专题27.4 相似三角形的性质【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用相似三角形的性质求解】 2
【题型2 运用相似三角形解决折叠问题】 2
【题型3 运用相似三角形解决三角板问题】 3
【题型4 运用相似三角形解决裁剪问题】 5
【题型5 运用相似三角形解决格点问题】 7
【题型6 运用相似三角形探究线段之间的关系】 9
【题型7 运用相似三角形解决尺规作图问题】 10
【题型8 运用相似三角形解决动点问题】 12
【题型9 运用相似三角形解决最值问题】 13
【题型10 运用相似三角形解决多结论问题】 14
知识点1：相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等．如图，，则有 ．
②相似三角形的对应边成比例．如图，，则有 （为相似比）．
③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有
④相似三角形周长的比等于相似比．如图，∽，则有 ．
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有
【题型1 利用相似三角形的性质求解】
【例1】（23-24九年级·四川成都·期末）若，且＝．若的面积为8，则的面积是（ ）
A． B．6 C．9 D．18
【变式1-1】（23-24九年级·江苏连云港·期末）已知的三条边分别为、、，若的最短边为3，则最长边为 ．
【变式1-2】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，点P在的边上，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24九年级·陕西西安·期末）已知两个相似三角形的周长比为，它们的面积之差为40，那么它们的面积之和为 ．
【题型2 运用相似三角形解决折叠问题】
【例2】（23-24九年级·安徽六安·期中）如图，在中，，，，将沿折叠，使点C落在边上处，并且，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（23-24九年级·湖北十堰·期中）如图，在平面直角坐标中，矩形的边 ，，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置， 线段恰好经过点 B，点 C落在y轴的点位置，点 E 的坐标是 ．
【变式2-2】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，，则 cm．
【变式2-3】（23-24九年级·江苏淮安·期中）在矩形中，，，将矩形折叠，使点落在点处，折痕为．
图1 图2
(1)如图1，若点恰好在边上，连接，求的值；
(2)如图2，若是的中点，的延长线交于点，求的长．
【题型3 运用相似三角形解决三角板问题】
【例3】（2024·浙江台州·模拟预测）将一副三角板如图所示摆放，为等腰，，，，记交于E．若上有一点F满足，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24九年级·内蒙古包头·期末）如图，将一副三角板按图叠放，则的值为 ．
【变式3-2】（23-24九年级·山东济南·期中）【问题背景】
中，，，P为上的动点，小熙拿含角的透明三角板，使角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．
【用数学的眼光观察】
（1）如图1，当三角板的两边分别交、于点E、F时，以下结论正确的是：_______；
①；②；③；④.
【用数学的思维思考】
（2）将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点E、F．与相似吗？请说明理由；
【用数学的语言表达】
（3）在（2）的条件下，动点P运动到什么位置时，？说明理由．
【变式3-3】（23-24九年级·山东济南·期中）如图，把两块全等的等腰直角三角板和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，．把三角板固定不动，三角板由图1所示的位置绕点沿顺时针方向旋转，设旋转角为，其中．设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点（当三角板旋转到图3所示位置时，线段交线段于点）．
(1)如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时，______；
(2)当三角板转到如图2的位置时，的值是否改变？说明你的理由；
(3)在三角板旋转的过程中，两三角板重合部分的面积是否可能为？若可能，直接写出此时的长；若不可能，请说明理由．
【题型4 运用相似三角形解决裁剪问题】
【例4】（2024·山东菏泽·一模）包书皮是每位同学都经历过的事情，下面展示两种包书皮的方法：
方法一： 方法二：
(1)一本字典长为，宽为，高为，如果按方法一包书，将封面和封底各折进去3cm，试用含a、b、c的代数式分别表示封皮的长和宽；
(2)现有1张一角污损的矩形包书纸，如右图，矩形中，，，，．使用没有污损的部分按方法二的方式包一本长为，宽，厚为的字典．试画出一种合适的剪裁法，并写出剪裁后矩形的长和宽；
(3)在（2）的条件下，是否存在裁剪后最大的矩形也能包这本书，并说明理由．
【变式4-1】（23-24九年级·北京·期中）如图，直角三角形纸片ABC，，AC边长为10cm．现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，如果剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长是 cm．
【变式4-2】（2024·河南驻马店·二模）延时课上，同学们利用面积为的正方形纸板，制作一个正方体礼品盒(如图所示裁剪)．则这个礼品盒的体积是 ．
【变式4-3】（2024·江苏徐州·模拟预测）A4纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入(编号是)，虽然其中一些格式法国在同一时期也自行研发出来，不过之后就被遗忘了．定义了 A、B、C 三组纸张尺寸．
(1)观察发现：如图1，将纸2次折叠，发现第1次的折痕与纸较长的边重合，由此可求出纸较长边与较短边的比为 ．
(2)探究迁移；将一张纸沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点E．点E是否为的中点 请说明理由．
(3)拓展应用；利用一张纸经过裁剪获得一张边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明：G是的黄金分割点．
【题型5 运用相似三角形解决格点问题】
【例5】（23-24九年级·江苏扬州·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点均在格点上．
(1)在图①中，______；（填两数字之比）
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在线段上找一点，使；
②如图③，在线段上找一点，使．
【变式5-1】（23-24九年级·浙江温州·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，请按要求作图．
(1)在图1中画一个格点，使（相似比不为1）．
(2)在图2中画一条格点线段，交于点Q，使．
【变式5-2】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）在的方格中，是格点三角形（三角形的顶点在格点上）
(1)要求在图1的方格中，画一个与相似且相似比为整数（不为1）的格点三角形．
(2)要求在图2的方格中，画一个与相似且相似比不为整数的格点三角形．
(3)要求在图3的方格中，画一个与相似且面积最大的格点三角形．
