专题27.3 相似三角形的判定【十大题型】
【人教版】
【题型1 判断两个三角形是否相似】 1
【题型2 补充条件使两个三角形相似】 4
【题型3 裁剪使两个三角形相似】 7
【题型4 尺规作图使两个三角形相似】 11
【题型5 格点中判断两三角形相似】 14
【题型6 确定与已知三角形相似的三角形】 17
【题型7 确定哪两个三角形相似】 19
【题型8 确定相似三角形的对数】 23
【题型9 坐标系中确定使两三角形相似的点的个数】 26
【题型10 相似三角形的证明】 30
知识点1：相似三角形的判定
判定定理
判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ．
判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ．
判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．
【题型1 判断两个三角形是否相似】
【例1】（23-24九年级·四川遂宁·期中）下列条件中，能使成立的是（ ）
A．∠C＝98°，∠E＝98°，；
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6
C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26；
D．∠B＝35°，BC ＝10，BC上的高AG＝7；∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH ＝3.5
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定定理对四个选项进行分析即可.
【详解】A、若△ABC~△DEF，则，故本选项错误；
B、若△ABC~△DEE，则而≠，故本选项错误；
C、若△ABC~△DEF，∠A＝90°，则∠D＝90°，故本选项错误；
D、且∠AGC＝∠BHF＝90°，因此△AGC∽△BHF，所以∠C＝∠F，而∠B＝∠E＝35°，因此可判断相似，故本选项正确；
所以D选项是正确的.
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定定理，解答此类题目时要熟知相似三角形的判定方法，即：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似
【变式1-1】（23-24九年级·四川眉山·期中）下列判断中，不正确的有（ ）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
【答案】B
【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．
【详解】解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；
B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；
C、有一个锐角相等的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
【变式1-2】（2024·江苏无锡·中考真题）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC-=OB：OD，则下列结论中一定正确的是 ( )
A．①与②相似 B．①与③相似
C．①与④相似 D．②与④相似
【答案】C
【详解】试题分析：由两边成比例和夹角相等（对顶角相等），即可得出△AOB∽△COD，即可得出结果．
解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，C正确；
故选C．
考点：相似三角形的判定．
【变式1-3】（23-24九年级·上海浦东新·期末）下列命题中，说法正确的是（ ）
A．如果一个直角三角形中有两边之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似
B．如果一个等腰三角形中有两边之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似
C．如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似
D．如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的判定，直角三角形和等腰三角形的性质．
根据直角三角形中有两边之比为，可能是两直角边的比，也可能是直角 边与斜边的比，可判定A；根据等腰三角形中有两
边之比为，只能是底与腰的比为，所有这样的等腰三角形三边对应成比例，一定相似，可判定B；若一个直角三角形
是直角是锐角的2倍，则这个三角形是等腰直角三角形，另一个直角三角形是一锐角是另一锐角的2倍，则两锐角为和，所以所有这样的直角三角形不一定相似，可判定C；设等腰三角形两角为x和，则三个内角分别为x，，或x，x，
；所以所有这样的等腰三角形不一定相似，可判定D．
【详解】解：A、如果一个直角三角形中有两边之比为，那么所有这样的直角三角形不一定相似，如：一个直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，且，另一个直角三角形两直角边为d，e，斜边为f，且，则这两个直角三角形不相似；故此选项不符合题意；
B、如果一个等腰三角形中有两边之比为，那么等腰三角形只能是底与腰的比是，所以所有这样的等腰三角形三边对应成比例，所以一定相似，故此选项符合题意；
C、如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为，若一个三角形是直角是锐角的2倍，则这个三角形是等腰直角三角形，若是直角三角形是一锐角是另一锐角的2倍，则两锐角为和，所以所有这样的直角三角形不一定相似，故此选项不符合题意；
D、如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为，设这两角为x和，则三个内角分别为x，，或x，x，；所以所有这样的等腰三角形不一定相似；故此选项不符合题意；
故选：B．
【题型2 补充条件使两个三角形相似】
【例2】（23-24九年级·山东泰安·开学考试）已知是的边上一点，连接，则下列不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的性质．解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与两边对应成比例且夹角相等的三角形相似定理的应用．根据题意画出草图，结合相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
【详解】解：根据题意作图如下：
A、，，
，不符合题意；
B、，，
，不符合题意；
C、，，
，不符合题意；
D、根据和不能判断，符合题意；
故选：D．
【变式2-1】（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形中，平分，且，．当
AD= 时，．
【答案】9
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
当时，，
即：，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：9．
【变式2-2】（2024·江西景德镇·三模）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ）
