专题2.5 实际问题与二次函数【十大题型】
【北师大版】
【题型1 销售问题】 1
【题型2 行程问题】 2
【题型3 拱桥问题】 5
【题型4 喷水问题】 7
【题型5 增长率问题】 9
【题型6 投球问题】 11
【题型7 隧道问题】 13
【题型8 实物模型问题】 15
【题型9 图形问题】 18
【题型10 动点问题】 20
【题型1 销售问题】
【例1】（23-24·湖北武汉·模拟预测）年秋，奥密克戎病毒肆虐，许多人被封控在家不能外出，网店速度发展起来，杰达网店销售的消毒液很畅销，已知消毒液成本为每瓶元，调查发现，每天的销售量是销售单价（元）（其中）的一次函数，部分数据整理如下表：
销售单价元
销售量
(1)请直接写出与之间的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)疫情期间，杰达网店老板决定每买一瓶消毒液就捐赠元后，每天的最大利润为元，求的值．
【变式1-1】（23-24九年级·山东滨州·阶段练习）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系：当时，；当时，．
(1)若该公司获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数解析式；
(2)若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？
【变式1-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：
信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示．
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系．根据以上信息，解答下列问题；
(1)求二次函数的表达式；
(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？
【变式1-3】（23-24九年级·浙江金华·期末）“一结千年意蕴丰，相看时对吉祥红”，“中国结”是深受国人喜爱的节庆装饰物。某款“中国结”成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)如果规定每天该款“中国结”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润w最大，最大利润是多少？
【题型2 行程问题】
【例2】（23-24·浙江杭州·一模）如图，小车从点A出发，沿与水平面成角光滑斜坡下滑，在下滑过程中小车速度逐渐增加，设小车出发点A离水平地面的高度为h，小车从点A滑行到最低点B所用的时间为t（秒），小车滑行到点B时的速度为v（厘米/秒）．速度v与时间t满足关系：，高度h与时间t满足关系：（，g是常数），当小车出发点小车出发点A离水平地面的高度为20（厘米）时，小车从点A滑到最低点B需要2秒．
(1)当小车出发点A离水平地面的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要几秒钟？此时小车到达B点时的速度是多少？
(2)小车继续在粗糙的水平地面上滑行，设滑行的距离为s（厘米），小车从斜坡滑行到点B时速度为v（厘米/秒），小车在水平地面上滑行的时间为T（秒），若s与v，T之间满足以下关系：（，a是常数），当（厘米/秒）时，（厘米），（秒）．如果把小车出发点A离水平地面的距离h提高到125厘米，那么当滑行到时间秒时，小车在水平地面上滑行的距离为多少？
【变式2-1】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场地面积雪厚达，整个赛道长，全天共可容纳约3300人滑雪嬉戏．小明和小华相约去体验滑雪，小明从赛道顶端A处下滑，测得小明离A处的距离s（单位：m）随运动时间x（单位：s）变化的数据，整理得下表．
滑行时间x/s 0 1 2 3 4
滑行距离s/m 0 6 14 24 36
经验证小明离A处的距离s与运动时间x之间是二次函数关系．
小明出发的同时，小华在距赛道终点的B处操控一个无人机沿着赛道方向以的速度飞向小明，无人机离A处的距离y（单位：m）与运动时间x（单位：s）之间是一次函数关系．
(1)直接写出s关于x的函数解析式和y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)小明滑完整个赛道需要耗时多久？
(3)小明出发多久后与无人机相遇？
【变式2-2】（23-24·安徽宿州·二模）赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．
(1)求出的值，并写出启航阶段自变量的取值范围；
(2)已知途中阶段龙舟速度为，当时，求该龙舟划行的总路程；
(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时将速度从提高到，之后保持匀速划行至终点，求该龙舟队完成训练总路程所需时间．
【变式2-3】（23-24·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表：
滑行时间 0 1 2 3 4
滑行速度 60 57 54 51 48
已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度．
(1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围；
(2)求飞机滑行的最远距离；
(3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度；
(4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？
【题型3 拱桥问题】
【例3】（23-24九年级·云南昆明·期中）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，水面的宽是
(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)在正常水位时，有一艘宽、高的小船，它能通过这座桥吗？
(3)现有一艘以每小时的速度向此桥径直驶来，当船距此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨,当水位在处时，将禁止船只通行．如果该船按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？
【变式3-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，AB宽20 m，水位上升到警戒线CD时，CD到拱桥顶E的距离仅为1 m，这时水面宽度为10 m.
(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；
(2)若洪水到来时，水位以每小时0.3 m的速度上升，从正常水位开始，持续多少小时到达警戒线？
【变式3-2】（23-24九年级·浙江台州·期末）根据以下素材，探索完成任务：
探究步骤 素材 任务
确定拱桥形状 如图1是某市一抛物线型拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽8m，拱顶离水面4m； 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式
应用知识解答 由于受暴雨天气影响，水位正以0.2米/时的速度持续上涨，一货船载货后高于水面部分的截面为长方形，宽为6m，顶部离水面1.5m，从距离拱桥120千米的码头出发，以 40千米/时的速度行驶经过拱桥； 请通过计算说明该货船不能通过该抛物线型拱桥；
拟定设计方案 为了能让货船通过拱桥，船长决定先在码头调整货物摆放(保持高于水面部分的截面面积不变)，但在码头调整物资需42分钟． 直接写出一种调整后能通过拱桥的截面宽＿m与高＿m．
【变式3-3】（23-24·辽宁大连·一模）【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布置为180+460+180=820m．
如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中．
【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系
【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题．
【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）．
(1)请直接写出以下问题的答案：
①右侧悬索最高点B的坐标；
②y与x的函数解析式；
③最长的吊杆的长度；
(2)某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟；
(3)如图3，灯光秀中一个射灯光源C（，），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上
【题型4 喷水问题】
【例4】（23-24九年级·河北邢台·期末）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图．
(1)喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处．
①以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，求出抛物线的解析式；
②求喷灌器底端O到点B的距离；
(2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求h的取值范围．
【变式4-1】（23-24九年级·浙江台州·期末）大自然中有一种神奇的鱼一射水鱼，它能以极快的速度从口中射出拋物线形水柱击落昆虫来捕食，如图1，已知水柱的解析式为，水柱的最大高度为．
(1)当射水鱼在原点处时，求水柱的解析式；
(2)如图2，昆虫在处停留，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点出发．
①射水鱼需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？
②昆虫发现原点处的射水鱼后立即以的速度水平向右逃离，同时射水鱼以的速度水平向右追赶，经过多少时间，射水鱼恰好能击中昆虫？
【变式4-2】（23-24九年级·河南洛阳·期末）在一次学校组织的社会实践活动中，小洛看到农田里安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线（如图1），他发现这种喷枪射程是可调节的，且在一定的调节范围内喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一组相关数据，通过研究发现，以地面为轴，以喷枪所在直线为轴，建立平面直角坐标系（如图2所示），设水流的最高点到地面的距离为，水流的最高点与喷枪的水平距离为，且满足．
请解答下列问题：
(1)该喷枪的出水口到地面的距离为______m；
(2)当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，求水流的最高点到地面的距离；
(3)在（2）的条件下，请计算水流的射程约为多少米（精确到，参考数据）．