【变式5-3】（2024·江苏无锡·一模）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
(1)在图①中， ．
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在上找一点P，使．
②如图③，在上找一点P，使．
【题型6 运用相似三角形探究线段之间的关系】
【例6】（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当P为的中点，，时，求的长；
(3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由．
【变式6-1】（23-24九年级·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，已知正方形和正方形（其中），连接，交于点H，判断线段与的数量关系及位置关系；
（2）如图2，已知矩形和矩形，，，，将矩形绕点D逆时针旋转，连接，交于点H，（1）中线段数量关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由．
【变式6-2】（23-24九年级·广东深圳·期末）如图，四边形是菱形，点是延长线上一点，连接，分别交、于点、，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当时，判断与有何等量关系？并证明你的结论．
【变式6-3】（2024·河南信阳·模拟预测）阅读理解：如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．
(1)解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证≌，得到，从而把，，转化在一个三角形中，即可判断，，之间的等量关系为______；
(2)问题探究：如图，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)问题解决：如图，，与交于点，：：，点在线段上，且，试判断，，之间的数量关系，直接写出你的结论．
【题型7 运用相似三角形解决尺规作图问题】
【例7】（2024·河北沧州·模拟预测）如图，在中，用尺规按①到③的步骤作图：
①以为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于、两点；
②分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点；
③作射线，交于点；
结论Ⅰ：线段上必有一点，使得；
结论Ⅱ：；
对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是( )
A．结论Ⅰ和结论Ⅱ都对 B．结论Ⅰ和结论Ⅱ都不对
C．结论Ⅰ对，结论Ⅱ不对 D．结论Ⅰ不对，结论Ⅱ对
【变式7-1】（2024·四川成都·三模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，连接交边于点E；②以点E为圆心，以的长为半径作弧交边于点F．若，，则的长为 ．
【变式7-2】（2024·江苏镇江·二模）某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．
如图，①分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点，点；②连接，，，作射线；③以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；④连接，交于点．点即为的一个三等分点（即．
学习任务：
(1)填空：四边形的形状是 ； 你的依据是 ；
(2)证明：
【变式7-3】（2024·辽宁抚顺·二模）如图，在中，，，，点E是边上一动点，过点E作交于点F，D为线段的中点，按下列步骤作图：①以A为圆心，适当长为半径画弧交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧的交点为G；③作射线．若射线经过点D，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【题型8 运用相似三角形解决动点问题】
【例8】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，中，，，，动点P从点A出发在线段上以每秒的速度向O运动，动直线从开始以每秒的速度向上平行移动，分别与交于点E，F，连接，设动点P与动直线同时出发，运动时间为t秒．当t为 时，与相似．
【变式8-1】（23-24九年级·河南南阳·期末）在中，，过点B作射线．动点D从点A出发沿射线方向以每秒3个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．过点E作交射线于F，G是中点，连接．设点D运动的时间为t，当与相似且点D位于点E左侧时，t的值为 ．
【变式8-2】（23-24九年级·福建厦门·期末）如图，中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为
【变式8-3】（23-24九年级·山西吕梁·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．设点P运动的时间为t秒，当△PBQ是直角三角形时，t的值为 ．
【题型9 运用相似三角形解决最值问题】
【例9】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在边长为4的等边三角形中，E是边上一点，且，D为边上一动点，作交边于点F，若，则的最小值为 ．
【变式9-1】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、F分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 ．
【变式9-2】（2024·河北邯郸·三模）如图，已知正方形的边长为8，点E在边上，的中点为G，绕点E顺时针旋转得，若，则：
（1）当时，的长为 ；
（2）在x的变化过程中，的最小值是 ．
【变式9-3】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，平面内三点A、B、C，AB=8，AC=6，以BC边为斜边在BC右侧作等腰直角三角形BCD，连接AD，则的最大值是（ ）
A．98 B．100 C．72 D．70
【题型10 运用相似三角形解决多结论问题】
【例10】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，正方形中，G是边的延长线上一点，以为对角线作正方形，的延长线交对角线于点H，连接，延长交于点M．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【变式10-1】（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图，在矩形ABCD中，点是边BC的三等分点，点是边CD的中点，线段AG，AH与对角线BD分别交于点E，F．设矩形ABCD的面积为，则以下4个结论中：①；②；③；④．正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式10-2】（23-24九年级·四川宜宾·期中）如图所示，在中，平分交于点交于点为的中点，交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（ ）．
A．①②③ B．①④ C．①③④ D．②③④
【变式10-3】（23-24九年级·山东·期末）如图，中，，平分交于点D，交于点E，M为的中点，交的延长线于点F，，．下列结论①；② ；③；④，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题27.4 相似三角形的性质【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用相似三角形的性质求解】 2