A．平分 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，故A选项不符合题意；
∵，，
∴，故B选项不符合题意；
C选项无法判定和相似，不符合题意；
∵，，
∴，故D选项不符合题意；
故选C．
【变式2-3】（23-24九年级·河南鹤壁·阶段练习）直线与的边相交于点，与边相交于点，下列各条件：
①，②，③，④，⑤，能够判断的是 ．
【答案】②⑤
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
根据相似三角形的判定方法，分别进行判定即可得出答案．
【详解】解：①∵，
∴，故此选项错误；
②，可以根据相似三角形的判定方法中的平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，判断出，故此选项正确；
③，缺少夹角相等，故不能判定，故此选项错误；
④，又∵，
∴，故此选项错误；
⑤可以变形为：，
又∵，
∴，故此选项正确；
故正确的有2个．
故答案为：②⑤．
【题型3 裁剪使两个三角形相似】
【例3】（23-24九年级·海南·期末）点是斜边上的一个点(不与重合),过点作直线截,使截得的三角形与相似,满足这样的条件的截线共有 条
【答案】3
【分析】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．
【详解】由于△ABC是直角三角形，
过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，
所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，
过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．
【变式3-1】（23-24九年级·山西·期中）如图，中，，，．将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②③④ D．①②④
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似；
③两三角形虽然满足，但两边所夹的角不一定相等，故两三角形不一定相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．
故正确的有①②④，
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
【变式3-2】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图，△ABC中∠A=60°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】A、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意，
B、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意，
C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意，
D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意，
故选：A.
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
【变式3-3】（2024九年级·浙江·专题练习）如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由于点D，得，则，而，即可证明，可判断A不符合题意；由，得，则，可证明，可判断B不符合题意；由，得，而，可证明，可判断C不符合题意；由，得，，则，而，所以与不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图1，
∵于点D，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故A不符合题意；
如图2，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故B不符合题意；
如图3，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故C不符合题意；
如图4，
∵，
∴，，
∴，
假设，
∵，
∴，与已知条件不符，
∴与不相似，
故D符合题意，
故选：D．
【题型4 尺规作图使两个三角形相似】
【例4】（23-24九年级·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，作角平分线．掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
作平分线，交于D即可．
【详解】解：如图所示，点D即为所作求．
由作图可知：是平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【变式4-1】（23-24九年级·河南·期末）如图，已知钝角中．
(1)请用无刻度直尺和圆规在上定一点P，使得．（保留痕迹，不写作法）
(2)请用数学语言简述作图的合理性．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键．
(1)作线段的垂直平分线，交于点P，连接，点P即为所求作．
(2)利用两个角对应相等的两个三角形相似，说明即可．
【详解】（1）如图，作线段的垂直平分线，交于点P，连接，
则点P即为所求作．
（2）根据作图，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故作法是合理的．
【变式4-2】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在中，为边上任意一点，利用尺规作图法，在边上找一点，使得.（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查相似三角形，以点为圆心，任意长度为半径画弧，交于，交于，以点为圆心，以相同的半径画弧，再以为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于，则，结合可得．
【详解】解：如图，即为所作，
．
【变式4-3】（23-24九年级·陕西榆林·期末）如图，等腰的顶角，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得∽．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】图见解析．
【分析】以点B为圆心、BA长为半径画弧，交BC于点D即可．
【详解】以点B为圆心、BA长为半径画弧，交BC于点D，连接AD，则点D即为所作，如图所示：
理由如下：
等腰的顶角，
，
由作图可知，，
，
，
在和中，，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
【题型5 格点中判断两三角形相似】
【例5】（23-24九年级·广东梅州·阶段练习）如图，网格中有一个△ABC，下图中与△ABC相似的三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题分别求出每个三角形的三边长，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似得出答案.
