专题1.6 直角三角形的边角关系全章专项复习【2大考点10种题型】
【北师大版】
【考点1 锐角三角函数】 1
【题型1 利用设参法求锐角的三角函数值】 2
【题型2 构造直角三角形求锐角的三角函数值】 6
【题型3 锐角三角函数与一元二次方程的综合】 12
【题型4 锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】 15
【考点2 解直角三角形】 20
【题型5 解直角三角形】 22
【题型6 构造直角三角形解斜三角形】 26
【题型7 与仰角、俯角有关的问题】 31
【题型8 与方位角有关的问题】 37
【题型9 与坡角、坡度有关的问题】 44
【题型10 方案设计问题】 54
【考点1 锐角三角函数】
1.在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作__sinA_.
2.在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余弦记作_cosA_ .
3.在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切.锐角A的正切记作__tanA_.
正弦：
余弦：；
正切：。
常见三角函数值：
锐角α 三角函数 30° 45° 60°
1
【题型1 利用设参法求锐角的三角函数值】
【例1】（2024·四川达州·一模）如图，四边形为矩形纸片，，，现把矩形纸片折叠，使得点C落在边上的点处（不与A，B重合），点D落在处，此时，交边于点E，设折痕为．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，由矩形的性质得，由折叠得，，则，因为 ，所以，，可求得，由勾股定理得，求得符合题意的值为3，则，，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：设，
四边形是矩形，，，
，
由折叠得，，
，
，
，，
，且，
，
，
，
解得，（不符合题意，舍去），
，，
∴，
故选：A．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，掌握轴对称的性质是关键．
【变式1-1】（2024·甘肃定西·模拟预测）已知在中，，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角形函数的定义．先可设，利用勾股定理求出，再根据锐角三角函数正切的定义：锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，求解即可．
【详解】解：如图：
在中，，，
∴可设，
∴，
故．
故答案为：．
【变式1-2】（2024·上海·模拟预测）在梯形中，，的平分线交于，连接，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，作出图形，先由三角形全等的判定与性质得到，即是直角三角形，过点作交于，如图所示，由矩形的判定与性质得到，在中及在中，有勾股定理得到的长，在中，由正切定义代值求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
是的角平分线，
，
在和中，
，
，即是直角三角形，
过点作交于，如图所示：
，
，
，即四边形是矩形，
，
在中，，，则由勾股定理可得，则，
设，则，
在中，由勾股定理可得，即，解得，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查求三角函数值，涉及角平分线定义、三角形全等的判定与性质、直角三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理及正切函数值定义等知识，熟练掌握相关几何性质及判定是解决问题的关键．
【变式1-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，已知，，，则 ．
【答案】/0.6
【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
过点作于，则，设，则，由可得，，利用勾股定理求出，根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：过点作于，
则，
∵，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型2 构造直角三角形求锐角的三角函数值】
【例2】（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质．
【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为，
∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，
∴，，，
∴，
∵，
∴点是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴的值为．
故选：C．
【变式2-1】（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形中，点E为边的中点，将正方形折叠，使点D与点E重合，为折痕，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，连接交与O，设正方形的边长为，由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求，由锐角三角函数可求解．
【详解】
解：如图，连接交与O，
设正方形的边长为，
∵点E为边的中点，
∴，
∴,
∵将正方形折叠，使点D与点E重合，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【变式2-2】（2024·广东潮州·一模）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，OE⊥BD交BC于点E，∠ABD＝2∠CBD，若BC＝，CD＝，则cos∠CBD＝ ．
【答案】
【分析】延长BD至M，使DM＝DC，连接CM，作AP⊥BD于点P，作CQ⊥BD于点Q，
根据平行四边形性质证明△ABP≌△CDQ，得到BP=DQ，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，延长BD至M，使DM＝DC，连接CM，作AP⊥BD于点P，作CQ⊥BD于点Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABD＝2∠CBD，
∴∠CDB＝2∠CBD，
∵DM＝DC，
∴∠DCM＝∠M，
∴∠CDB＝2∠M，
∴∠CBD＝∠M，
∴CB＝CM，
∵CQ⊥BD，
∴BQ＝MQ＝QD+DM＝QD+CD，
在△ABP和△CDQ中，
，
∴△ABP≌△CDQ（AAS），
∴BP＝DQ，
∴PQ＝CD＝，
设BP＝DQ＝x，
∵BC2﹣BQ2＝CQ2＝CD2﹣DQ2，
∴﹣（x+）2＝（）2﹣x2，
解得x＝，
，
，
∴cos∠CBD＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形性质，全等三角形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，等知识．灵活运用平行四边形性质证明全等三角形是本题关键．
【变式2-3】（2024·浙江·模拟预测）如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连接并延长分别交于点G，F，且．
（1）若，则 ．
（2）若，则的值为 ．
【答案】
【分析】（1）根据折叠的性质可得，进而求出，则，根据等边对等角可得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（2）过点作于点，得到四边形、均为矩形，根据得到，由平行线的性质得，由对顶角相等得，则，进而得到，根据勾股定理求出，设，则，，，再根据勾股定理求得，根据折叠的性质可得，，，，于是，，在中，根据勾股定理列出方程求解即可．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
【详解】解：（1）四边形为矩形，
，
，
根据折叠的性质可得，，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）如图，过点作于点，
四边形为矩形，设，，
，，，，
，
四边形、均为矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
设，则，
，
，
，
在中，，
根据折叠的性质可得，，，，
，，
在中，，
，
解得：，
∴
故答案为：
【题型3 锐角三角函数与一元二次方程的综合】
【例3】（23-24九年级·湖南郴州·期末）如果把方程变形为的形式，那么以长为直角边的 中的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查配方法的应用，勾股定理，求角的余弦值．掌握配方法，勾股定理和余弦的定义是解题关键．根据配方法可求出，结合勾股定理可求出的斜边长为5，最后根据余弦的定义求解即可．
【详解】解：方程变形为的形式为，
∴．
∵以长为直角边，
∴的斜边长为，
∴．
故选B．
【变式3-1】（23-24九年级·福建泉州·期末）若，是关于x的方程的两个实数根，则（ ）
A． B．3 C． D．3或
【答案】C
【分析】利用根与系数的关系得出，进而得出，将代入一元二次方程求出方程的根即可．
【详解】解：∵，是关于x的方程的两个实数根，
∴，解得：，
即：，则，
解得，，
∵
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数的取值范围及一元二次方程（，，，为常数）根与系数的关系：，．
【变式3-2】（2024·云南临沧·二模）如果方程x2﹣8x+15＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】首先解出方程的解为3或5，接着分情况讨论：①当3和5为直角边时；②当5为斜边时，另一直角边为4，再根据tan函数的定义即可得出答案.