【题型2 运用相似三角形解决折叠问题】 3
【题型3 运用相似三角形解决三角板问题】 9
【题型4 运用相似三角形解决裁剪问题】 16
【题型5 运用相似三角形解决格点问题】 22
【题型6 运用相似三角形探究线段之间的关系】 27
【题型7 运用相似三角形解决尺规作图问题】 36
【题型8 运用相似三角形解决动点问题】 42
【题型9 运用相似三角形解决最值问题】 47
【题型10 运用相似三角形解决多结论问题】 52
知识点1：相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等．如图，，则有 ．
②相似三角形的对应边成比例．如图，，则有 （为相似比）．
③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有
④相似三角形周长的比等于相似比．如图，∽，则有 ．
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有
【题型1 利用相似三角形的性质求解】
【例1】（23-24九年级·四川成都·期末）若，且＝．若的面积为8，则的面积是（ ）
A． B．6 C．9 D．18
【答案】D
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
根据相似三角形的性质可直接得出结论．
【详解】解：∵，且＝．
∴
∵的面积为8，
∴的面积为18，
故选：D．
【变式1-1】（23-24九年级·江苏连云港·期末）已知的三条边分别为、、，若的最短边为3，则最长边为 ．
【答案】5
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】解：设最长边为x，
的三条边分别为、、，最短边为3，
，
解得，
即最长边为5，
故答案为：5．
【变式1-2】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，点P在的边上，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理．
根据相似三角形的对应角相等得到，进而根据三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：C
【变式1-3】（23-24九年级·陕西西安·期末）已知两个相似三角形的周长比为，它们的面积之差为40，那么它们的面积之和为 ．
【答案】104
【分析】本题考查相似三角形的性质．根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，列出方程，进行求解即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为，
∴它们的面积比为，
设两个三角形的面积分别为：，由题意，得：，
∴，
∴它们的面积和为：；
故答案为：104．
【题型2 运用相似三角形解决折叠问题】
【例2】（23-24九年级·安徽六安·期中）如图，在中，，，，将沿折叠，使点C落在边上处，并且，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理就可以求出AC的值，再根据轴对称的性质就可以得出，由得出就可以得出就可以求出结论．
【详解】解：∵，由勾股定理，得．
∵与关于成轴对称，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．
【变式2-1】（23-24九年级·湖北十堰·期中）如图，在平面直角坐标中，矩形的边 ，，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置， 线段恰好经过点 B，点 C落在y轴的点位置，点 E 的坐标是 ．
【答案】/
【分析】本题考查矩形的判定与性质、折叠性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质是解答的关键．先证明求得，设，分别由勾股定理求解、x值即可．
【详解】解：∵矩形的边 ，，
∴，，，， 轴，，
∴，，
∴，，
由折叠性质得，，，，
∴，则 （负值舍去），
∴，
如图，，，
∴，
设，则，
由得，
解得，
综上，点E坐标为，
故答案为
【变式2-2】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，，则 cm．
【答案】
【分析】由，可得，由菱形的性质与折叠可得，，过点E作于点G，设，则，，易证，得到，代入即可求出x的值，从而得到的长，进而在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】∵，，
∴，
由翻折可得：，
∴在菱形中，，
∵，
∴
∴在中，，
∵在菱形中，，
∴，
又由折叠有，且，
∴
过点E作于点G，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∵在菱形中，，
又，
∴，
∴，即
解得：，
∴，，
∴在中，．
故答案为：
【点睛】本题考查菱形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质．综合运用各知识点，正确作出辅助线，得到相似三角形是解题的关键．
【变式2-3】（23-24九年级·江苏淮安·期中）在矩形中，，，将矩形折叠，使点落在点处，折痕为．
图1 图2
(1)如图1，若点恰好在边上，连接，求的值；
(2)如图2，若是的中点，的延长线交于点，求的长．
【答案】(1)
(2)的长为
【分析】（1）先得出，再证明，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）过点作交于点，先得出，设，则，根据勾股定理得出，再证明，即可得出答案．
【详解】（1）在矩形中，，
，
由折叠性质得：，
，
，
，
，
；
（2）如图，过点作交于点，
∵，
，
由折叠性质得，，
，
，
设，则，
点是的中点，
，
，
，
解得：，即，
．
∵，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得，
的长为．
【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
【题型3 运用相似三角形解决三角板问题】
【例3】（2024·浙江台州·模拟预测）将一副三角板如图所示摆放，为等腰，，，，记交于E．若上有一点F满足，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．将顺时针旋转，构造全等三角形，再根据勾股定理求出的长，既可以得到答案．
【详解】解：将顺时针旋转，至，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
．
故选D．
【变式3-1】（23-24九年级·内蒙古包头·期末）如图，将一副三角板按图叠放，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的特征；根据三角板的角度可得是等腰直角三角形，设，则，根据含的直角三角形的性质，勾股定理可得，进而根据，得出，根据相似三角形的性质，即可求解；熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【详解】解：由于将一副三角板按图叠放，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
故答案为：．
【变式3-2】（23-24九年级·山东济南·期中）【问题背景】
中，，，P为上的动点，小熙拿含角的透明三角板，使角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．
【用数学的眼光观察】
（1）如图1，当三角板的两边分别交、于点E、F时，以下结论正确的是：_______；
①；②；③；④.