【详解】解：
对于图①，三角形三边为，因为所以图①的三角形与△ABC相似；
对于图②，三角形三边为，因为 所以图②的三角形与△ABC相似；
对于图③，三角形三边为，因为 所以图③的三角形与△ABC相似；
对于图④，三角形三边为，因为 所以图④的三角形与△ABC相似．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似．解决本题的关键是利用勾股定理分别计算出图中所有三角形的边长．
【变式5-1】（23-24九年级·上海宝山·期末）如图，在正方形网格中，、、、、、都是格点，从、、、四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：；．关于这两个三角形，下列判断正确的是（ ）
A．只有是 B．只有是 C．和都是 D．和都不是
【答案】B
【分析】此题考查了相似三角形的判定和勾股定理逆定理，先根据网格判定，，然后用相似三角形的判定即可，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理和相似三角形的判定
【详解】如图，连接，，，，，
在中，，，，
由网格可知：，，，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴与相似，与相似，
故选：．
【变式5-2】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①，②，③，④，⑤，其中与⑤相似的三角形是（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④
【答案】A
【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答．
【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则
①△ABC的各边长分别为1、、．
②△ACD的各边长分别为1、、2 ；
③△ADE的各边长分别为2、2 、2 ；
④△AEF的各边长分别为2、2、6；
⑤△AGH的各边长分别为、2、；
∴△ABC∽△AGH，△ADE∽△AGH，
故选A．
【点睛】此题主要考查学生对三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用．正确掌握网格中求线段长度的方法及掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【变式5-3】（23-24九年级·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定，利用两边成比例夹角相等， 证明三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
【详解】解：观察图象可知，
．
故答案为：．
【题型6 确定与已知三角形相似的三角形】
【例6】（2024·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．
【答案】
【分析】由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键．
【变式6-1】（23-24九年级·广西贺州·期末）如图，在四边形中，与相交于点O，则下列三角形中，与一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线内错角相等即可证明两个三角形相似．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形相似的判定，数量掌握几种判定定理是解题关键．
【变式6-2】（23-24九年级·福建福州·期末）如图，的高，相交于点，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据已知条件得，，推出，其他同理.
【详解】解： ；
证明：∵的高，相交于点，
∴，
∵，
∴；
故答案为：（答案不唯一）.
【点睛】本题考查相似三角形的判定，三角形的高的定义，解题的关键是掌握有两角对应的两个三角形相似.
【变式6-3】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，已知与都是等边三角形，点在边上（点不与点，重合），，交于点，则下列一定与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据等边三角形的性质得到，，然后根据角的和差关系得到，即可证明出．
【详解】∵与都是等边三角形，
∴，
∴，即
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形相似的判定，等边三角形的性质，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．
【题型7 确定哪两个三角形相似】
【例7】（23-24九年级·上海·期末）如图，将绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，连接，下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，根据旋转的性质得到，，，，，再根据相似三角形的判定定理判断求解即可．
【详解】解：根据旋转的性质得，，
∴，
∴，，
∴，故A不符合题意；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，故B不符合题意；
又，，
∴，故C不符合题意；
根据题意，无法求解与相似，
故D符合题意；
故选：D．
【变式7-1】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，，，以下结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．以上结论都不对
【答案】C
【分析】根据已知条件结合相似三角形的判定定理逐项分析即可．
【详解】解：∵∠AOD=90°，设OA=OB=BC=CD=x
∴AB=x，AC=x，AD=x，OC=2x，OD=3x，BD=2x ,
∴，
∴
∴．
故答案为C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
【变式7-2】（2024·辽宁鞍山·一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B．那么下列各判断中，错误的是（ ）
A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD
C．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB
【答案】D
【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、C正确，D不正确；即可得出结论．