【变式4-3】（23-24九年级·湖北武汉·期末）中山公园的人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出的水柱形状可看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一点的位置与水管的水平距离为x米，与湖面的垂直高度为y米，表中记录了x与y的五组数据：
x（米） 0 1 2 3 4
y（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5
(1)根据表中所给数据，在图1建立的平面直角坐标系中画出表示y与x函数关系的图象：
(2)求y与x的函数表达式；
(3)公园准备调节水管露出湖面的高度，使游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船以抛物线的对称轴为中轴线从水柱下方通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，己知游船顶棚宽度2米，顶棚到湖面的高度为1.8米，请计算分析水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？
【题型5 增长率问题】
【例5】（23-24九年级·江苏无锡·期中）在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实现低碳生活成为人们的共识，某企业采用技术革新，节能减排，经分析前5个月二氧化碳排放量y(吨)与月份x(月)之间的函数关系是y=－2x+50．
（1）随着二氧化碳排放量的减少，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得的利润p(万元)与月份x(月)的函数关系如图所示，那么哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元？
（2）受国家政策的鼓励，该企业决定从6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%，要使今年6、7月份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍，求a的值（精确到个位）．
（参考数据：=7.14，=7.21，=7.28，=7.35）
【变式5-1】（23-24九年级·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率．
【变式5-2】（23-24九年级·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．
(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
【变式5-3】（23-24·重庆沙坪坝·一模）我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元．
（1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？
（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值．
【题型6 投球问题】
【例6】（23-24·浙江嘉兴·一模）小嘉同学经常运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：；若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系：，且当羽毛球的水平距离为2m时，飞行高度为2m．
(1)求a，b的值．
(2)小嘉经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度．并通过计算判断如果选择吊球的方式能否使球过网．
(3)通过对本次训练进行分析，若击球高度下降0.3m，则在吊球路线的形状保持不变的情况下，直接写出他应该向正前方移动______米吊球，才能让羽毛球刚好落在点C正上方0.4m处．
【变式6-1】（23-24九年级·北京海淀·开学考试）鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与地高度h的鹰眼数据如表：
0 9 12 15 18 21 …
0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …
(1)根据表中数据可得，当 m时，h达到最大值 m；
(2)求h关于s的函数解析式；
(3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为防守成功．若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
【变式6-2】（23-24九年级·河南驻马店·阶段练习）校园篮球赛中，小磊跳起投篮，已知球出手时离地面高2米，与篮圈中心的水平距离为6米，篮圈中心距离地面3米．当球出手后水平距离为4米时达到最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线．
(1)按如图所建立的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．
(2)通过计算说明，小磊本次投球能否命中篮圈中心．
(3)如果出手的角度和力度均不变，通过计算说明小磊应向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？
【变式6-3】（23-24九年级·河北邯郸·阶段练习）嘉嘉和淇淇在玩排球．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，嘉嘉站在点O处练习发球（球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线），将球从点O正上方的点B处发出．球出手后的运动路径为抛物线，抛物线的最高点C到y轴的距离为，竖直高度比出手点B高出1m．已知，排球场的边界点A到点O的水平距离，球网高度，且．
(1)当时，排球能否越过球网？请说明理由；
(2)若嘉嘉调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为，球落地后立即向右弹起，形成另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1m，球场外有一个吉祥物玩偶MN高．排球向右反弹后沿的路径运动，若在下落的过程中，正好砸中玩偶的头部点M，求玩偶所处的位置点N与点A的距离．
【题型7 隧道问题】
【例7】（23-24九年级·山东青岛·专题练习）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A．D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
【变式7-1】（23-24九年级·河南洛阳·期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为6m，宽为4m，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为5米．
(1)求出抛物线的解析式．
(2)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高4.5米，宽3米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
【变式7-2】（23-24·河南·三模）高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为10米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为8米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？
【变式7-3】（23-24·安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．
【题型8 实物模型问题】
【例8】（23-24·浙江绍兴·一模）某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯(如图1)，相关信息如下：
素材
内容
素材1
高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素材2
图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段，抛物线(实线部分)，线段，线段绕轴旋转形成的立体图形(不考虑杯子厚度，下同)． 图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段，抛物线(虚线部分)绕轴旋转形成的立体图形．
素材3
已知，图2坐标系中，，记为，．
根据以上素材内容，丵试求解以下问题：
(1)求抛物线和抛物线的解析式；
(2)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？(结果保留)
(3)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中流体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体最深度为多少？
【变式8-1】（23-24·陕西榆林·三模）如图①为某景区一长廊，该长廊顶部的截面可近似看作抛物线型，其跨度为，长廊顶部的最高点与地面的距离为，两侧的柱子均垂直于地面，且高度为，线段表示水平地面，建立如图②所示的平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)为了夜间美观，景区工作人员计划分别在距离，两端水平距离为处的抛物线型长廊顶部各悬挂一盏灯笼，且灯笼底部要保持离地面至少的安全距离，现市面上有一款长度为的小灯笼，试通过计算说明该款灯笼是否符合要求（忽略悬挂处长度）．
【变式8-2】（23-24九年级·全国·专题练习）电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，在个斜坡上按水平距离间隔米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为米（米），以过点的水平线为轴，水平线与电缆的另一个交点为原建立平面直角坐标系，如图所示经测量，米，斜坡高度米（即 、 两点的铅直高度差）．结合上面信息，回答问题：
(1)若以米为一个单位长度，则点坐标为
(2)求出下垂电缆的抛物线表达式
(3)若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于 米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线 轴分别交直线 和抛物线于点 、．点距离坡面的铅直高度为的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．
【变式8-3】（23-24九年级·山西·专题练习）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为米，且点离地面的高度为米．
数学建模
（1）在图中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式；
问题解决