【用数学的思维思考】
（2）将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点E、F．与相似吗？请说明理由；
【用数学的语言表达】
（3）在（2）的条件下，动点P运动到什么位置时，？说明理由．
【答案】（1）②③④；（2）与相似，理由见解析；（3）动点P运动到中点位置时，与相似，理由见解析．
【分析】（1）找出与的对应角，其中，得出，从而解决问题；
（2）利用（1）小题证明方法可证：；
（3）动点P运动到中点位置时，与相似，同（1），可证，得，而，因此 ，进而求出，与相似．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
又∵
∴，
又∵，
∴，故③正确；
∴，故②正确；
∴，故④正确；
故答案为：②③④ ．
（2）解：；
理由：∵在中，，
∴．
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（3）解：动点P运动到中点位置时，与相似，
证明：同（1），可证，
得，
而，
因此 ．
又∵，
∴．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定．它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力．
【变式3-3】（23-24九年级·山东济南·期中）如图，把两块全等的等腰直角三角板和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，．把三角板固定不动，三角板由图1所示的位置绕点沿顺时针方向旋转，设旋转角为，其中．设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点（当三角板旋转到图3所示位置时，线段交线段于点）．
(1)如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时，______；
(2)当三角板转到如图2的位置时，的值是否改变？说明你的理由；
(3)在三角板旋转的过程中，两三角板重合部分的面积是否可能为？若可能，直接写出此时的长；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不变，
(3)或
【分析】（1）两块全等的等腰直角三角板和叠放在一起，点与三角板的斜边中点重合，其中，，，可求出，，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）是等腰直角三角形，且点是边中点，，可求出的长，是等腰直角三角形，，可证，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）由（1），（2）的结论，过点作于，根据相似三角形的性质和函数解析式得最值即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，为的垂直平分线，点与点重合，
∴，且平分，则，且，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故答案为：．
（2）解：不变，．
理由：∵是等腰直角三角形，且点是边中点，
∴在和中，，
且，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
（3）解：如图所示，过点作于，此时重叠部分为，
设为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，解方程得，，
∴，设重叠部分的面积为，
∴，
当时，代入得，，整理得，，
∵或，
∴存在使面积为，
∴或．
【点睛】本题主要考查图形变换，等腰直角三角形的性质、相似三角形相似判定与性质例，掌握图形变换时三角形相似的判定和性质是解题的关键．
【题型4 运用相似三角形解决裁剪问题】
【例4】（2024·山东菏泽·一模）包书皮是每位同学都经历过的事情，下面展示两种包书皮的方法：
方法一： 方法二：
(1)一本字典长为，宽为，高为，如果按方法一包书，将封面和封底各折进去3cm，试用含a、b、c的代数式分别表示封皮的长和宽；
(2)现有1张一角污损的矩形包书纸，如右图，矩形中，，，，．使用没有污损的部分按方法二的方式包一本长为，宽，厚为的字典．试画出一种合适的剪裁法，并写出剪裁后矩形的长和宽；
(3)在（2）的条件下，是否存在裁剪后最大的矩形也能包这本书，并说明理由．
【答案】(1)长为，宽为a
(2)答案不唯一，见详解
(3)不存在，见详解
【分析】本题考查了代数式，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，二次函数的最值，正确掌握知识点是解决本题的关键．
（1）仔细分析题意及图形特征即可求解；
（2）设，表示出，则剪裁后矩形的长和宽分别为，，取一个符合题意的x值进行裁剪即可；
（3），当时，y最大，
此时，即可说理．
【详解】（1）解：长为，宽为a
（2）解：设，由
得，
∴，
∴,
此时剪裁后矩形的长和宽分别为，，
当，则长和宽分别为，，
裁剪方式如下图：
（3）解：不存在，
设面积为y，
则，
当时，y最大，
此时，
所以，不存在．
【变式4-1】（23-24九年级·北京·期中）如图，直角三角形纸片ABC，，AC边长为10cm．现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，如果剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长是 cm．
【答案】20
【分析】根据已知可得AE=2，DE=4，，结合相似三角形性质可得，由此即可解题．
【详解】解：如图所示：
由题意可知：，，，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及正方形的性质,根据矩形的性质结合相似三角形的判定定理找出解题的关键.