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，
∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE，
又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；
∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB；
∵∠B=∠ADE，但是∠BCD<∠AED，且∠BCD≠∠A，
∴△ADE与△DCB不相似；
正确的判断是A、B、C，错误的判断是D；
故选D．
【点睛】考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两角相等得出三角形相似是解决问题的关键．
【变式7-3】（23-24九年级·上海静安·期中）将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（ ）
△ABC与△ADE B．△ABD与△AEC
C．△ABE与△ACD D．△AEC与△ADC
【答案】C
【分析】根据是直角三角形，而不是直角三角形，即可判断A选项，只有，不能判断B选项中两三角形相似，根据题意可得，进而证明，即可判断，即可判断C选项，D选项中只有一个公共角，根据已知条件找不到另外一对角相等，故不能判断D选项中两三角形相似．
【详解】A.是直角三角形，不是直角三角形，故不能判断△ABC与△ADE相似；
B.只有，不能判断B选项中△ABD与△AEC相似；
D. 只有，不能判断D选项中△AEC与△ADC相似；
C.是等腰直角三角形，则
设，则，
，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【题型8 确定相似三角形的对数】
【例8】（23-24九年级·广西贵港·期末）如图，在中，，是边的中点，于点，交边于点，连接，则图中与相似的三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定定理可得出答案．
【详解】解：，是边的中点，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
图中与相似的三角形共有3个：，，．
故选：B
【变式8-1】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，点为平行四边形边延长线上的一点，连接与相交于点．则图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而即可得到，，，由此得到答案．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，，
，，
，
共3对，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
【变式8-2】（23-24九年级·福建宁德·阶段练习）如图，点D是等腰斜边BC上的一个动点，以AD为边作等腰，斜边AE交BC于F，则图中相似三角形共有（ ）对．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】依据等腰直角三角形的性质，∠BAC=∠ADE=90°，∠B=∠C=∠E=∠DAE=45°，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”，即可找到相似三角形．
【详解】∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形
∴∠BAC=∠ADE=90°，∠B=∠C=∠E=∠DAE=45°
则△ABC∽△DAE
又∵∠AFB=∠DFE，∠B=∠E=45°
∴△ABF∽△DEF
∵∠ADF=∠ADB，∠B=∠DAE=45°
∴△ABD∽△FAD
同理，得△FCA∽△FAD
∴△ABD∽△FCA
综上所述，图中相似三角形共有5对，
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及等腰直角三角形的性质的运用，关键是掌握有两组角对应相等的两个三角形相似．
【变式8-3】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE交AD于G ， AF⊥BE于F ， 图中相似三角形的对数是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【答案】D
【详解】试题解析：∵矩形ABCD
∴AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ADE=
∴△EDG∽△ECB∽△BAG
∵AF⊥BE
∴∠AFG=∠BFA=∠DAB=∠ADE=
∵∠AGF=∠BGA，∠ABF=∠GBA
∴△GAF∽△GBA∽△ABF
∴△EDG∽△ECB∽△BAG∽△AFG∽△BFA
∴共有10对
故选D．
【题型9 坐标系中确定使两三角形相似的点的个数】
【例9】（23-24九年级·江苏·期中）平面直角坐标系中，直线和x、y轴交于A、B两点，在第二象限内找一点P，使△PAO和△AOB相似的三角形个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据相似三角形的相似条件，画出图形即可解决问题．
【详解】解：如图，
①分别过点O、点A作AB、OB的平行线交于点P1，则△OAP1与△AOB相似（全等），
②作AP2⊥OP1，垂足为P2则△AOP2与△AOB相似．
③作∠AOP3=∠ABO交AP1于P3，则△AOP3与△AOB相似．
④作AP4⊥OP3垂足为P4，则△AOP4与△AOB相似．
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
【变式9-1】（2024·江西九江·三模）如图，在平面直角坐标系中，已如，，，在坐标轴上有一点，它与,两点形成的三角形与相似，则点的坐标是 ．
【答案】或或
【分析】分两种情形：当点P在x轴上时，时，当点在y轴上时，或，分别求解即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
当点P在x轴上时，时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点在y轴上时，，
∵，
∴，
∴，
∴．
当时，有，
∴
∴
∴
综上所述，满足条件的点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会与分类讨论的射线思考问题．
【变式9-2】（2024·湖北宜昌·中考真题）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
【答案】B
【详解】△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意．