【详解】x2﹣8x+15＝0，
（x﹣3）（x﹣5）＝0，
则x﹣3＝0，x﹣5＝0，
解得x＝3或5，
①当3和5为直角边时：tanA＝．
②当5为斜边时，另一直角边为4，tanA＝．
故选D．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程以及锐角三角函数，关键是要掌握正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切.
【变式3-3】（2024·四川成都·二模）关于的方程有两个相等的实数根，其中是锐角的一个内角；关于的方程的两个根恰好是的两边长，则的周长是 ．
【答案】16或
【分析】根据方程有两个相等的实数根，求得sinA=；根据的方程的两个根判定m=2，得证是等腰三角形，分类计算即可．
【详解】∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴sinA=，sinA=-（舍去），
∵方程有两个根，
∴，
∴，
∵，
∴m-2=0，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
当∠A为等腰三角形的顶角时，过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1:
∵AB=AC=5，sinA=，
∴BD=ABsinA==4，AD==3，
∴DC=2，
∴BC==，
∴的周长是10+；
当∠A为等腰三角形的底角时，过点B作BE⊥AC，垂足为E，如图2:
∵AB=BC=5，sinA=，
∴BE=ABsinA==4，AE==3，
∴AE=CE=3，
∴AC=6，
∴的周长是10+6=16；
故答案为：16或10+．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，实数的非负性，等腰三角形的分类思想，锐角三角函数，利用方程根的特点确定角的正弦，实数的非负性，确定三角形是等腰三角形是解题的关键．
【题型4 锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】
【例4】（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，四边形是菱形，且．若直线把矩形和菱形组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，连接，交于点，连接，交于点，连接，过作于点，由题意知，，，，分别为线段的中点，在中，由勾股定理求的值，可得的值，则可确定的坐标，进而可得的坐标，由题意知，直线将矩形和菱形组成的图形的面积分成相等的两部分，设直线的解析式为，待定系数法求的值，进而可得直线解析式．
【详解】解：如图，连接，交于点，连接，交于点，连接，过作于点，
由题意可得：，分别为线段的中点，
∵顶点的坐标为，四边形是菱形，且
∴，，在中，由勾股定理得，，
∴，
∴，，
∴，即，
由题意知，直线将矩形和菱形组成的图形的面积分成相等的两部分，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，即为直线的解析式，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形、菱形的性质、勾股定理、坐标与图形、中点坐标、求一次函数解析式，解题的关键在于明确直线即为直线．
【变式4-1】（2024·山东德州·二模）将△OBA按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中，，顶点A的坐标为，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为 ．
【答案】
【分析】先确定6次一个循环，再确定第2023次旋转的位置，再构建直角三角形求解即可．
【详解】解：∵，∠ABO=90°，
∴OB=1，，
∵∠A=30°，
∴OA=2OB=2，
将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，
旋转6次回到原位置，
所以旋转2023次的位置如图示，
由题意可得：
过作于H，
∴第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为，
故答案为．
【点睛】本题考查图形变化-旋转，规律型：点的坐标，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握探究规律的方法，属于中考常考题型．
【变式4-2】（2024·湖北恩施·三模）蜂巢结构精巧，左图为其横截面示意图，其形状均为正六边形，右图中的7个全等的正六边形不重复且无缝隙，以坐标原点为对称中心建立平面直角坐标系，已知，则Q点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，由正六边形，可得，，则是等边三角形，，则，，，进而可得Q点坐标．
【详解】解：如图，
∵正六边形，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形的内角，等边三角形的判定与性质，正弦，点坐标等知识．熟练掌握正多边形的内角，等边三角形的判定与性质，正弦，点坐标是解题的关键．
【变式4-3】（2024·湖北武汉·三模）如图，在平面直角坐标系中，点、在第一象限内且点，点点，，点到射线的最小值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，一次函数，等腰直角三角形的判定与性质，设直线交y轴于点E，过点C作，过点B作于点M，交于点N，过点B作于点F，交y轴于点G，求出直线的解析式，得，然后根据勾股定理可得，证明，根据已知条件证明和都是等腰直角三角形，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，设直线交y轴于点E，过点C作，过点B作于点M，交于点N，过点B作于点F，交y轴于点G，
设直线的解析式为，
∵点，点，
∴，
解得，，
直线的解析式为，
当时，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴点B到射线的最小值是．
故答案为：．
【考点2 解直角三角形】
1.解直角三角形
解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解。除直角外，共5个元素(三边、两锐角)，若知道其中2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知元素。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
（1）三边之间的关系：（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：
2.解直角三角形的类型
已知条件 解 法
两直角边(如a，b) 由tan A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝
斜边、一直角边(如c，a) 由sin A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝
一锐角与邻边(如∠A，b) ∠B＝90°－∠A；a＝b·tan A；c＝
一锐角与对边(如∠A，a) ∠B＝90°－∠A；b＝； c＝
斜边与一锐角(如c，∠A) ∠B＝90°－∠A；a＝c·sin A； b＝c·cos A
3.锐角三角函数的实际应用
1．日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，锐角三角函数在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下几个环节：
(1)审题，认真分析题意，将已知量和未知量弄清楚，找清已知条件中各量之间的关系，根据题目中的已知条件，画出它的平面图或截面示意图．
(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等．
(3)是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行 解决．
(4)确定合适的边角关系，细心推理计算．
(5)在解题过程中，既要注意解有关的直角三角形，也应注意到有关线段的增减情况．
4.锐角三角函数实际应用中的相关概念
(1)仰角、俯角
如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．
(2)坡度(坡比)、坡角
如图②，坡面的高度h和水平距离l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tan α＝，坡面与水平面的夹角α叫坡角．
(3)方向角
指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图③，OA是表示北偏东60°方向的一条射线．
注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东。
(4)方位角
从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角.