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，于点．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为米．
点的坐标为______，的长为______；
请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到米．参考数据：）
【题型9 图形问题】
【例9】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米．
(1)设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求关于的函数关系式，直接写出自变量的取值范围；
(2)当为何值时，所围矩形苗圃的面积为．
【变式9-1】（23-24九年级·江苏镇江·期中）用长为米的铝合金条制成如图窗框，已知矩形，矩形，矩形的面积均相等，设的长为米．
(1)则 ；
(2)若不计铝合金条的厚度，窗框透光面积为平方米，求的值；
(3)窗框透光面积的最大值为 ．
【变式9-2】（23-24九年级·四川达州·阶段练习）如图，在一边长为的正方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
(1)要使折成的长方体盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？
(2)折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪去的小正方形的边长；如果没有，请说明理由．
【变式9-3】（23-24九年级·浙江温州·期中）根据素材回答问题：
素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，，且与的距离为10米，与的距离为8米．
素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计．
任务1 任务2
小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）． 若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．
项目反思 如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．
【题型10 动点问题】
【例10】（23-24九年级·吉林白城·期末）如图，在中，，．动点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿方向以的速度向终点A运动．以为一边向上作正方形，过点Q作，交于点F．设点P的运动时间为，正方形和重叠部分图形的面积为．
(1)当点D落在上时，x的值为______．
(2)当点D落在上时，求x的值．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【变式10-1】（23-24九年级·广东江门·期中）一块三角形废料如图所示，，，．用这块废料剪出一个平行四边形，其中，点G，E，F分别在边，，上．设
(1)求时，平行四边形的周长．
(2)当x为何值时，平行四边形的面积最大？最大面积是多少？
【变式10-2】（23-24九年级·重庆忠县·期末）如图，在菱形中，，，动点均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线方向运动，点Q沿折线方向运动，当两动点相遇时停止运动，设运动时间为x秒，以线段为边长的正方形面积为y．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围．
【变式10-3】（23-24九年级·辽宁大连·阶段练习）与是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，、分别是直角边、的中点．位置固定，按如图叠放，使斜边在直线上，顶点与点M重合．等腰直角以1厘米/秒的速度沿直线向右平移，直到点与点N重合．设x秒时，与重叠部分面积为y平方厘米．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当与重叠部分面积为平方厘米时，求移动的时间.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题2.5 实际问题与二次函数【十大题型】
【北师大版】
【题型1 销售问题】 1
【题型2 行程问题】 6
【题型3 拱桥问题】 12
【题型4 喷水问题】 21
【题型5 增长率问题】 28
【题型6 投球问题】 32
【题型7 隧道问题】 39
【题型8 实物模型问题】 45
【题型9 图形问题】 53
【题型10 动点问题】 59
【题型1 销售问题】
【例1】（23-24·湖北武汉·模拟预测）年秋，奥密克戎病毒肆虐，许多人被封控在家不能外出，网店速度发展起来，杰达网店销售的消毒液很畅销，已知消毒液成本为每瓶元，调查发现，每天的销售量是销售单价（元）（其中）的一次函数，部分数据整理如下表：
销售单价元
销售量
(1)请直接写出与之间的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)疫情期间，杰达网店老板决定每买一瓶消毒液就捐赠元后，每天的最大利润为元，求的值．
【答案】(1)
(2)当售价为元时，每天的销售利润最大，最大值为元
(3)
【分析】（1）根据题意，待定系数法求解析式即可；
（2）表示出与的函数关系式，根据二次函数的性质即可确定每天销售利润最大时的销售单价，进一步求出最大利润即可；
（3）表示出与的函数关系式，根据二次函数的性质即可确定每天销售利润最大时的销售单价，根据最大利润为元列方程，求解即可．
【详解】（1）解：设为常数，
将，和，代入，
得，
解得，
；
（2）
，
，
当时，取得最大值，最大值为元，
当售价为元时，每天的销售利润最大，最大值为元；
（3）
，
，且，
当时，取得最大值，
根据题意，得，
解得．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意并根据题意求出函数关系式是解题的关键．
【变式1-1】（23-24九年级·山东滨州·阶段练习）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系：当时，；当时，．
(1)若该公司获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数解析式；
(2)若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？
【答案】(1)
(2)当销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润是元
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）根据利润=销售量×（销售单价-成本）得到与之间的函数关系式，
（2）利用二次函数的性质结合已知条件求解即可．
【详解】（1）解：设销售量y（个）与销售单价x（元）一次函数关系为，
当时，；当时，．
，解得
，
∴
，
（2）解：，
，抛物线开口向下，在的左侧，随的增大而增大，
时，有最大值，最大值为元．
答：当销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润是元．
【变式1-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：
信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示．
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系．根据以上信息，解答下列问题；
(1)求二次函数的表达式；
(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？
【答案】(1)
(2)购进A产品6吨，B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润为6.6万元
【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际情况构建二次函数的解析式是解题的关键．
（1）将代入，解方程组求出a、b的值即可得二次函数解析式．
（2）建立销售A、B两种产品获得的利润之和与购进A产品数量之间的函数关系式，应用二次函数的最值求解即可．
【详解】（1）解：（1）由图象可知：抛物线过原点，设函数解析式为，
将代入，得
，解得
∴二次函数解析式为．
（2）设购进A产品m吨，购进B产品吨，销售A，B两种产品获得的利润之和为W万元．则
∵，
∴当时，W有最大值6.6．
∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．
【变式1-3】（23-24九年级·浙江金华·期末）“一结千年意蕴丰，相看时对吉祥红”，“中国结”是深受国人喜爱的节庆装饰物。某款“中国结”成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)如果规定每天该款“中国结”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润w最大，最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元
【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确列出函数关系式．
（1）结合已知的图象，用待定系数法可得与之间的函数关系式为；
（2）由每天“中国结”的销售量不低于240件，可得，设每天获取的利润为元，可得：，由二次函数性质即得当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
将，代入得：
，
解得，
；
（2）每天“中国结”的销售量不低于240件，
，
解得，
设每天获取的利润为元，
根据题意得：，
，抛物线对称轴是直线，
时，取最大值，最大值是（元，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．
【题型2 行程问题】
【例2】（23-24·浙江杭州·一模）如图，小车从点A出发，沿与水平面成角光滑斜坡下滑，在下滑过程中小车速度逐渐增加，设小车出发点A离水平地面的高度为h，小车从点A滑行到最低点B所用的时间为t（秒），小车滑行到点B时的速度为v（厘米/秒）．速度v与时间t满足关系：，高度h与时间t满足关系：（，g是常数），当小车出发点小车出发点A离水平地面的高度为20（厘米）时，小车从点A滑到最低点B需要2秒．
(1)当小车出发点A离水平地面的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要几秒钟？此时小车到达B点时的速度是多少？
(2)小车继续在粗糙的水平地面上滑行，设滑行的距离为s（厘米），小车从斜坡滑行到点B时速度为v（厘米/秒），小车在水平地面上滑行的时间为T（秒），若s与v，T之间满足以下关系：（，a是常数），当（厘米/秒）时，（厘米），（秒）．如果把小车出发点A离水平地面的距离h提高到125厘米，那么当滑行到时间秒时，小车在水平地面上滑行的距离为多少？
【答案】(1)当小车出发点A离水平地面的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要3秒钟，此时小车到达B点时的速度是30厘米/秒