【变式4-2】（2024·河南驻马店·二模）延时课上，同学们利用面积为的正方形纸板，制作一个正方体礼品盒(如图所示裁剪)．则这个礼品盒的体积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形．
设，判断出和为等腰直角三角形，证明，得到，可求出，即可得到正方体礼品盒的棱长，从而计算体积．
【详解】解：如图，在正方形中，，
设，
由此裁剪可得：和为等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
解得：(分米)，
∴(分米)，
∴正方体礼品盒的棱长为(分米)，
∴体积为(立方分米)，
故答案为：．
【变式4-3】（2024·江苏徐州·模拟预测）A4纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入(编号是)，虽然其中一些格式法国在同一时期也自行研发出来，不过之后就被遗忘了．定义了 A、B、C 三组纸张尺寸．
(1)观察发现：如图1，将纸2次折叠，发现第1次的折痕与纸较长的边重合，由此可求出纸较长边与较短边的比为 ．
(2)探究迁移；将一张纸沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点E．点E是否为的中点 请说明理由．
(3)拓展应用；利用一张纸经过裁剪获得一张边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明：G是的黄金分割点．
【答案】(1)
(2)是，理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）设纸较长边的长为a，较短边长为b，易求得第一次折痕长为，根据第1次的折痕与纸较长的边重合得到，进而可求解；
（2）设，，根据矩形和折叠性质得到，进而证得，由推导出即可；
（3）延长、相交于点P，由正方形和折叠性质以及勾股定理可求得，再根据折叠性质和等角对等边得到，证明得到，进而可求得，即可证得结论．
【详解】（1）解：设纸较长边的长为a，较短边长为b，
由题意，第一次折痕长为，
∵第1次的折痕与纸较长的边重合，
∴，即，
故答案为：；
（2）解：点E是的中点，理由如下：
由（1）得，设，，
由折叠使得点A和点C重合得，则，
∵四边形是矩形，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
即点E是的中点；
（3）解：如图，延长、相交于点P，
∵四边形是正方形，
∴，，，
由折叠性质得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴G是的黄金分割点．
【点睛】本题考查矩形与折叠性质、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、黄金分割等知识，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
【题型5 运用相似三角形解决格点问题】
【例5】（23-24九年级·江苏扬州·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点均在格点上．
(1)在图①中，______；（填两数字之比）
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在线段上找一点，使；
②如图③，在线段上找一点，使．
【答案】(1)
(2)①见解析；②见解析
【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）证明，即可求得；
（2）①如图，取格点，连接交于点，利用相似三角形的判定和性质即可得解；
②如图，取格点，连接交于点，利用相似三角形的判定即可得解．
【详解】（1）解：∵，，且，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①点如图所示，
；
②点如图所示，
．
【变式5-1】（23-24九年级·浙江温州·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，请按要求作图．
(1)在图1中画一个格点，使（相似比不为1）．
(2)在图2中画一条格点线段，交于点Q，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据相似三角形的判定，并结合网格求解；
（2）根据平行线分线段成比例定理，在网格中画出符合条件的图形．
【详解】（1）如图
（答案不唯一）
（2）如图
【点睛】本题主要考查作图－相似的变换，解题的关键在于熟练掌握相似三角形判定与性质以及平行线分线段成比例定理．
【变式5-2】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）在的方格中，是格点三角形（三角形的顶点在格点上）
(1)要求在图1的方格中，画一个与相似且相似比为整数（不为1）的格点三角形．
(2)要求在图2的方格中，画一个与相似且相似比不为整数的格点三角形．
(3)要求在图3的方格中，画一个与相似且面积最大的格点三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用勾股定理画出一个使得，且相似比为2即可；
（2）利用勾股定理画出一个使得，且相似比为即可；
（3）将的边长扩大倍，利用勾股定理画出对应的三角形即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∵，，，，
∴，
∴，
∴即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
同理可得，
∴，
∴即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求；
【点睛】本题主要考查了在网格中画相似三角形，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式5-3】（2024·江苏无锡·一模）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
(1)在图①中， ．
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在上找一点P，使．
②如图③，在上找一点P，使．
【答案】(1)
(2)图见解析
【分析】（1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论；
（2）①根据勾股定理得的长为5，利用格点，再根据相似三角形的判定及性质即可找到点P；
②作点A的对称点，连接与的交点即为要找的点P，使．
【详解】（1）解：图1中，
∵，
∴，
故答案为：．
（2）解：①在网格图②中，，
如图2所示，连接，交于点P，
∵，
∴，
解得：，
∴点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点，
连接，交于点P，
∵，
∴，
∴点P即为所要找的点．
【点睛】本题考查了作图—相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，利用格点构造相似三角形．
【题型6 运用相似三角形探究线段之间的关系】
【例6】（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当P为的中点，，时，求的长；