5.三角函数常见模型
图1 图2
如图1是基本图形，若B、C、D在同一直线上，且∠ABC等于90°，∠ACB=α，∠ADB=β，CD=a，AB=x，则有x=BD·tanβ，x=CB·tanα，
∴， ；变式为图2，则结论为
【题型5 解直角三角形】
【例5】（23-24九年级·福建泉州·期末）在锐角中，于点，若 ， ，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形,根据题意画出图形, 令，勾股定理求得，根据等面积法求得，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，
，，
则令，
，．
在中，
，
同理可得， ．
过点作的垂线，垂足为，
则，
．
在中，
，
．
故选：B．
【变式5-1】（23-24九年级·河北石家庄·期中）在Rt中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦函数的定义即可直接求解，解题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
【详解】解：如图，
∵，
∴设，，
∴由勾股定理得：，
解得：，
∴，
故选：．
【变式5-2】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，与均为等边三角形，O为的中点，点D在边上，则的值 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，连接，由已知可以推出，推出，根据锐角三角函数即可推出的值．
【详解】解：连接，如图，
∵均为等边三角形，O为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵．
∴，
∴．
故答案为：．
【变式5-3】（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，，，为边上一点，且，过点作，交于点，连接，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，三角函数，过点作，可得，，由得，即得，又由可得，得到，，则，，同理可得，得到，即可得，得到，进而得到，，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作，
∵，
∴，，
在中，，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
设，则，
在中，，
同理可得，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型6 构造直角三角形解斜三角形】
【例6】（2024·广西·中考真题）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点作于，于，由题意易得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解可得，即可求解，得出四边形是菱形是解题的关键．
【详解】解：过点作于，于，则，
∵两张纸条的对边平行，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵两张纸条的宽度相等，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
在中，，，
∴，
∴四边形的周长为，
故答案为：．
【变式6-1】（2024·江苏常州·一模）在锐角中，，，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，学会作出辅助线构造直角三角形解决问题．过点作构造直角三角形，再根据三角函数定义解直角三角形即可．
【详解】解：过点作垂足为，
，
设，，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
．
故答案为：
【变式6-2】（2024·河南周口·模拟预测）如图，是等边三角形，，点E是的平分线上的一动点，连接，将点E绕点C顺时针旋转得到点F，连接，．若是直角三角形，则线段的长为
【答案】或
【分析】根据等边三角形的性质和角平分线的定义可得，，再根据旋转的性质可得，，利用等量代换可得，证得，可得，，，由是直角三角形，分类讨论：或进行求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，平分，
∴，，
∵将点E绕点C顺时针旋转得到点F，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∵是直角三角形，
当，
在中，，
∴，
当时，
在中，，即，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数及旋转的性质，熟练掌握相关定理证得，进行分类讨论是解题的关键
【变式6-3】（2024·湖南·模拟预测）如图，在锐角中，，，平分，M，N分别是和上的动点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，垂线段最短等等，在上截取，连接，易证明，得到，则，故当三点共线，且时，最小， 即此时最小，最小值即为的长，解直角三角形求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，在上截取，连接，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线，且时，最小， 即此时最小，最小值即为的长，
∴此时，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【题型7 与仰角、俯角有关的问题】
【例7】（2024九年级·山东青岛·专题练习）小智测量广场上篮球筐距地面的高度．如图，已知篮球筐的直径约为，小智站在C处，先仰视篮球筐直径的一端 A处，测得仰角为 ，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为．若小智的目高为，求篮球筐距地面的高度．(结果精确到，参考数据：, , ,)
【答案】篮球筐距地面的高度约为
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用——仰俯角问题，恰当构造直角三角形，正确应用锐角三角函数的定义式是解题的关键．
过点B作，交的延长线于点G，过点O作于点E，延长交 于点 F，，解可得，解，建立方程求解即可．
【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于点G，过点O作于点E，延长交 于点 F．
由题意得，，．
设，则．
在中，，，
解得，
∴．
在中，，，
∴,
解得，
∴，
∴．
答：篮球筐距地面的高度约为．
【变式7-1】（2024·贵州遵义·模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中，），具体操作如下：将平面镜水平放置于处，小茜站在处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端处（为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字底端处．测得，，点，，，在同一水平线上，点，，在同一铅垂线上．（参考数据：，，）