故选B．
【变式9-3】（23-24九年级·广东深圳·阶段练习）如图，的顶点坐标是，，，平面内点使得与相似，则不与点重合的点有 个．
【答案】7
【分析】本题考查相似三角形的判定．根据题意，可分情况讨论，具体见详解．
【详解】解：如图所示，当时，；
如图所示，当，时，；
如图所示，当，时，；
如图所示，当，时，；
如图所示，当，时，；
如图所示，当，时，；
如图所示，当，时，．
综上所述，符合题意的点的位置有7个．
故答案为：7．
【题型10 相似三角形的证明】
【例10】（23-24九年级·广东清远·期末）如图，已知正方形中，平分且交边于点，将绕点顺时针旋转到的位置，并延长交于点．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先判断出，再利用角平分线判断出，即可得出结论；
（2）由三角形的内角和定理可求，可得结论．
【详解】（1）证明：由旋转可知：，
．
平分，
，
，
，
；
（2）证明：，，
．
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
【变式10-1】（23-24九年级·陕西·期中）已知：如图在菱形中，点E、F分别在边、上，，的延长线交的延长线于点H．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，菱形的性质：菱形的对边平行，四条边相等，对角相等，也考查了全等三角形的判定与性质；
先证明得到，证明，又因为是公共角，即可证明．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式10-2】（2024九年级·全国·专题练习）在和中，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键．
由，可得，由，可得，进而结论得证．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【变式10-3】（23-24九年级·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，，若点分别为边上的两点，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质可得，根据等边对等角可得，从而得到，再通过证明即可得到．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题27.3 相似三角形的判定【十大题型】
【人教版】
【题型1 判断两个三角形是否相似】 1
【题型2 补充条件使两个三角形相似】 2
【题型3 裁剪使两个三角形相似】 3
【题型4 尺规作图使两个三角形相似】 4
【题型5 格点中判断两三角形相似】 5
【题型6 确定与已知三角形相似的三角形】 6
【题型7 确定哪两个三角形相似】 7
【题型8 确定相似三角形的对数】 8
【题型9 坐标系中确定使两三角形相似的点的个数】 9
【题型10 相似三角形的证明】 11
知识点1：相似三角形的判定
判定定理
判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ．
判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ．
判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．
【题型1 判断两个三角形是否相似】
【例1】（23-24九年级·四川遂宁·期中）下列条件中，能使成立的是（ ）
A．∠C＝98°，∠E＝98°，；
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6
C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26；
D．∠B＝35°，BC ＝10，BC上的高AG＝7；∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH ＝3.5
【变式1-1】（23-24九年级·四川眉山·期中）下列判断中，不正确的有（ ）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
【变式1-2】（2024·江苏无锡·中考真题）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC-=OB：OD，则下列结论中一定正确的是 ( )
A．①与②相似 B．①与③相似
C．①与④相似 D．②与④相似
【变式1-3】（23-24九年级·上海浦东新·期末）下列命题中，说法正确的是（ ）
A．如果一个直角三角形中有两边之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似
B．如果一个等腰三角形中有两边之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似
C．如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似
D．如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似
【题型2 补充条件使两个三角形相似】
【例2】（23-24九年级·山东泰安·开学考试）已知是的边上一点，连接，则下列不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形中，平分，且，．当
AD= 时，．
【变式2-2】（2024·江西景德镇·三模）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ）
A．平分 B． C． D．
【变式2-3】（23-24九年级·河南鹤壁·阶段练习）直线与的边相交于点，与边相交于点，下列各条件：
①，②，③，④，⑤，能够判断的是 ．
【题型3 裁剪使两个三角形相似】
【例3】（23-24九年级·海南·期末）点是斜边上的一个点(不与重合),过点作直线截,使截得的三角形与相似,满足这样的条件的截线共有 条
【变式3-1】（23-24九年级·山西·期中）如图，中，，，．将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②③④ D．①②④
【变式3-2】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图，△ABC中∠A=60°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2024九年级·浙江·专题练习）如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 尺规作图使两个三角形相似】
【例4】（23-24九年级·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【变式4-1】（23-24九年级·河南·期末）如图，已知钝角中．