(3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，见解析
【分析】（1）证明对应角相等，即可得到；
（2）根据，求得的长度，从而得出长度；
（3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系．
【详解】（1）证明：如图，
四边形是矩形，
，
，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，，，
为中点，
，
设，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，即，
，
，
．
（3）解：如图，延长，交于一点，连接，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，直线，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
为中点，
设，
，
为中点，
，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，即．
【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键．
【变式6-1】（23-24九年级·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，已知正方形和正方形（其中），连接，交于点H，判断线段与的数量关系及位置关系；
（2）如图2，已知矩形和矩形，，，，将矩形绕点D逆时针旋转，连接，交于点H，（1）中线段数量关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由．
【答案】（1），；（2）不成立，，
【分析】（1）根据四边形和四边形都是正方形可证明，从而得到；根据全等三角形的性质得到即可证明；
（2）根据四边形和四边形都是矩形和，，，可证明，根据相似三角形的性质得到即可证明．
【详解】解：（1）
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，即，
∴，
∴；，
∵，，
∴，
∴，
∴；
解：（2）不成立；
如图：
∵四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴；，
∵，，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，灵活运用所学知识和找到角之间的关系是关键．
【变式6-2】（23-24九年级·广东深圳·期末）如图，四边形是菱形，点是延长线上一点，连接，分别交、于点、，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当时，判断与有何等量关系？并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据菱形的性质，可得到，，证明两三角形全等，可得到对应角相等，进而得到答案；
（2）根据已知条件可以找到两个三角形的三个对应角相等，因此可证明出相似；
（3）根据（1）（2）中的已知条件可以找到相等的边，再根据相似三角形对应边成比例可得出最终结果．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
在中，
，
∴（SAS），
∴；
（2）证明：由（1）可得，
∵四边形是菱形，点是延长线上一点，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
在中，
，
∴；
（3）解：当时，，证明如下：
由（2）可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
整理可得．
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形、相似三角形，解题的关键是找到各个角度、各个边长之间的关系．
【变式6-3】（2024·河南信阳·模拟预测）阅读理解：如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．
(1)解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证≌，得到，从而把，，转化在一个三角形中，即可判断，，之间的等量关系为______；
(2)问题探究：如图，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)问题解决：如图，，与交于点，：：，点在线段上，且，试判断，，之间的数量关系，直接写出你的结论．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，正确作出辅助性、解题的关键是灵活运用相关的性质定理和判定定理．
（1）延长交的延长线于点，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的判定得到，证明结论；
（2）延长交的延长线于点，利用同（1）相同的方法证明；
（3）延长交的延长线于点，根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质得到，计算即可．
【详解】（1）解：如图①，延长交的延长线于点，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
证明：如图②，延长交的延长线于点，
是的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
；
（3），
证明：如图③，延长交的延长线于点，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
．
【题型7 运用相似三角形解决尺规作图问题】
【例7】（2024·河北沧州·模拟预测）如图，在中，用尺规按①到③的步骤作图：
①以为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于、两点；
②分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点；
③作射线，交于点；
结论Ⅰ：线段上必有一点，使得；
结论Ⅱ：；
对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是( )
A．结论Ⅰ和结论Ⅱ都对 B．结论Ⅰ和结论Ⅱ都不对
C．结论Ⅰ对，结论Ⅱ不对 D．结论Ⅰ不对，结论Ⅱ对
【答案】A
【分析】取的内心，连接，，过点作，，，垂足分别为，，，得出，根据三角形面积公式得出，，，根据三角形三边之间的关系得出，则，即可判断结论Ⅰ正确；过点作，交于点，证明 ，得出，即可判断结论Ⅱ正确．
【详解】解：由题意得：为的平分线，
三角形的内心是三个内角平分线的交点，
的内心在上，
取的内心，连接，，过点作，，，垂足分别为，，，如图，
则，
设，
，，，
，
，
∴，
线段上必有一点，使得．
结论Ⅰ正确；
过点作，交于点，如图，
，
为的平分线，
，
，
．
∵，
，
，
．
结论Ⅱ正确．
综上，结论Ⅰ和结论Ⅱ都对．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形内心的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，角平分线上的点到两边的距离相等，相似三角形对应边成比例．