(1)的高度为__________，的长为__________；
(2)求“美”字的高度．
【答案】(1)，2
(2)
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，相似三角形的判定和性质，解题的关键是：
（1）证明是等腰直角三角形，即可求得，解直角三角形即可求得；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到，进一步求得，然后解直角三角形即可求得，即可求得．
【详解】（1）解：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，，
，
；
故答案为：，2；
（2），
，
，
，
由题意可知，
，
，
在中，
，
，
即“美”字的高度约为．
【变式7-2】（2024·山西大同·二模）2024年是甲辰龙年，在山西太原汾河景区有一条名为“中华第一巨龙”的景观灯，某数学兴趣小组准备用所学的知识测量这条“巨龙”的龙头头顶A距离地面的高度（如图），下面是他们的测量过程：小组成员在点C处测得与人行道的夹角为，测得龙头头顶A的仰角为；沿着人行道直行到达点D处，此时测得与人行道的夹角恰好也是．已知B，C，D三点在同一水平面上，A，B两点在垂直于水平面的同一竖直直线上，即，，测角仪距地面的高度忽略不计，请根据以上测得的数据，估计龙头头顶A距离地面的高度．（结果精确到；参考数据：，，，）
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先证明是等腰直角三角形，求得的长，在中，解直角三角形即可求解．
【详解】解：根据题意，得，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴．
答：龙头头顶A距离地面的高度约为．
【变式7-3】（2024·浙江宁波·三模）【问题背景】
一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．
【问题探究】
如图2，在坡角点处测得旗杆顶点的仰角的正切值为3，山坡上点处测得顶点的仰角的正切值为．斜坡的坡比为，两观测点的距离为．
学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．
任务1：计算，两点的垂直高度差．
任务2：求顶点到水平地面的垂直高度．
【问题解决】
为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：
小组一：在坡角点处测得旗杆底部点的仰角的正切值为；
小组二：在山坡上点处测得旗杆底部点的俯角的正切值为．
任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度．
【答案】任务1：10米；任务2：38.7米；任务3：小组一：30.1米；小组二：31.16米
【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角，解直角三角形的应用坡度坡角，正确记忆相关知识点是解题关键．
任务一，过点作，垂足为，利用勾股定理求出，再求出的长即可；
任务二，延长交的延长线于点，延长交于点，米，则米，利用三角函数求出和，即可求出；
任务三，选择任意一个方案，利用三角函数进行求解即可．
【详解】解：任务1：过点作，垂足为，
斜坡的坡比为，
设米，则米，
在中，（米，
米，
，
解得：，
米，米，
，两点的垂直高度差为10米；
任务
延长交的延长线于点，延长交于点，
由题意得：米，，
设米，
米，
米，
在中，，
（米，
在中，，
米，
，
，
解得：，
．（米，
顶点到水平地面的垂直高度为38.7米；
任务
若选择小组一的方案：
在中，，米，
（米，
（米，
旗杆的高度为30.1米；
若选择小组二的方案：
在中，，（米，
（米，
在中，，
（米，
（米，
旗杆的高度为31.16米．
【题型8 与方位角有关的问题】
【例8】（2024·上海浦东新·一模）如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．
(1)__________，__________；
(2)求点到道路的距离；
(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，）
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可；
（2）过点作，垂足为，解，求出，解，求出，即可；
（3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为，解，求出，证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：，
∴，；
（2）解：过点作，垂足为．
∵
∴在中，，，
∴，
．
在中，，
．
答：点到道路的距离为千米．
（3）解：连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为．
正八边形的外角均为，
在中，．
．
又，，
．
∵，
∴，
，即，
，
．
答：小李离点不超过，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响．
【点睛】本题考查正多边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
【变式8-1】（2024·山东东营·一模）如图，某海岸线的方向为北偏东，甲、乙两船同时出发向处海岛运送物资．甲船从港口处沿北偏东方向航行，乙船从港口处沿北偏东方向航行，其中乙船的平均速度为．若两船同时到达处海岛，求甲船的平均速度（结果用表示）．
【答案】甲船的平均速度约为．
【分析】本题考查了解直角三角形，角的直角三角形的性质，过点作，垂足为，构造直角三角形，可得是含有角的直角三角形，是含有角的直角三角形，设，则，，，再根据时间相等即可求出甲船的速度，掌握直角三角形的边角关系，作垂线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】如图，过点作，垂足为，
由题意，得，，
设，
∴，，，
∵两船同时到达处海岛，
∴，
∴，
∴，
答：甲船的平均速度约为．
【变式8-2】（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图所示为某景区五个景点、、、、的平面示意图，在的正东方方向，在的北偏东方向上，与相距300米，在的正东方向140米处，在的北偏东方向上，、均在的正北方向．
(1)填空： 度， 度；
(2)求景点B、E之间的距离；
(3)求景点A、C之间的距离．
【答案】(1)15，150；
(2)150米；
(3)（米）
【详解】（1）解：如图：
由题意得：，，，，
，，
，
，
故答案为：15，150；
（2）解：过点作，垂足为，
由题意得：，米，
在中，，
（米，
米，
景点、之间的距离为150米；
（3）解：由题意得：米，，
在中，，米，
（米，
米，
在中，，
米，
景点、之间的距离为米．