(1)请用无刻度直尺和圆规在上定一点P，使得．（保留痕迹，不写作法）
(2)请用数学语言简述作图的合理性．
【变式4-2】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在中，为边上任意一点，利用尺规作图法，在边上找一点，使得.（不写作法，保留作图痕迹）
【变式4-3】（23-24九年级·陕西榆林·期末）如图，等腰的顶角，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得∽．（保留作图痕迹，不写作法）
【题型5 格点中判断两三角形相似】
【例5】（23-24九年级·广东梅州·阶段练习）如图，网格中有一个△ABC，下图中与△ABC相似的三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-1】（23-24九年级·上海宝山·期末）如图，在正方形网格中，、、、、、都是格点，从、、、四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：；．关于这两个三角形，下列判断正确的是（ ）
A．只有是 B．只有是 C．和都是 D．和都不是
【变式5-2】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①，②，③，④，⑤，其中与⑤相似的三角形是（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④
【变式5-3】（23-24九年级·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是 ．
【题型6 确定与已知三角形相似的三角形】
【例6】（2024·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．
【变式6-1】（23-24九年级·广西贺州·期末）如图，在四边形中，与相交于点O，则下列三角形中，与一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（23-24九年级·福建福州·期末）如图，的高，相交于点，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ．
【变式6-3】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，已知与都是等边三角形，点在边上（点不与点，重合），，交于点，则下列一定与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【题型7 确定哪两个三角形相似】
【例7】（23-24九年级·上海·期末）如图，将绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，连接，下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式7-1】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，，，以下结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．以上结论都不对
【变式7-2】（2024·辽宁鞍山·一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B．那么下列各判断中，错误的是（ ）
A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD
C．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB
【变式7-3】（23-24九年级·上海静安·期中）将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（ ）
△ABC与△ADE B．△ABD与△AEC
C．△ABE与△ACD D．△AEC与△ADC
【题型8 确定相似三角形的对数】
【例8】（23-24九年级·广西贵港·期末）如图，在中，，是边的中点，于点，交边于点，连接，则图中与相似的三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式8-1】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，点为平行四边形边延长线上的一点，连接与相交于点．则图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【变式8-2】（23-24九年级·福建宁德·阶段练习）如图，点D是等腰斜边BC上的一个动点，以AD为边作等腰，斜边AE交BC于F，则图中相似三角形共有（ ）对．
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式8-3】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE交AD于G ， AF⊥BE于F ， 图中相似三角形的对数是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【题型9 坐标系中确定使两三角形相似的点的个数】
【例9】（23-24九年级·江苏·期中）平面直角坐标系中，直线和x、y轴交于A、B两点，在第二象限内找一点P，使△PAO和△AOB相似的三角形个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式9-1】（2024·江西九江·三模）如图，在平面直角坐标系中，已如，，，在坐标轴上有一点，它与,两点形成的三角形与相似，则点的坐标是 ．
【变式9-2】（2024·湖北宜昌·中考真题）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
【变式9-3】（23-24九年级·广东深圳·阶段练习）如图，的顶点坐标是，，，平面内点使得与相似，则不与点重合的点有 个．
【题型10 相似三角形的证明】
【例10】（23-24九年级·广东清远·期末）如图，已知正方形中，平分且交边于点，将绕点顺时针旋转到的位置，并延长交于点．求证：
(1)；
(2)．
【变式10-1】（23-24九年级·陕西·期中）已知：如图在菱形中，点E、F分别在边、上，，的延长线交的延长线于点H．求证：．
【变式10-2】（2024九年级·全国·专题练习）在和中，，，求证：．
【变式10-3】（23-24九年级·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，，若点分别为边上的两点，且．求证：．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