【变式7-1】（2024·四川成都·三模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，连接交边于点E；②以点E为圆心，以的长为半径作弧交边于点F．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，先证明是的垂直平分线，再通过夹角相等两边成比例证明，列式代入数值得出，即可作答．
【详解】解：连接，，如图所示：
∵分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，连接交边于点E；
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵以点E为圆心，以的长为半径作弧交边于点F．
∴
∴
∵，
∴
则
解得
故答案为：
【变式7-2】（2024·江苏镇江·二模）某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．
如图，①分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点，点；②连接，，，作射线；③以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；④连接，交于点．点即为的一个三等分点（即．
学习任务：
(1)填空：四边形的形状是 ； 你的依据是 ；
(2)证明：
【答案】(1)菱形，四条边相等的四边形为菱形
(2)见解析
【分析】本题主要考查了基本作图，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用菱形的判定与性质解答即可；
（2）利用菱形的性质，平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
【详解】（1）解：由作法可知：，
四边形的形状是菱形，
依据是：四条边相等的四边形为菱形；
故答案为：菱形，四条边都相等的四边形是菱形；
（2）证明：四边形的形状是菱形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
．
【变式7-3】（2024·辽宁抚顺·二模）如图，在中，，，，点E是边上一动点，过点E作交于点F，D为线段的中点，按下列步骤作图：①以A为圆心，适当长为半径画弧交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧的交点为G；③作射线．若射线经过点D，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了相似三角形的判定与性质．
设，先利用勾股定理计算出，则，再利用基本作图得到平分，接着证明得到，然后证明，则利用相似比得到，即，于是解方程可得到的长．
【详解】解：设，
，
，
由作法得平分，
，
，
，
，
，
∵为线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
即的长为．
故选：C．
【题型8 运用相似三角形解决动点问题】
【例8】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，中，，，，动点P从点A出发在线段上以每秒的速度向O运动，动直线从开始以每秒的速度向上平行移动，分别与交于点E，F，连接，设动点P与动直线同时出发，运动时间为t秒．当t为 时，与相似．
【答案】6或
【分析】分别用t表示OP与OE的长度，根据与都是直角，当与相似时，O与O是对应点，因此分∽与∽两种情况讨论,根据相似列方程解之即可．
【详解】解：∵动点P从点A出发在线段上以每秒的速度向O运动，，
∴AP=2tcm，OP=(20-2t)cm，
又∵动直线从开始以每秒的速度向上平行移动，
∴OE=tcm，
根据与都是直角，O与O是对应点，因此分∽与∽两种情况讨论，
当∽，即时，，
解得：，
当∽，即时，，
解得：，
综上所述：当t=6或时，与相似，
故答案时：6或．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，根据三角形相似进行讨论分析是解题的关键．
【变式8-1】（23-24九年级·河南南阳·期末）在中，，过点B作射线．动点D从点A出发沿射线方向以每秒3个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．过点E作交射线于F，G是中点，连接．设点D运动的时间为t，当与相似且点D位于点E左侧时，t的值为 ．
【答案】3或/或3
【分析】若与相似，分情况讨论，则或，由相似三角形的性质可求解．
【详解】解：如下图：
，是的中点，
．
点D位于点E左侧时，即，
，
解得：，
，
若与相似，则或，
或，
或
故答案为：3或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题．
【变式8-2】（23-24九年级·福建厦门·期末）如图，中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为
【答案】秒或4秒
【分析】此题应分两种情况讨论．（1）当△APQ∽△ABC时；（2）当△APQ∽△ACB时．利用相似三角形的性质求解即可
【详解】解：（1）当△APQ∽△ABC时，
设用时t秒，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
，则AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t．
于是=，
解得，t=
（2）当△APQ∽△ACB时，，
设用t秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
则AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t．
于是 ，
解得t=4．
故答案为：秒或4秒．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意将对应边转换，得到两组相似三角形是解题的关键．
【变式8-3】（23-24九年级·山西吕梁·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．设点P运动的时间为t秒，当△PBQ是直角三角形时，t的值为 ．
【答案】或
【分析】先由勾股定理算出AB的值，再分别用含t的式子表示出AP、BQ、BP及BQ，然后分两种情况判定△BQ1P1∽△BCA及△BP2Q2∽△BCA，之后利用相似三角形的性质列比例式计算：①当∠BQ1P1＝90°时，如图1；②当∠BP2Q2＝90°时，如图2．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3cm，
∴AB＝（cm）．
由题意可知点P运动时间t秒时，AP＝tcm，BQ＝tcm，
∴BP＝cm，BQ＝tcm，
当△PBQ是直角三角形时，有两种情况：
①当∠BQ1P1＝90°时，如图1：
∵∠C＝90°，∠BQ1P1＝90°，
∴∠C＝∠BQ1P1，
又∵∠B＝∠B，
∴△BQ1P1∽△BCA，
∴ ，
∴，
解得：t＝；
②当∠BP2Q2＝90°时，如图2：
∵∠C＝90°，∠BP2Q2＝90°，
∴∠C＝∠BP2Q2，
又∵∠B＝∠B，
∴△BP2Q2∽△BCA，
∴，
∴，
解得：t＝．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用，熟练掌握相关性质及定理、数形结合并分类讨论是解题的关键.