【变式8-3】（2024·山东菏泽·模拟预测）北京冬奥村的餐厅由机器人送餐．一送餐机器人从世界餐台处向正南方向走米到达亚洲餐台处，再从处向正东方向走米到达中餐餐台处，然后从处向北偏西走到就餐区处，最后从回到处，已知就餐区在的北偏东方向，求中餐台到就餐区（即）的距离．（结果保留整数，参考数值：，，，，，）
【答案】约为米
【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据三角函数值计算得出，再根据即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，由题意得，，，
则四边形都是矩形，
，
设米，则米，
在中，
，即，
米，
在中，
，即，
米，
又米，
，
解得，
即米，
在中，
，即，
米，
答：中餐台到就餐区即的距离约为米．
【题型9 与坡角、坡度有关的问题】
【例9】（2024·河北石家庄·模拟预测）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1）．为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面AB的坡比为（其中），当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米．
以O为原点建立平面直角坐标系，解决问题：
(1)求水柱所在抛物线的解析式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由；
(3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上；
①河水离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？
②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为h米，喷水口离地平面的最小高度m随着h的变化而变化，直接写出m与h的关系式．
【答案】(1)
(2)不能，理由见详解
(3)①米，②
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，坡度比，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能运用待定系数法求解析式是关键．
（1）依据题意得：二次函数的顶点坐标为．故设该二次函数的解析式为：，再结合经过原点，求出a即可得解；
（2）依据题意，由（1）该二次函数的解析式为：，从而可得当时，，进而可以判断得解；
（3）①先求出，B的坐标为，再设的解析式为，建立方程组可得k，b进 而可得直线，再与抛物线解析式建立方程组，进而计算可以判断得解；②根据平移可得新的抛物线解析式为：，结合坝面AB的坡比为，根据①中求解点B坐标的方法同理可求出点G的坐标为：，根据点G在抛物线的图象上，问题即可得解．
【详解】（1）由题意得：二次函数的顶点坐标为．
设该二次函数的解析式为：，
二次函数经过原点，
，
解得：．
该二次函数的解析式为：；
（2）水柱不能喷射到护栏上，理由如下：
当时，，
∵，
∴水柱不能喷射到护栏上；
（3）①∵河道坝高米，坝面AB的坡比为（其中）
∴，
即，
则点B与原点O的水平距离为：，
∴点的坐标为，
又∵点的坐标为，
设的解析式为
解得：
解得：（不合题意，舍去），，
当时，，
即：河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上；
②将抛物线向上平移m米，
则可得新的抛物线解析式为：，
当坝中水面离地平面距离为h米，
则坝面截线与水面截线的交点G的纵坐标为：，如图，
结合坝面AB的坡比为，根据①中求解点B坐标的方法同理可求出点G的坐标为：，
∵点G在抛物线的图象上，
∴，
整理得：，
即m与h的关系式为：．
【变式9-1】（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段．
(1)求测角仪与塔身的水平距离；
(2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解．
（1）延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，则，，易得，根据勾股定理得出，最后即可解答；
（2）由（1）可知，，根据题意得出，，，则，，根据，即可解答．
【详解】（1）解：如图，延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，
则，，
由题意可知，，，
，
，
，
答：测角仪与塔身的水平距离为；
（2）解：由（1）可知，，
由题意可知，，，，
，
，
，
答：塔身的高度约为．
【变式9-2】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测量山坡的坡度，即的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为 塔底 B 的仰角为．已知塔高米，塔所在的山高米， 米， 图中的点O， B， C， A， P在同一平面内．
(1)求P到的距离；
(2)求山坡的坡度．（参考数据∶ ，，，）
【答案】(1)点P到的距离为400米
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
（1）过点P作于点H，得出，，根据米，得出，列出方程求解即可；
（2）过点P作于点G，先求出米，则米，通过证明四边形为矩形，得出米，米，进而得出米，最后根据即可解答．．
【详解】（1）解：过点P作于点H，
∵，
∴，
，
∵米，
∴，即，
解得：，
答：点P到的距离为400米．
（2）解：过点P作于点G，
∵米，，
∴米，
∵米，
∴（米），
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，米，
∵米，
∴米，
∴．
【变式9-3】（2024·江苏宿迁·中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．
【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．
【答案】[问题背景] ；[活动探究] ；[应用拓展]
【分析】[问题背景]根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案；
[活动探究] 根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案；
[应用拓展] 过点作于点，过点作于点，证，得，再由锐角三角函数定义得，设，，则，，进而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性质得，即可解决问题．
【详解】解：[问题背景]如图所示：
，，
，
，
，
，，，
，解得；
[活动探究]如图所示：
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
；
[应用拓展] 如图，过点作于点，过点作于点，
由题意得：，，
，
，
，
即，
，，
，
，
即，
，
，
，
由题意得：，
，
，，
设，，则，，
，
，
解得：（负值已舍去），
，，
，
，
同【问题背景】得：，
，
，
解得：，
