的小路（小路的两端、分别在和上，且小路的宽度忽略不计），使得将四边形分成两部分，同时平分矩形的面积，且使得区域的面积最小．试问学校的想法能否实现？若能，请求出这条小路的长及面积的最小值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（2）当这条小路的长为，面积有最小值
【分析】（1）如图所示，在上取一点E使得，连接，利用证明，得到，由此可证明，由，可得，
（2）如图所示，连接，过点A作交于H，连接交于O，由平行线的性质可得，进而证明，由此可得，再由三角形中线的性质得到，则，由此可得当点F与点H重合时，平分的面积；证明，得到，求出，过点E作于G，证明，得到，求出，则，，即可得到；
（3）如图所示，连接交于O，过点O作直线，分别交于P、Q，由矩形的性质得到，证明，得到，进而证明，则直线平分矩形的面积，同理可证明，经过点O的直线都平分矩形的面积，即可推出直线经过点O，设，则，解求出，由矩形的面积为108平方米，得到，解方程得到，根据，可得当时，最小，即此时点M与点E重合，点N与点C重合，据此可得答案．
【详解】解：（1）如图所示，在上取一点E使得，连接，
∵点是边的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）如图所示，连接，过点A作交于H，连接交于O，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∴平分的面积，
∴当点F与点H重合时，平分的面积，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
过点E作于G，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴；
（3）如图所示，连接交于O，过点O作直线，分别交于P、Q，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴直线平分矩形的面积，
∴同理可证明，经过点O的直线都平分矩形的面积，
∴直线经过点O，
设，则，
在中，，
∴，
∵矩形的面积为108平方米，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，最小，即此时点M与点E重合，点N与点C重合，
在中，由勾股定理得，
∴当这条小路的长为，面积有最小值．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，矩形的性质等等，（1）通过倍长中线构造全等三角形进行求解；（2）通过构造相似三角形进行求解；（3）通过证明直线经过点O，以及当时，最小是解题的关键．
【题型8 方案设计问题】
【例8】（23-24九年级·山东潍坊·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务
探究纸伞中的数学问题
素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨且，，，D点为伞圈．
素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到的位置，且A、E、三点共线．测得，，伞完全张开时，如图1所示（参考值：）．
素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为，此时发现身上被雨淋湿，测得．
问题解决
任务1 判断位置 求证：平分．
任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到0.1）．
任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 ，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）
【答案】任务一：见解析；任务二：约为；任务三：
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，弄清题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
（1）利用证明即可得到答案；
（2）过点E作于点G，求出的长，即可利用求出答案；
（3）设与交于点O，与交于点Q，先求出，可得，再求出，进而可求出，即为问题的答案．
【详解】解：（1）∵，且，，
∴，
在和中，
，
∴△AED≌△AFD（SSS），
∴，
∴平分；
（2）过E做，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理，得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
（3）解：设与交于点O，与交于点Q，如图，
在中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，
，
故答案为：60．
【变式8-1】（2024·广东广州·一模）【项目式学习】为了测量某段河流的宽度，两个数学研学小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的数H恰好在A的正北方向.测量方案与数据如表t
项目课题 测量河流宽度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组
测量方案 示意图
说明 点B，C在点A的正东方向 点B在点A正东方向，点C在点A正西方向
数据 ，， ，，
请选择其中一个方案及其数据：
(1)求的度数；
(2)求出河宽(精确到).参考数据：，，，
【答案】(1)
(2)河宽为192米
【分析】（1）本题考查了直角三角形两锐角互余，掌握定理即可解题．
（2）本题根据三角形外角性质得到，根据等腰三角形性质推出，再利用，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，在中，．
（2）解：如选第一组则求解如下：
是的外角，
，
，
，
，
在在中，，
（米），
答：河宽为192米．
如选第二组则求解如下：
设为a，在中，，，
在中，，，
，（米），
答：河宽为192米．
【点睛】本题考查了三角形外角性质、直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质和锐角三角函数，熟练掌握相关性质定理即可解题 ．
【变式8-2】（23-24九年级·湖南娄底·期中）如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测它到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离，方案如下：
课题 检测新生物到皮肤的距离
工具 医疗仪器等
示意图
说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为；再在皮肤上选择距离B处的C处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为．
测量数据 ，，
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，、，，）
【答案】新生物A处到皮肤的距离约为7cm
【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点A作，垂足为，在中，得到，在中，得到，根据，进行求解即可．
【详解】解：过点A作，垂足为．
由题意得，，，
在中，．
在中，．
∵，
∴
∴．
答：新生物A处到皮肤的距离约为7cm．
【变式8-3】（2024·山西太原·二模）从2014年至今，“图说我们的价值观”公益广告通过绘画、书法、雕塑、剪纸、刺绣、动画等形式来传播社会主义核心价值观，产生了良好的传播效果．在某校校园内有一块“社会主义核心价值观”宣传牌，同学们用所学知识对宣传牌的有关数据进行了测量，并尝试提出问题、解决问题．
数学抽象 将宣传牌抽象成如右图所示的图形，其中点A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，B，C两点在水平地面，点A，F所在直线与平行．
测量工具 老师教学用的量角器（可测角度与线段长，长度的最大量程为50）
测量数据 ，，，，，点C到宣传牌右侧立柱的距离的长为．
提出问题 …
小华想根据上述方案与测量数据，求点A到地面的距离，请你帮他完成．（结果精确到1cm．参考数据：，，，，，）
【答案】点A到地面的距离为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长交于点，过点作于点，证明四边形是矩形，在和中，分别求得和的长，据此计算即可求解．
【详解】解：延长交于点，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，，
在中，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
答：点A到地面的距离为．
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