【题型9 运用相似三角形解决最值问题】
【例9】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在边长为4的等边三角形中，E是边上一点，且，D为边上一动点，作交边于点F，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，证明，可得，设，则，再建立二次函数求解的最大值，可得的最小值．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，，
设，则，
∵，
即，
而，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当时，有最大值，
∴有最小值为．
故答案为：．
【变式9-1】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、F分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 ．
【答案】
【分析】连接DF，先根据相似三角形判定与性质证明,得到,进而根据CD=2BD，CF=2AF，得到,根据△ABC中，AB=4，BC=5，得到当AB⊥BC时，△ABC面积最大，即可求出△AFE面积的最大值．
【详解】解：如图，连接DF，
∵CD=2BD，CF=2AF，
∴，
∵∠C=∠C，
∴△CDF∽△CBA，
∴,∠CFD=∠CAB，
∴DF∥BA，
∴△DFE∽△ABE，
∴,
∴,
∵CF=2AF，
∴,
∴,
∵CD=2BD，
∴,
∴,
∵△ABC中，AB=4，BC=5，
∴，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，为，
此时△AFE面积最大为．
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的性质与判定得到,理解等高三角形的面积比等于底的比是解题关键．
【变式9-2】（2024·河北邯郸·三模）如图，已知正方形的边长为8，点E在边上，的中点为G，绕点E顺时针旋转得，若，则：
（1）当时，的长为 ；
（2）在x的变化过程中，的最小值是 ．
【答案】 5
【分析】（1）首先根据勾股定理求出，然后得到，然后利用旋转的性质求解即可；
（2）过点F作交的延长线于点M，证明出，得到，然后代数求出，，然后利用勾股定理得到，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）∵正方形的边长为8，
∴
当时，
∴
∵的中点为G，
∴
∵绕点E顺时针旋转得，
∴；
（2）如图所示，过点F作交的延长线于点M
∵的中点为G，
∴
∵绕点E顺时针旋转得
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴，即
∴，
∴
∴
∴当时，的最小值为．
故答案为：5，．
【点睛】此题考查了二次函数的最值，相似三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
【变式9-3】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，平面内三点A、B、C，AB=8，AC=6，以BC边为斜边在BC右侧作等腰直角三角形BCD，连接AD，则的最大值是（ ）
A．98 B．100 C．72 D．70
【答案】A
【分析】以AB为斜边作等腰直角三角形 AOB，连接OD，利用相似三角形的性质得出OD，即可得出结果．
【详解】解：如图所示，以AB为斜边作等腰直角三角形 AOB，连接OD，
∵ CBD， AOB都是等腰直角三角形，
∴，，∠ABO=∠CBD=45°，
∴，∠ABC=∠OBD，
∴ ABC~ OBD，
∴，
∴，
∵AB=8，∠AOB=90°，OA=OB，
∴OA=OB=，
∵AD≤OA+OD，
∴AD≤，
AD2≤98，
故选：A．
【点睛】题目主要考查旋转变换，相似三角形的判定和性质，作出相应辅助线，构造相似三角形及确定点D的运动轨迹是解题关键．
【题型10 运用相似三角形解决多结论问题】
【例10】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，正方形中，G是边的延长线上一点，以为对角线作正方形，的延长线交对角线于点H，连接，延长交于点M．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质等等，证明得到，，进而得到，据此可判断①；证明，，即可判断②；证明，得到，进而得到，即可判断③；证明，得到，则，即，即可判断④．
【详解】解：如图所示，设交于T，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，；
∴，即，故①正确；
由正方形的性质可得，，
∴，，
由于随着点G的位置变化而变化，因此也会随着点G的位置变化而变化，
∴不一定成立，故②错误；
由正方形的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，即，故③正确；
由正方形的性质可得，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，故④正确；
故选：D．
【变式10-1】（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图，在矩形ABCD中，点是边BC的三等分点，点是边CD的中点，线段AG，AH与对角线BD分别交于点E，F．设矩形ABCD的面积为，则以下4个结论中：①；②；③；④．正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据矩形性质得到，即可得到，从而得到即可判断①②，同时根据相似即可判断对应高之比，即可判断③④，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点是边的三等分点，点是边的中点，
，
设，则，
∴，故①正确，②错误；
∵，
∴，
同理可得：，
∵，
设，则，
∴，
∴，故③正确，④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的性质和判定，平行线分线段成比例定理，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，掌握同高三角形面积等于底边比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【变式10-2】（23-24九年级·四川宜宾·期中）如图所示，在中，平分交于点交于点为的中点，交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（ ）．
A．①②③ B．①④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】此题重点考查相似三角形的判定和性质，综合性强，证明和是解决本题的关键．
① ；
②易证，得 不一定等于6；
③根据相似三角形的判定定理得出，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
④连接，可证，得；易证，得比例线段求解．
【详解】解：① ，
∵平分，
∴，
∴．
故本选项正确；
②∵，
∴，
得：，
但的值未知，故不一定正确；
③由①知，
又∵，
∴，
∴，
由②知，
故本选项正确；
④连接，则．
由得；
由得，有，
故本选项正确．
综上所述，①③④正确，共有3个．
故答案为①③④．
故选：C．
【变式10-3】（23-24九年级·山东·期末）如图，中，，平分交于点D，交于点E，M为的中点，交的延长线于点F，，．下列结论①；② ；③；④，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据，，，可判断①；先证，得，不一定，可判断②；先判断，可得，可判断③；连接，可证，得易证，得比例线段求解，即可判断④．
【详解】解：①，，
平分，
，
．故①正确；
②，，
，得，
的值不确定，故②不正确；
③由①知，
，
又，
，
，由②知，
，
．
故③正确；
④如图，连接，
在，为斜边的中线，
则．
，
，
由得；
由得，有，
．
故④正确．
综上所述，①③④正确，共有3个．
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线定义，勾股定理，直角三角形性质，平行线的性质，熟练掌握和利用相似三角形的判定和性质定理是解题关键．
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