，
答：信号塔的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形综合，涉及相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、勾股定理等知识，读懂题意，熟练掌握相似三角形测高、三角函数测高的方法步骤是解决问题的关键．
【题型10 方案设计问题】
【例10】（2024·山西·二模）应县木塔，全称佛宫寺释迦塔，位于山西省朔州市应县西北佛宫寺内，是中国现存最高最古的一座木构塔式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．某校综合与实践小组测量应县木塔的高度，形成了如下不完整的实践报告：
测量对象 应县木塔
测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题
测量工具 无人机
测量方案 1.先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为； 2.再将无人机从点P处沿水平方向飞行至点C，然后沿垂直方向上升至点Q，测得塔的顶端A的俯角，图中各点均在同一竖直平面内．
测量示意图
请根据以上测量数据，求应县木塔的高度（结果精确到，参考数据：，，）．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，，，，，，然后设 ，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：延长交于点，延长交于点，
由题意得：，，，，，，
设 ，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
，
应县木塔的同度约为．
【变式10-1】（2024·贵州安顺·二模）森林防火不仅是政府和相关部门的责任，每个公民应当参与到森林防火工作中，了解相关防火知识并在日常生活中做出相应的贡献．如图所示，在一条笔直公路上，公路两旁是林地，位于森林防火卡点的北偏东方向的处发生火灾，防火员从卡点去火灾处救援有两种方案，方案1：防火员立即骑车沿正东方向行驶800米到达离点最近的处再跑步到点救援；方案2：防火员从卡点直接跑步前往处救援．若防火员的跑步速度为，骑车的速度为．（参考数据：，，，，，）
(1)的长为__________米（结果保留整数）；
(2)防火员必须在两个方案中选择一个，请问选择哪个方案更合理，请通过计算说明理由．
【答案】(1)976
(2)选择方案一更合理．见解析
【分析】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，理解题意，熟练运用三角函数关系是解题的关键．
（1）在中，直接根据正弦函数关系即可求出；
（2）求出，再分别求出两种方案下所用时间较少，从而作出判断，并说明理由．
【详解】（1）解：由题意，知米，，
在中，
（米），
故答案为：976；
（2）解：选择方案一更合理．
理由：在中，
（米），
方案一需要时间为：，
方案二需要时间为：，
，
选择方案一更合理．
【变式10-2】（2024·甘肃天水·模拟预测）苦水高高跷是甘肃省兰州市永登县传统民俗文化之一，起源于元末明初，至今已有700余年的历史，也是国家非物质文化遗产之一．如图1，表演者穿着传统戏剧服饰，画上秦腔剧目中的人物脸谱，手持道具，凌空飞舞，被业内人士称为行走的“空中戏剧”．2024年春节，永登县连城镇牛站村社火团队表演了醉关公．某校综合实践研究小组开展了“测量高跷关公腿多长”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，某人垂直踩在地面上，在地面上选取A，B两处分别测得和的度数（A，D，B在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为，，．
解决问题：求高跷关公腿高度．
根据上述方案及数据，完成求解过程．（结果精确到0.1米．参考数据，，，，，．
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，由题意得，，设，，在中，利用锐角三角函数可得，在中，利用锐角三角函数求得，从而可得，再求解即可．
【详解】解：由题意得，，
设，，
在中，，即，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
答：高跷关公腿高度为．
【变式10-3】（2024·甘肃·模拟预测）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题．
课题 探究物理实验装置中的几何测量问题
成员 组长：xxx 组员：xxx，xxx，xxx
实验工具 测角仪，皮尺，摄像机等
方案设计 方案一 方案二
测量方案 示意图 （已知） （已知）
说明 点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到达水平面的位置，点C为木块的位置．
测量数据 米，， ． 米，， ．
请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离.（结果精确到0.1米，参考数据）
【答案】摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离米
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，把实际问题抽象为数学问题是关键；
选择方案一：在中，有；在中，有，由此建立方程，求得，即可求得的长；
选择方案二：在中，有；在中，有，由此建立方程，求得，即可求得的长；
【详解】解：选择方案一：在中，有；
在中，有，
即：，
，
（米）；
选择方案二：在中，有；
在中，有，
即，
，
（米）；
答：摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离为米．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题1.6 直角三角形的边角关系全章专项复习【2大考点10种题型】
【北师大版】
【考点1 锐角三角函数】 1
【题型1 利用设参法求锐角的三角函数值】 2
【题型2 构造直角三角形求锐角的三角函数值】 3
【题型3 锐角三角函数与一元二次方程的综合】 4
【题型4 锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】 4
【考点2 解直角三角形】 5
【题型5 解直角三角形】 7
【题型6 构造直角三角形解斜三角形】 8
【题型7 与仰角、俯角有关的问题】 9
【题型8 与方位角有关的问题】 11
【题型9 与坡角、坡度有关的问题】 13
【题型10 方案设计问题】 15
【考点1 锐角三角函数】
1.在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作__sinA_.
2.在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余弦记作_cosA_ .
3.在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切.锐角A的正切记作__tanA_.