(2)小车在水平地面上滑行的距离为
【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，准确求出函数解析式是解题关键．
（1）先根据已知条件求出g的值，求出高度h与时间t的函数解析式，再把代入解析式求出t，再把t的值代入求出速度v；
（2）先把代入求出a的值，再根据h求出t，再求出v，然后求出s即可．
【详解】（1）解：当时，，
解得，
；
∴当时，，
解得或（舍去），
此时，
答：当小车出发点A离水平地面BE的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要3秒钟，此时小车到达B点时的速度是30厘米/秒；
（2）把代入，
则，
解得，
，
当时，，
解得或（舍去），
∴，
∴．
答：小车在水平地面BE上滑行的距离为．
【变式2-1】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场地面积雪厚达，整个赛道长，全天共可容纳约3300人滑雪嬉戏．小明和小华相约去体验滑雪，小明从赛道顶端A处下滑，测得小明离A处的距离s（单位：m）随运动时间x（单位：s）变化的数据，整理得下表．
滑行时间x/s 0 1 2 3 4
滑行距离s/m 0 6 14 24 36
经验证小明离A处的距离s与运动时间x之间是二次函数关系．
小明出发的同时，小华在距赛道终点的B处操控一个无人机沿着赛道方向以的速度飞向小明，无人机离A处的距离y（单位：m）与运动时间x（单位：s）之间是一次函数关系．
(1)直接写出s关于x的函数解析式和y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)小明滑完整个赛道需要耗时多久？
(3)小明出发多久后与无人机相遇？
【答案】(1)，；
(2)小明滑完整个赛道需要耗时；
(3)小明出发与无人机相遇．
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
（1）设关于的函数解析式为，用待定系数法可得；根据题意得，
（2）在中，令可解得小明滑完整个赛道需要耗时；
（3）由可解得小明出发与无人机相遇．
【详解】（1）解：设关于的函数解析式为，
将，，代入得：
，
解得，
；
根据题意得，
关于的函数解析式为，关于的函数解析式为；
（2）解：在中，令得：
，
解得或（舍去），
小明滑完整个赛道需要耗时；
（3）解：由得：或，
小明出发与无人机相遇．
【变式2-2】（23-24·安徽宿州·二模）赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．
(1)求出的值，并写出启航阶段自变量的取值范围；
(2)已知途中阶段龙舟速度为，当时，求该龙舟划行的总路程；
(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时将速度从提高到，之后保持匀速划行至终点，求该龙舟队完成训练总路程所需时间．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键．
（1）把代入 得出的值，则可得出答案；
（2）设，把代入，得出，求得，当时，求出，则可得出答案；
（3）由（1）可知，把代入，求得．求出，则可得出答案．
【详解】（1）解：把代入，得，解得，
启航阶段总路程关于时间的函数表达式为；
（2）解：设，把代入，得，解得，
．
当时，．
当时，该龙舟划行的总路程为；
（3）解：由（1）可知，把代入，得．
函数表达式为，
把代入，解得．
，
．
答：该龙舟队完成训练总程所需时间为．
【变式2-3】（23-24·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表：
滑行时间 0 1 2 3 4
滑行速度 60 57 54 51 48
已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度．
(1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围；
(2)求飞机滑行的最远距离；
(3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度；
(4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？
【答案】(1)
(2)飞机滑行的最远距离为
(3)此时飞机的滑行速度是
(4)飞机滑行过程中没有碰撞通勤车的危险
【分析】本题考查待定系数法确定函数解析式，求函数值、求自变量值；理解函数与方程的联系是解题的关键．
（1）设y关于t的函数解析式为，利用待定系数法求解，令，即可求出t的取值范围即可；
（2）根据滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，代入数值计算即可求解；
（3）根据行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，即，建立关于t的一元二次方程即可求解；
（4）设飞机滑行的距离为，求出飞机滑行的距离与时间t的关系式，由飞机滑行的时间内，根据通勤车与飞机之间的距离，建立关于t的方程，在飞机滑行的时间内，看飞机能否追上通勤车即可得出结论．
【详解】（1）解：设y关于t的函数解析式为，
将代入，得：，
解得：，
y关于t的函数解析式为，
当时，则，
解得，
y关于t的函数解析式；
（2）解：根据题意：飞机滑行的最远距离为，
答：飞机滑行的最远距离为；
（3）解：，，
，即，
解得：或（舍去），
答：此时飞机的滑行速度是；
（4）解：设飞机滑行的距离为，
则飞机滑行的距离与时间t的关系式为：，
通勤车与飞机之间的距离为：，
令通勤车与飞机之间的距离0，则，即，
，
方程无解，
在飞机滑行的时间内，飞机不会撞上通勤车，
飞机滑行过程中没有碰撞通勤车的危险．
【题型3 拱桥问题】
【例3】（23-24九年级·云南昆明·期中）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，水面的宽是
(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)在正常水位时，有一艘宽、高的小船，它能通过这座桥吗？
(3)现有一艘以每小时的速度向此桥径直驶来，当船距此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨,当水位在处时，将禁止船只通行．如果该船按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？
【答案】(1)
(2)在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥
(3)该船按原来的速度行驶，能安全通过此桥
【分析】（1）设抛物线的解析式为（a不等于0），桥拱最高点O到水面的距离为h米．则，代入抛物线的解析式解方程组即可．
（2）当时，，因为，所以在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
（3）求出船到桥是时间，再求出水位上升的高度即可判断．
【详解】（1）设抛物线的解析式为（a不等于0），桥拱最高点O到水面的距离为h米．
由题意得，，
代入，得：
解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）当时，，
∵
∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
答：在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
（3）船行驶的时间小时．，
∴该船按原来的速度行驶，能安全通过此桥、
【点睛】本题考查二次函数的实际应用、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是学会利用待定系数法构建二次函数，学会利用二次函数的性质解决实际问题．
【变式3-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，AB宽20 m，水位上升到警戒线CD时，CD到拱桥顶E的距离仅为1 m，这时水面宽度为10 m.
(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；
(2)若洪水到来时，水位以每小时0.3 m的速度上升，从正常水位开始，持续多少小时到达警戒线？
【答案】（1）y=-x2（2）从正常水位开始，持续10小时到达警戒线
【分析】（1）首先设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0），再根据题意得到C（-5，-1），利用待定系数法即可得到抛物线解析式；
（2）根据抛物线解析式计算出A点坐标，进而得到F点坐标，然后计算出EF的长，再算出持续时间即可．
【详解】解：（1）设所求抛物线的解析式为y＝ax2.
∵CD＝10 m，CD到拱桥顶E的距离仅为1 m，
∴C(－5，－1)．
把点C的坐标代入y＝ax2，
得a＝－，
故抛物线的解析式为y＝－x2.
（2）∵AB宽20 m，
∴可设A(－10，b)．
把点A的坐标代入抛物线的解析式y＝－x2中，
解得b＝－4，
∴点A的坐标为(－10，－4)．
设AB与y轴交于点F，则F(0，－4)，
∴EF＝3 m.
∵水位以每小时0.3 m的速度上升，
∴3÷0.3＝10(时)．
答：从正常水位开始，持续10小时到达警戒线．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确得到C点坐标，求出抛物线解析式．
【变式3-2】（23-24九年级·浙江台州·期末）根据以下素材，探索完成任务：
探究步骤 素材 任务
确定拱桥形状 如图1是某市一抛物线型拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽8m，拱顶离水面4m； 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式
应用知识解答 由于受暴雨天气影响，水位正以0.2米/时的速度持续上涨，一货船载货后高于水面部分的截面为长方形，宽为6m，顶部离水面1.5m，从距离拱桥120千米的码头出发，以 40千米/时的速度行驶经过拱桥； 请通过计算说明该货船不能通过该抛物线型拱桥；
拟定设计方案 为了能让货船通过拱桥，船长决定先在码头调整货物摆放(保持高于水面部分的截面面积不变)，但在码头调整物资需42分钟． 直接写出一种调整后能通过拱桥的截面宽＿m与高＿m．
【答案】确定拱桥形状：；应用知识解答：见解析；拟定设计方案：调整后能通过拱桥的截面宽m与高m
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，用待定系数法求二次函数解析式即可，利用二次函数图象和性质即可求解.
【详解】（确定拱桥形状：）
解：如图所示，建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式为：，
由题图可知，抛物线经过，
则，解得，
抛物线的函数表达式为：.
（应用知识解答：）
解：根据题意如图，
由题意可知，货船从码头出发到拱桥时间为：（小时），
则由题意可知，水位上涨：（米），
即货船顶点离水面为：（米），
由货船宽米，由图可知：当时，，即
，
该货船不能通过该抛物线型拱桥.
（拟定设计方案：）
解：根据题意如图，
由题意可知，货船在码头调整货物和从码头到拱桥时间为：（小时），
则由题意可知，水位上涨：（米），
货船保持高于水面部分的截面面积不变，原来横截面面积（平方米）
调整后货船横截面的宽为4米，货船顶部离水面2.25米，横截面面积保持不变；
则货船从码头到达桥拱时，货船顶点离水面为：（米），
由货船宽米，由图可知：当时，，即
，
该货船能通过该抛物线型拱桥.则调整后能通过拱桥的截面宽m与高m．
【变式3-3】（23-24·辽宁大连·一模）【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布置为180+460+180=820m．
如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中．
【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系
【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题．
【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）．
(1)请直接写出以下问题的答案：
①右侧悬索最高点B的坐标；
②y与x的函数解析式；
③最长的吊杆的长度；
(2)某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟；
(3)如图3，灯光秀中一个射灯光源C（，），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上
【答案】(1)①；②；③63m
(2)不超过6分钟
(3)光源应放在和之间
【分析】（1）①作轴于D点，由题意得，根据求出S的值，即可得的长，由此可得B点的坐标；
②设，将B点坐标代入，求出a的值，即可得抛物线的表达式；
③设最长的吊杆为，由题意得，代入表达式中求出y的值，即可得的长，即吊杆的长．
（2）作轴，交抛物线于M、N两点，则，求出M、N两点的横坐标，进而可得的长，再求出游客在悬索上方能看到彩车的时间，即可判断结果．
（3）设光源放在G点时，光线与悬索只有一个交点，先求出直线的表达式为，由可知直线与直线的k相同，设直线的表达式为，联立抛物线和直线的表达式可得，由，求出m的值为，由此可得直线的表达式为，求出G点的坐标即可得到答案．
【详解】（1）①如图，作轴于D点，
由题意得，
，
，
，
，
∴点B的坐标为；
②设，
把代入得，
解得，
∴y与x的函数解析式为：；
③如图，设最长的吊杆为EF，
∵吊杆间距10m，
∴，
，
由得，时，，
，
∴最长的吊杆的长度约为63m．
（2）如图，作轴，交抛物线于M、N两点，
由题意知，代入抛物线解析式得，
解得，，
，，
，
∴游客在悬索上方能看到彩车的时间为：，
∴游客在悬索上方能看到彩车的时间不超过6分钟．
（3）
设光源放在G点时，光线与悬索只有一个交点，
设直线的表达式为，则
，
解得，
∴直线的表达式为：．
，
∴直线与直线的k相同，
设直线的表达式为，
联立，
得，
整理得，
∵直线与抛物线只有一个交点，
，
解得，
∴直线的表达式为．
当时，，
解得，
∴，
∴光源应放在和之间，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，建立适当的坐标系，求出解析式，熟练掌握求二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键．
【题型4 喷水问题】
【例4】（23-24九年级·河北邢台·期末）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图．
(1)喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处．
①以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，求出抛物线的解析式；
②求喷灌器底端O到点B的距离；
(2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求h的取值范围．
【答案】(1)①图见解析，；②
(2)
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，结合实际理清题中的数量关系是解题的关键．
（1）①建立平面直角坐标系，用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；
②令，求得方程的解，舍去不符合实际情况的值即可；
（2）由题意可得，，分别代入，求出的最小值和最大值，再令，求得的最小值和最大值，即可得出答案．
【详解】（1）①以点O为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为
把代入得
解得：
抛物线的表达式为；
②令，得，
解得：，（舍去）
喷灌器底端O到点B的距离；
（2）如图所示：
，
，
设
把代入得
解得：
当时，
设，
把代入得
解得：
当时，
使水柱落在花坛的上方边上，的取值范围为．
【变式4-1】（23-24九年级·浙江台州·期末）大自然中有一种神奇的鱼一射水鱼，它能以极快的速度从口中射出拋物线形水柱击落昆虫来捕食，如图1，已知水柱的解析式为，水柱的最大高度为．
(1)当射水鱼在原点处时，求水柱的解析式；
(2)如图2，昆虫在处停留，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点出发．
①射水鱼需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？
②昆虫发现原点处的射水鱼后立即以的速度水平向右逃离，同时射水鱼以的速度水平向右追赶，经过多少时间，射水鱼恰好能击中昆虫？
【答案】(1)
(2)①射水鱼需要向右游动才能击中昆虫；②经过射水鱼恰好能击中昆虫
【分析】本题考查了二次函数的应用喷水问题：
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）①令，求出x的值，再进行判断即可；②根据“时间=路程÷速度”求解即可
【详解】（1）解：水柱的最大高度为，
，
射水鱼在原点处，
将代入8，得，
解得或（舍去），
水柱的解析式为
（2）解：①令，得，
解得或，
，
，
射水鱼需要向右游动才能击中昆虫．
②由题意得，，
经过射水鱼恰好能击中昆虫．
【变式4-2】（23-24九年级·河南洛阳·期末）在一次学校组织的社会实践活动中，小洛看到农田里安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线（如图1），他发现这种喷枪射程是可调节的，且在一定的调节范围内喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一组相关数据，通过研究发现，以地面为轴，以喷枪所在直线为轴，建立平面直角坐标系（如图2所示），设水流的最高点到地面的距离为，水流的最高点与喷枪的水平距离为，且满足．
请解答下列问题：
(1)该喷枪的出水口到地面的距离为______m；
(2)当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，求水流的最高点到地面的距离；
(3)在（2）的条件下，请计算水流的射程约为多少米（精确到，参考数据）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用：
（1）将代入即可求解；
（2）将代入即可求解；
（3）根据（2）中结论设出抛物线的顶点式为，将代入求出a的值，再令，求出对应的x的值即可．
【详解】（1）解：将代入，得，
即该喷枪的出水口到地面的距离为，
故答案为：；
（2）解：将代入，得，
即水流的最高点到地面的距离为；
（3）解：由（2）知，水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为，
此时抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
解得，
，
当时，，
解得，（负值舍去），
水流的射程约为．
【变式4-3】（23-24九年级·湖北武汉·期末）中山公园的人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出的水柱形状可看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一点的位置与水管的水平距离为x米，与湖面的垂直高度为y米，表中记录了x与y的五组数据：
x（米） 0 1 2 3 4
y（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5
(1)根据表中所给数据，在图1建立的平面直角坐标系中画出表示y与x函数关系的图象：
(2)求y与x的函数表达式；
(3)公园准备调节水管露出湖面的高度，使游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船以抛物线的对称轴为中轴线从水柱下方通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，己知游船顶棚宽度2米，顶棚到湖面的高度为1.8米，请计算分析水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？
【答案】(1)见解析
(2)
(3)公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约1.55米才能符合要求．
【分析】
本题主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移．
（1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；
（2）设函数表达式为，先由图得到函数顶点为，再将代入计算即可；
（3）根据二次函数图象解析式设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
【详解】（1）
以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，
如图所示：
（2）
由上图可得函数图象顶点为，
根据图象可设二次函数的解析式为：，
将代入，
解得，
抛物线的解析式为：；
（3）
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
由题意可知，当横坐标为时时，纵坐标的值不小于，
，
解得，
水管高度至少向上调节1.05米，
（米，
公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约1.55米才能符合要求．
【题型5 增长率问题】
【例5】（23-24九年级·江苏无锡·期中）在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实现低碳生活成为人们的共识，某企业采用技术革新，节能减排，经分析前5个月二氧化碳排放量y(吨)与月份x(月)之间的函数关系是y=－2x+50．
（1）随着二氧化碳排放量的减少，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得的利润p(万元)与月份x(月)的函数关系如图所示，那么哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元？
（2）受国家政策的鼓励，该企业决定从6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%，要使今年6、7月份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍，求a的值（精确到个位）．
（参考数据：=7.14，=7.21，=7.28，=7.35）
【答案】(1)4000万；(2)a=13
【详解】试题分析：（1）根据图象可以知道利润p（万元）与月份x是一次函数关系，并且随着月份的增加利润也增加，首先根据图象确定利润p与x的函数关系，然后利用函数的增减性即可确定今年哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元；
（2）由于该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%．
试题解析：（1）根据图象知道当x=1，p=80，
当x=4，p=95，
设p=kx+b，
∴ ，解得，
∴p=5x+75；根据k＞0，y随x增大而增大，
∴当x=5时，p最大，p=5×5+75=100万元；
∴5月份的利润是：100万×40=4000万元；
（2）（2）∵该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，
而当x=5时，y=40，
∴6月份的二氧化碳排放量为40（1-a%），
7月份的二氧化碳排放量为40（1-a%）2，
5月份的利润为4000万元，
∴6月份的利润为100（1+50%）×40（1-a%），
7月份的利润为100（1+50%）×（1+50%）×40（1-a%）2，
∴100（1+50%）×40（1-a%）+100（1+50%）×（1+50%）×40（1-a%）2=3×4000，
∴a=13．
考点：二次函数的应用.