正弦：
余弦：；
正切：。
常见三角函数值：
锐角α 三角函数 30° 45° 60°
1
【题型1 利用设参法求锐角的三角函数值】
【例1】（2024·四川达州·一模）如图，四边形为矩形纸片，，，现把矩形纸片折叠，使得点C落在边上的点处（不与A，B重合），点D落在处，此时，交边于点E，设折痕为．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·甘肃定西·模拟预测）已知在中，，若，则的值为 ．
【变式1-2】（2024·上海·模拟预测）在梯形中，，的平分线交于，连接，则 ．
【变式1-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，已知，，，则 ．
【题型2 构造直角三角形求锐角的三角函数值】
【例2】（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形中，点E为边的中点，将正方形折叠，使点D与点E重合，为折痕，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·广东潮州·一模）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，OE⊥BD交BC于点E，∠ABD＝2∠CBD，若BC＝，CD＝，则cos∠CBD＝ ．
【变式2-3】（2024·浙江·模拟预测）如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连接并延长分别交于点G，F，且．
（1）若，则 ．
（2）若，则的值为 ．
【题型3 锐角三角函数与一元二次方程的综合】
【例3】（23-24九年级·湖南郴州·期末）如果把方程变形为的形式，那么以长为直角边的 中的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24九年级·福建泉州·期末）若，是关于x的方程的两个实数根，则（ ）
A． B．3 C． D．3或
【变式3-2】（2024·云南临沧·二模）如果方程x2﹣8x+15＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为（ ）
A． B． C． D．或
【变式3-3】（2024·四川成都·二模）关于的方程有两个相等的实数根，其中是锐角的一个内角；关于的方程的两个根恰好是的两边长，则的周长是 ．
【题型4 锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】
【例4】（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，四边形是菱形，且．若直线把矩形和菱形组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·山东德州·二模）将△OBA按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中，，顶点A的坐标为，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为 ．
【变式4-2】（2024·湖北恩施·三模）蜂巢结构精巧，左图为其横截面示意图，其形状均为正六边形，右图中的7个全等的正六边形不重复且无缝隙，以坐标原点为对称中心建立平面直角坐标系，已知，则Q点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·湖北武汉·三模）如图，在平面直角坐标系中，点、在第一象限内且点，点点，，点到射线的最小值是 ．
【考点2 解直角三角形】
1.解直角三角形
解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解。除直角外，共5个元素(三边、两锐角)，若知道其中2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知元素。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
（1）三边之间的关系：（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：
2.解直角三角形的类型
已知条件 解 法
两直角边(如a，b) 由tan A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝
斜边、一直角边(如c，a) 由sin A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝
一锐角与邻边(如∠A，b) ∠B＝90°－∠A；a＝b·tan A；c＝
一锐角与对边(如∠A，a) ∠B＝90°－∠A；b＝； c＝
斜边与一锐角(如c，∠A) ∠B＝90°－∠A；a＝c·sin A； b＝c·cos A
3.锐角三角函数的实际应用
1．日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，锐角三角函数在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下几个环节：
(1)审题，认真分析题意，将已知量和未知量弄清楚，找清已知条件中各量之间的关系，根据题目中的已知条件，画出它的平面图或截面示意图．
(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等．
(3)是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行 解决．
(4)确定合适的边角关系，细心推理计算．
(5)在解题过程中，既要注意解有关的直角三角形，也应注意到有关线段的增减情况．
4.锐角三角函数实际应用中的相关概念
(1)仰角、俯角
如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．
(2)坡度(坡比)、坡角
如图②，坡面的高度h和水平距离l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tan α＝，坡面与水平面的夹角α叫坡角．
(3)方向角
指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图③，OA是表示北偏东60°方向的一条射线．
注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东。
(4)方位角
从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角.
5.三角函数常见模型
图1 图2
如图1是基本图形，若B、C、D在同一直线上，且∠ABC等于90°，∠ACB=α，∠ADB=β，CD=a，AB=x，则有x=BD·tanβ，x=CB·tanα，
∴， ；变式为图2，则结论为
【题型5 解直角三角形】
【例5】（23-24九年级·福建泉州·期末）在锐角中，于点，若 ， ，则的度数是( )
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24九年级·河北石家庄·期中）在Rt中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，与均为等边三角形，O为的中点，点D在边上，则的值 ．
【变式5-3】（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，，，为边上一点，且，过点作，交于点，连接，若，则的值为 ．
【题型6 构造直角三角形解斜三角形】
【例6】（2024·广西·中考真题）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为 ．
【变式6-1】（2024·江苏常州·一模）在锐角中，，，若，则 ．
【变式6-2】（2024·河南周口·模拟预测）如图，是等边三角形，，点E是的平分线上的一动点，连接，将点E绕点C顺时针旋转得到点F，连接，．若是直角三角形，则线段的长为
【变式6-3】（2024·湖南·模拟预测）如图，在锐角中，，，平分，M，N分别是和上的动点，则的最小值为 ．
【题型7 与仰角、俯角有关的问题】
【例7】（2024九年级·山东青岛·专题练习）小智测量广场上篮球筐距地面的高度．如图，已知篮球筐的直径约为，小智站在C处，先仰视篮球筐直径的一端 A处，测得仰角为 ，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为．若小智的目高为，求篮球筐距地面的高度．(结果精确到，参考数据：, , ,)
【变式7-1】（2024·贵州遵义·模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中，），具体操作如下：将平面镜水平放置于处，小茜站在处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端处（为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字底端处．测得，，点，，，在同一水平线上，点，，在同一铅垂线上．（参考数据：，，）