【变式5-1】（23-24九年级·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价 每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式；
（2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）
∴依题意得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴每次降价的百分率为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【变式5-2】（23-24九年级·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．
(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
【答案】(1)
(2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元
【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可；
②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可．
【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得
，
解得： ， (不符合题意，舍去)，
∴，
答： 第二、三天的日平均增长率为10%．
（2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得
，
解得：，，
∵要使顾客得到实惠，
∴，
答：每件应张价5元；
②设每件涨价应为z元，根据题意，得
，
解得：，
∴，
答：每件涨价应为8元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【变式5-3】（23-24·重庆沙坪坝·一模）我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元．
（1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？
（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值．
【答案】（1）80；（2）20．
【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可；
（2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2月的增长率，列式计算即可得到答案．
【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知：
把①×200得
用②-③得：，解得
把代入①中，解得
故入住A房间的有80间．
（2）由题意得：
下调后A房间的房价=，B房间的房价=
由题目已知条件和（1）中计算的结果知：
下调后A房间的入住间数=，B房间的入住间数=
故三月份的总收入=
又∵三月份比二月份总营业收入增加了
∴
即
解得：，（舍去）
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键在于能够根据已知条件找到等量关系进行列式计算．
【题型6 投球问题】
【例6】（23-24·浙江嘉兴·一模）小嘉同学经常运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：；若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系：，且当羽毛球的水平距离为2m时，飞行高度为2m．
(1)求a，b的值．
(2)小嘉经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度．并通过计算判断如果选择吊球的方式能否使球过网．
(3)通过对本次训练进行分析，若击球高度下降0.3m，则在吊球路线的形状保持不变的情况下，直接写出他应该向正前方移动______米吊球，才能让羽毛球刚好落在点C正上方0.4m处．
【答案】(1)，
(2)能过网，见解析
(3)
【分析】（1）根据一次函数解析式和过点解得b，再求出点P的坐标，代入二次函数求得a；
（2）选择扣球，利用一次函数求得网的高度，选择吊球，结合利用二次函数求得值与网高进行判断即可；
（3）由吊球路线的形状保持不变，击球高度下降0.3m，得点P的坐标为，设向前移动m米，则二次函数解析式为，将及点P的坐标代入，求出m即可．
【详解】（1）∵扣球时，当羽毛球的水平距离为2m时，飞行高度为2m，
∴，解得，
∴一次函数解析式为；
当时，，
则点P的坐标为，
∴，
解得或（舍去）；
（2）令中，则，
∴球网的高度为1.6m，
选择吊球，二次函数，
∴选择吊球的方式也刚好能使球过网；
（3）∵吊球路线的形状保持不变，击球高度下降0.3m，
∴点P的坐标为
设向前移动m米，则二次函数解析式为
将点及点P的坐标代入，
得，
解得，
∴他应该向正前方移动米吊球，才能让羽毛球刚好落在点C正上方0.4m处．
【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式及一次函数解析式，二次函数与实际问题，以及二次函数图象的平移，解题的关键是熟悉二次函数的平移．
【变式6-1】（23-24九年级·北京海淀·开学考试）鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与地高度h的鹰眼数据如表：
0 9 12 15 18 21 …
0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …
(1)根据表中数据可得，当 m时，h达到最大值 m；
(2)求h关于s的函数解析式；
(3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为防守成功．若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
【答案】(1)，
(2)
(3)守门员能成功防守，见详解．
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解函数图像上点的横坐标与纵坐标的含义．
（1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论；
（2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入可求出参数，由此可解答；
（3）把代入二次函数解析式求出h，再与最大防守高度比较即可．
【详解】（1）解：时，达到最大值；
（2）由（1）知，抛物线顶点坐标，设，
把代入解析式，
，
解得，
∴．
（3）当，
，
∵，
∴守门员能成功防守．
【变式6-2】（23-24九年级·河南驻马店·阶段练习）校园篮球赛中，小磊跳起投篮，已知球出手时离地面高2米，与篮圈中心的水平距离为6米，篮圈中心距离地面3米．当球出手后水平距离为4米时达到最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线．
(1)按如图所建立的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．
(2)通过计算说明，小磊本次投球能否命中篮圈中心．
(3)如果出手的角度和力度均不变，通过计算说明小磊应向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？
【答案】(1)
(2)小磊的这次投篮未能命中篮圈中心，理由见解析
(3)小磊应该向后退米才能命中篮圈中心
【分析】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为，设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可；
（2）求得当时的函数值，与3比较即可；
（3）由题意可知出手的角度和力度都不变，小磊向前走或向后退时，相当于抛物线的左右平移，故可设抛物线的解析式为，将代入求得的值，根据抛物线左右平移时左加右减的特点，可得答案．
【详解】（1）
解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
；
（2）
解：∵，
当时，，
小磊的这次投篮未能命中篮圈中心；
（3）
解：出手的角度和力度都不变，
设抛物线的解析式为，
将代入得：，
，
解得：，，
当时，
当时，随增大而增大，此时应该是球处于上升趋势，故舍去．
当时，
当时，随增大而减小，此时应该是球处于下升趋势，故符合题意．
小磊应该向后退米才能命中篮圈中心．
【变式6-3】（23-24九年级·河北邯郸·阶段练习）嘉嘉和淇淇在玩排球．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，嘉嘉站在点O处练习发球（球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线），将球从点O正上方的点B处发出．球出手后的运动路径为抛物线，抛物线的最高点C到y轴的距离为，竖直高度比出手点B高出1m．已知，排球场的边界点A到点O的水平距离，球网高度，且．
(1)当时，排球能否越过球网？请说明理由；
(2)若嘉嘉调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为，球落地后立即向右弹起，形成另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1m，球场外有一个吉祥物玩偶MN高．排球向右反弹后沿的路径运动，若在下落的过程中，正好砸中玩偶的头部点M，求玩偶所处的位置点N与点A的距离．
【答案】(1)球能越过球网，理由见解析
(2)玩偶所处的位置点与点的距离为6米
【分析】本题主要考查二次函数的应用、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式，读懂题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）求得函数解析式，根据题意易得，将代入抛物线表达式中求出对应值，和2.4比较即可判断球能否越过球网界；
（2）根据题意可设的表达式为，将点坐标代入求得，求出当时的值即可求解．
【详解】（1）解： 抛物线的最高点到轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点高出1米米，
，
当时，
则，，
设抛物线的表达式为，
将点代入，得，
解得：，
抛物线的表达式为；
米，，
（米，
球网高度为2.4米，
，
当时，，
，
球能越过球网；
（2）解：球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点到轴总是保持6米的水平距离，
又是与形状相同的抛物线，此时排球运行的最大高度为1米，
设的表达式为，
将点代入得：，
解得：（舍去），，
的表达式为，
当时，，
解得：，（舍去），
（米．
玩偶所处的位置点与点的距离为6米．
【题型7 隧道问题】
【例7】（23-24九年级·山东青岛·专题练习）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A．D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
【答案】（1）yx2+2x（0≤x≤16）；（2）能，理由见解析；（3）AB、AD、DC的长度之和的最大值是20．
【分析】（1）抛物线的顶点坐标为（8，8），则其表达式为：y=a(x﹣8)2+8，将点O（0，0）代入上式，即可求解；
（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x=7.5﹣3.5=4，即可求解；
（3）点A、D关于函数对称轴对称，则设AD=2m，则AB=y(x﹣8)2+8=8m2，w=AB+AD+DC=2m+2ABm2+2m+16，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意知：抛物线的顶点坐标为（8，8），
则其表达式为：y=a(x﹣8)2+8，
将点O（0，0）代入上式得：0=64a+8，解得：a，
故函数的表达式为：y(x﹣8)2+8，即yx2+2x（0≤x≤16）；
（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，
车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x=7.5﹣3.5=4，
当x=4时，y=6，即允许的最大高度为6米，
5.8＜6，故该车辆能通行；
（3）设点B（m，0），则点A（m，m2+2m），
由抛物线的表达式知，其对称轴为x=8，则BC=2（8﹣m）=16﹣2m=AD，
则ABm2+2m，
则设：w=AB+AD+DC=2m+2ABm2+2m+16，
∵0，故w有最大值，
当m=4时，w的最大值为20，
故AB、AD、DC的长度之和的最大值是20．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
【变式7-1】（23-24九年级·河南洛阳·期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为6m，宽为4m，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为5米．
(1)求出抛物线的解析式．
(2)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高4.5米，宽3米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
【答案】(1)
(2)这辆货运卡车能通过该隧道
【分析】（1）抛物线的解析式为，把代入计算即可；
（2）把时代入（1）的解析式，求出x的值即可求出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：，
设抛物线的解析式为，
把代入
得：
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）这辆货运卡车能通过该隧道，理由如下：
在中，令得：
，
解得：，
，
，
这辆货运卡车能通过该隧道．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数的解析式．
【变式7-2】（23-24·河南·三模）高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为10米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为8米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？
【答案】(1)
(2)点E与隧道左壁之间的距离为米．
【分析】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线解析式，矩形的性质、坐标与图形等知识点等知识，掌握待定系数法和表示出点E的解析式是解题的关键．
（1）先根据坐标系确定点的坐标，然后用待定系数法即可解答；
（2）先根据题意确定点E的纵坐标，然后代入解析式求得点E的横坐标即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得：，
设抛物线的解析式为：，
则有：，解得：，
∴．
（2）解：∵平行线段与之间的距离为8米，矩形且，
∴点E到x轴的距离为9且在第一象限，
∴点E的纵坐标为，
∴，解得：或（舍去）．
∴点E与隧道左壁之间的距离为米．
【变式7-3】（23-24·安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．
【答案】(1)y＝x2＋8
(2)（ⅰ）l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：最大面积27，＋9≤P1横坐标≤；方案二：最大面积 ＋≤P1横坐标≤
【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，－m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；
（ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．
【详解】（1）由题意可得：A（－6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，
（－6）2a＋8＝2，
解得：a＝，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8；
（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，m2＋8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m，
∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26，
∵＜0，
∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，
∵－3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1＝3，P2P3＝9，
令x2＋8＝3，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋，
∵－1＜0，
∴当n＝时，矩形面积有最大值为，
此时P2P1＝，P2P3＝，
令x2＋8＝，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋≤P1横坐标≤．
【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
【题型8 实物模型问题】
【例8】（23-24·浙江绍兴·一模）某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯(如图1)，相关信息如下：
素材
内容
素材1
高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素材2
图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段，抛物线(实线部分)，线段，线段绕轴旋转形成的立体图形(不考虑杯子厚度，下同)． 图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段，抛物线(虚线部分)绕轴旋转形成的立体图形．
素材3
已知，图2坐标系中，，记为，．
根据以上素材内容，丵试求解以下问题：
(1)求抛物线和抛物线的解析式；
(2)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？(结果保留)
(3)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中流体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体最深度为多少？
【答案】(1)抛物线；抛物线
(2)
(3)或
【分析】本题考查二次函数的实际应用
（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，，分别求出，，即可得出结果；
（3）分和进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：点为抛物线和抛物线的顶点，对称轴为轴，
设抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：，
点在抛物线上，点在抛物线上，
，，
，，
抛物线；抛物线；
（2）解：设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，，
在抛物线中：当时，
，
，
，
则，
；
（3）解：当时，由抛物线解析式可得：， ，
，
即，
解得；
则最深度为；
当时，由图象可得：， ，
可列方程：，
则，
解得；
则最深度为．
综上：杯中液体最深度为或．
【变式8-1】（23-24·陕西榆林·三模）如图①为某景区一长廊，该长廊顶部的截面可近似看作抛物线型，其跨度为，长廊顶部的最高点与地面的距离为，两侧的柱子均垂直于地面，且高度为，线段表示水平地面，建立如图②所示的平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)为了夜间美观，景区工作人员计划分别在距离，两端水平距离为处的抛物线型长廊顶部各悬挂一盏灯笼，且灯笼底部要保持离地面至少的安全距离，现市面上有一款长度为的小灯笼，试通过计算说明该款灯笼是否符合要求（忽略悬挂处长度）．
【答案】(1)
(2)该款灯笼符合要求
【分析】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式．
（1）用待定系数法求函数解析式；
（2）将代入得，，再得。再与2.6毕竟即可．
【详解】（1）由题意可得，
可设函数关系式为，
将代入得：，
解得：，
该抛物线的函数表达式为；
（2）将代入得，
，
该款灯笼符合要求．
【变式8-2】（23-24九年级·全国·专题练习）电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，在个斜坡上按水平距离间隔米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为米（米），以过点的水平线为轴，水平线与电缆的另一个交点为原建立平面直角坐标系，如图所示经测量，米，斜坡高度米（即 、 两点的铅直高度差）．结合上面信息，回答问题：
(1)若以米为一个单位长度，则点坐标为
(2)求出下垂电缆的抛物线表达式
(3)若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于 米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线 轴分别交直线 和抛物线于点 、．点距离坡面的铅直高度为的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)这种电缆的架设符合安全要求，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用．
（1）由题意可求出米，米，即得出．又可求出米，即得出．
（2）结合，利用待定系数法求解即可；
（3）利用待定系数法可求出斜坡解析式为，即可求出电缆与坡面的铅直高度．再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）由题意得：米，米，米，米，轴，轴，
∴米，米，
∴．
故答案为
（2）∵米，
∴
∵，
∴设下垂电缆的抛物线表达式为：，
∴，
解得：，
∴下垂电缆的抛物线表达式为：．
（3）这种电缆的架设符合安全要求，理由如下：
由（1）可知：，，，
设斜坡解析式为，
∴，解得：
∴斜坡解析式为，
则电缆与坡面的铅直高度．
∵，
∴当时，有最小值为18，即，
∴这种电缆的架设符合安全要求．
【变式8-3】（23-24九年级·山西·专题练习）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为米，且点离地面的高度为米．
数学建模
（1）在图中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式；
问题解决
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，于点．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为米．
点的坐标为______，的长为______；
请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到米．参考数据：）
【答案】（）；（） ，；米．
【分析】（）根据题意得，抛物线的顶点的坐标为，设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法即可求解；
（）当时，，解得：即可求出，再用两点之间的距离公式求出；