(1)的高度为__________，的长为__________；
(2)求“美”字的高度．
【变式7-2】（2024·山西大同·二模）2024年是甲辰龙年，在山西太原汾河景区有一条名为“中华第一巨龙”的景观灯，某数学兴趣小组准备用所学的知识测量这条“巨龙”的龙头头顶A距离地面的高度（如图），下面是他们的测量过程：小组成员在点C处测得与人行道的夹角为，测得龙头头顶A的仰角为；沿着人行道直行到达点D处，此时测得与人行道的夹角恰好也是．已知B，C，D三点在同一水平面上，A，B两点在垂直于水平面的同一竖直直线上，即，，测角仪距地面的高度忽略不计，请根据以上测得的数据，估计龙头头顶A距离地面的高度．（结果精确到；参考数据：，，，）
【变式7-3】（2024·浙江宁波·三模）【问题背景】
一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．
【问题探究】
如图2，在坡角点处测得旗杆顶点的仰角的正切值为3，山坡上点处测得顶点的仰角的正切值为．斜坡的坡比为，两观测点的距离为．
学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．
任务1：计算，两点的垂直高度差．
任务2：求顶点到水平地面的垂直高度．
【问题解决】
为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：
小组一：在坡角点处测得旗杆底部点的仰角的正切值为；
小组二：在山坡上点处测得旗杆底部点的俯角的正切值为．
任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度．
【题型8 与方位角有关的问题】
【例8】（2024·上海浦东新·一模）如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．
(1)__________，__________；
(2)求点到道路的距离；
(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，）
【变式8-1】（2024·山东东营·一模）如图，某海岸线的方向为北偏东，甲、乙两船同时出发向处海岛运送物资．甲船从港口处沿北偏东方向航行，乙船从港口处沿北偏东方向航行，其中乙船的平均速度为．若两船同时到达处海岛，求甲船的平均速度（结果用表示）．
【变式8-2】（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图所示为某景区五个景点、、、、的平面示意图，在的正东方方向，在的北偏东方向上，与相距300米，在的正东方向140米处，在的北偏东方向上，、均在的正北方向．
(1)填空： 度， 度；
(2)求景点B、E之间的距离；
(3)求景点A、C之间的距离．
【变式8-3】（2024·山东菏泽·模拟预测）北京冬奥村的餐厅由机器人送餐．一送餐机器人从世界餐台处向正南方向走米到达亚洲餐台处，再从处向正东方向走米到达中餐餐台处，然后从处向北偏西走到就餐区处，最后从回到处，已知就餐区在的北偏东方向，求中餐台到就餐区（即）的距离．（结果保留整数，参考数值：，，，，，）
【题型9 与坡角、坡度有关的问题】
【例9】（2024·河北石家庄·模拟预测）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1）．为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面AB的坡比为（其中），当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米．
以O为原点建立平面直角坐标系，解决问题：
(1)求水柱所在抛物线的解析式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由；
(3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上；
①河水离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？
②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为h米，喷水口离地平面的最小高度m随着h的变化而变化，直接写出m与h的关系式．
【变式9-1】（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段．
(1)求测角仪与塔身的水平距离；
(2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，）
【变式9-2】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测量山坡的坡度，即的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为 塔底 B 的仰角为．已知塔高米，塔所在的山高米， 米， 图中的点O， B， C， A， P在同一平面内．
(1)求P到的距离；
(2)求山坡的坡度．（参考数据∶ ，，，）
【变式9-3】（2024·江苏宿迁·中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．
【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．
【题型10 方案设计问题】
【例10】（2024·山西·二模）应县木塔，全称佛宫寺释迦塔，位于山西省朔州市应县西北佛宫寺内，是中国现存最高最古的一座木构塔式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．某校综合与实践小组测量应县木塔的高度，形成了如下不完整的实践报告：
测量对象 应县木塔
测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题
测量工具 无人机
测量方案 1.先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为； 2.再将无人机从点P处沿水平方向飞行至点C，然后沿垂直方向上升至点Q，测得塔的顶端A的俯角，图中各点均在同一竖直平面内．
测量示意图
请根据以上测量数据，求应县木塔的高度（结果精确到，参考数据：，，）．
【变式10-1】（2024·贵州安顺·二模）森林防火不仅是政府和相关部门的责任，每个公民应当参与到森林防火工作中，了解相关防火知识并在日常生活中做出相应的贡献．如图所示，在一条笔直公路上，公路两旁是林地，位于森林防火卡点的北偏东方向的处发生火灾，防火员从卡点去火灾处救援有两种方案，方案1：防火员立即骑车沿正东方向行驶800米到达离点最近的处再跑步到点救援；方案2：防火员从卡点直接跑步前往处救援．若防火员的跑步速度为，骑车的速度为．（参考数据：，，，，，）
(1)的长为__________米（结果保留整数）；
(2)防火员必须在两个方案中选择一个，请问选择哪个方案更合理，请通过计算说明理由．
【变式10-2】（2024·甘肃天水·模拟预测）苦水高高跷是甘肃省兰州市永登县传统民俗文化之一，起源于元末明初，至今已有700余年的历史，也是国家非物质文化遗产之一．如图1，表演者穿着传统戏剧服饰，画上秦腔剧目中的人物脸谱，手持道具，凌空飞舞，被业内人士称为行走的“空中戏剧”．2024年春节，永登县连城镇牛站村社火团队表演了醉关公．某校综合实践研究小组开展了“测量高跷关公腿多长”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，某人垂直踩在地面上，在地面上选取A，B两处分别测得和的度数（A，D，B在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为，，．
解决问题：求高跷关公腿高度．
根据上述方案及数据，完成求解过程．（结果精确到0.1米．参考数据，，，，，．
【变式10-3】（2024·甘肃·模拟预测）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题．
课题 探究物理实验装置中的几何测量问题
成员 组长：xxx 组员：xxx，xxx，xxx
实验工具 测角仪，皮尺，摄像机等
方案设计 方案一 方案二
测量方案 示意图 （已知） （已知）
说明 点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到达水平面的位置，点C为木块的位置．
测量数据 米，， ． 米，， ．
请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离.（结果精确到0.1米，参考数据）
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