②过点作于点，过点作于点，交于点，求出所在直线的函数表达式，设点的横坐标为，则，当时，最大，再根据，得出，最后根据线段和差即可求解；
本题考查了二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：（）根据题意得，抛物线的顶点的坐标为，
设与之间的函数关系式为，
由题意得，点的坐标为，
将代入，
得，解，得，
，
即与之间的函数关系式为，
（）由（）得，
当时，，解得：或（舍去），
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
②过点作于点，过点作于点，交于点，
设所在直线的函数表达式为，
将分别代入，
得解，得，
∴所在直线的函数表达式为，
设点的横坐标为，
点在拋物线的图象上，
，，
，
，且，
有最大值，当时，最大，
轴，
，
又，，，
，
，
当时，有最大值，
当时，有最大值，
此时，米．
∴需要铝合金材料的最大长度约为米．
【题型9 图形问题】
【例9】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米．
(1)设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求关于的函数关系式，直接写出自变量的取值范围；
(2)当为何值时，所围矩形苗圃的面积为．
【答案】(1)
(2)4或5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列二次函数的表达式，
（1）根据题意列出函数关系式；
（2）根据题意列出方程解决即可．
【详解】（1）解：在矩形中，，
，
，
；
（2），
解得：，．
答：当为4或5时，所围矩形花圃的面积为．
【变式9-1】（23-24九年级·江苏镇江·期中）用长为米的铝合金条制成如图窗框，已知矩形，矩形，矩形的面积均相等，设的长为米．
(1)则 ；
(2)若不计铝合金条的厚度，窗框透光面积为平方米，求的值；
(3)窗框透光面积的最大值为 ．
【答案】(1)3
(2)或
(3)2
【分析】（1）本题考查列代数式求解，根据三个矩形面积相等列式求解即可得到答案；
（2）本题考查一元二次方程的实际应用，结合（1）根据面积列式求解即可得到答案；
（3）本题考查二次函数的实际应用，根据题意列出面积的函数关系式结合二次函数的性质求解即可得到答案
【详解】（1）解：由题意可得，
设，由题意可得，
∵矩形，矩形，矩形的面积均相等，
∴，，
∴，
故答案为：3；
（2）解：由题意可得，
∵铝合金长为米，
∴，即：，
∵窗框透光面积为平方米，
∴，
解得：或；
（3）解：由题意可得，
，
且有，
解得：，
∵，，
∴当时，最大，
．
【变式9-2】（23-24九年级·四川达州·阶段练习）如图，在一边长为的正方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
(1)要使折成的长方体盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？
(2)折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪去的小正方形的边长；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)剪掉的正方形边长为
(2)折成的长方体盒子的侧面积有最大值；长方形盒子的侧面积最大值为，剪掉的正方形边长为
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的实际运用，利用已知关系正确列出方程与函数式是解题关键．
（1）设剪掉的正方形边长为，根据题意列方程求解即可得到答案；
（2）设剪掉的正方形边长为，根据题意列出函数解析式，即可求出侧面积最大值和剪掉的正方形边长．
【详解】（1）解：设剪掉的正方形边长为，根据题意，得：
．
解得：，（舍），
答：剪掉的正方形边长为；
（2）解：设剪掉的正方形边长为，
则长方形盒子的侧面积为：
，
当时，S有最大值．
即长方形盒子的侧面积最大值为，剪掉的正方形边长为．
【变式9-3】（23-24九年级·浙江温州·期中）根据素材回答问题：
素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，，且与的距离为10米，与的距离为8米．
素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计．
任务1 任务2
小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）． 若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．
项目反思 如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．
【答案】任务1：花圃的面积为208；任务2：图4方案的最大面积更大，为273；项目反思：图5方案最大面积更大
【分析】任务1：根据矩形面积公式和正方形面积公式求解即可；
任务2：由图3，设，花圃面积为，则，由题意可得花圃面积，结合一次函数的性质计算该方案的最大面积；由图4，设，花圃面积为，则，由题意可得花圃面积，结二次函数的性质计算该方案的最大面积，即可获得答案；
项目反思：延长交于点，过点作于点，易得为矩形，进而可知，设，花圃面积为 ，则，，，由题意得列出函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：任务1：如图2，
由题意可知，则，
矩形面积为 ，
()，
答：花圃的面积为208；
任务2：由图3，设，花圃面积为，则，
由题意得：，
因为，
∴当时，有最大值，最大值为()；
由图4，设，花圃面积为，
则，
由题意得：，
∴当时，y有最大值为273，
所以，图4方案的最大面积更大，为273；
项目反思：如下图，
延长交于点，过点作于点，
易得为矩形，
∴，
∵，
，
设，花圃面积为 ，
则，，，
由题意得：，
∴当时，花圃面积有最大值，
∵，
∴图5方案最大面积更大．
【点睛】本题主要考查了矩形面积公式、一次函数的应用、二次函数的应用等知识，正确的求出函数解析式是解题的关键．
【题型10 动点问题】
【例10】（23-24九年级·吉林白城·期末）如图，在中，，．动点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿方向以的速度向终点A运动．以为一边向上作正方形，过点Q作，交于点F．设点P的运动时间为，正方形和重叠部分图形的面积为．
(1)当点D落在上时，x的值为______．
(2)当点D落在上时，求x的值．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，；当时，；当时，
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，动点问题，二次函数的应用，分类讨论是解题的关键．
（1）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得，进而即可求解；
（2）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得，进而即可求解；
（3）分三种情况：当时，当时，当时，画出图形，结合图形即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴，
当点在上时，如图所示，此时，
∵，四边形为正方形，
∴，，
∴，则，
∴，则，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
当点在上时，如图所示，此时，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，则，
∴，则，
∴；
（3）由（1）可知，当点在上时，，当点在上时，，
当时，如图，正方形和重叠部分图形的面积为正方形的面积，
∴；
当时，如图，
∵，
∴，，
∴，则，
又∵是正方形，
∴，则，
∴，则，
∴；
当时，如图，
，
∴．
【变式10-1】（23-24九年级·广东江门·期中）一块三角形废料如图所示，，，．用这块废料剪出一个平行四边形，其中，点G，E，F分别在边，，上．设
(1)求时，平行四边形的周长．
(2)当x为何值时，平行四边形的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)
(2)当时，平行四边形的面积最大，最大面积是
【分析】（1）设平行四边形的周长是，利用平行四边形的对边互相平行知，所以同位角；然后在直角三角形和直角三角形中求得、、的长度，从而求得平行四边形的底边；再求出平行四边形的周长；
（2）设平行四边形的面积是，根据平行四边形的面积公式底高得出关于与的函数关系式，再利用配方法求二次函数的最值．
【详解】（1）解：当时，设平行四边形的周长是．
四边形是平行四边形，
，
，，，，
，
，，，
，
，
则当时，平行四边形的周长为；
（2）设平行四边形的面积是，
由（1）可得：，
，，
，，
，即，
，
当时，平行四边形的面积最大，最大面积是．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、二次函数的最值．解答本题的关键是求出平行四边形的底边、底边上的高线的长度．
【变式10-2】（23-24九年级·重庆忠县·期末）如图，在菱形中，，，动点均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线方向运动，点Q沿折线方向运动，当两动点相遇时停止运动，设运动时间为x秒，以线段为边长的正方形面积为y．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围．
【答案】(1)
(2)见详解，当时，y随x的增大而增大，当时，随的增大而减小
(3)
【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，菱形的性质及等边三角形的判定和性质，正确理解动点问题是解题的关键．
（1）当点在上，点在上运动时，即时，由是等边三角形，即可求解；当时，同理可解；
（2）当时，，当时，，当时，，即可画出函数图象，进而求解；
（3）观察函数图象即可求解．
【详解】（1）解∶在菱形中，，
，
总的运动时间为：秒，
连接，如图：
当点在上，点在上运动时，
由题意是正三角形，即时，
由
，
当点在上，点在上运动时，是正三角形，即时，
由，
，
综上所述：；
（2）如图所示：
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
（3）由（2）图可知：
时x的取值范围为：．
【变式10-3】（23-24九年级·辽宁大连·阶段练习）与是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，、分别是直角边、的中点．位置固定，按如图叠放，使斜边在直线上，顶点与点M重合．等腰直角以1厘米/秒的速度沿直线向右平移，直到点与点N重合．设x秒时，与重叠部分面积为y平方厘米．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当与重叠部分面积为平方厘米时，求移动的时间
【答案】(1)
(2)或秒
【分析】（1）可分三种情况进行讨论：①当在内部时，②当都在△外部时，③当在内部时，根据上述三种情况可得出三个不同的函数解析式；
（2）根据函数式即可求出当为时，的值，即可求解．
【详解】（1）解：∵等腰直角三角形的直角边都为4，
∴
∵且分别是直角边、的中点．
∴当在上时，
当等于与所截的部分时，，
当在上时，，
①如图1，当时
②如图2，当时，如图，、、是等腰直角三角形，
则
即
③如图3，当时，
；
综上所述，
（2）根据题意，重叠部分面积先变大后变小，
∴只有当在内时，当在内时，重叠部分的面积等于
①如图1，在内时，，重叠部分是平行四边形，
由题意得：
解得：，
②如图3，当在内时，，重叠部分是平行四边形，
由题意得：，，
解得：
综上所述，当与重叠部分面积为平方厘米时， 移动的时间为或秒
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，本题的关键是求出重合部分的面积与的函数关系式．
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