专题27.5 图形的位似变换【十大题型】
【人教版】
【题型1 辨别位似图形】 2
【题型2 确定位似中心】 3
【题型3 由位似图形的性质判断结论正误】 4
【题型4 求位似图形的相似比】 5
【题型5 画位似图形】 6
【题型6 求位似图形的线段长度】 8
【题型7 求位似图形的周长】 9
【题型8 求位似图形的面积】 10
【题型9 求位似图形的坐标】 11
【题型10 与位似图形相关的规律】 13
知识点：图形的位似变换
1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。
注意：
a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；
b．两个位似图形的位似中心只有一个；
c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；
d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；
e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
【题型1 辨别位似图形】
【例1】（2024·河北廊坊·三模）在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下：
嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似；
淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．嘉嘉对，淇淇不对 D．嘉嘉不对，淇淇对
【变式1-1】（2024·宁夏·中考真题）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
【变式1-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④
【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）已知：，下列图形中，与不存在位似关系的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 确定位似中心】
【例2】（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【变式2-1】（23-24九年级·全国·课后作业）用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（ ）
A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置
【变式2-2】（2024·四川乐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．
【变式2-3】（2024九年级·浙江·专题练习）下列图形中位似中心在图形上的是（ ）
A．B． C． D．
【题型3 由位似图形的性质判断结论正误】
【例3】（2024·浙江金华·一模）如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC与△DEF是位似图形 B．△ABC与△DEF是相似图形
C．△ABC与△DEF的面积之比为4：1 D．△ABC与△DEF的周长之比为4：1
【变式3-1】（23-24九年级·河南洛阳·期中）下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比；⑤位似多边形的对应边平行．其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③⑤ D．②③④
【变式3-2】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是 （ ）
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．AE︰AD是位似比
D．点B与点E、点C与点D是对应位似点
【变式3-3】（23-24九年级·安徽·期中）如图，△ABC的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O为位似中心，将△ABC扩大得到△A1B1C1,且△ABC 与△A1B1C1的位似比为1 :3.则下列结论错误的是 ( )
A．△ABC∽△A1B1C1 B．△A1B1C1的周长为6+
C．△A1B1C1的面积为3 D．点B1的坐标可能是(6，6)
【题型4 求位似图形的相似比】
【例4】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是 （用图中字母表示），与该三角形的位似比为 ．
【变式4-2】（23-24九年级·山西临汾·期中）三个顶点、、，以原点为位似中心，得到的位似图形三个顶点分别为，，，则与的位似比是 ．
【变式4-3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）如图，点是等边三角形的中心，分别是，，的中点，则与是位似三角形．此时，与的位似比为 ．
【题型5 画位似图形】
【例5】（23-24九年级·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个，使它与位似，且相似比是．
(1)请画出；
(2)请直接写出各顶点的坐标；
(3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是___________．
【变式5-1】（23-24九年级·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
(1)在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的．
(2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得．
(3)在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得．
【变式5-2】（23-24九年级·陕西渭南·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点和点在格点上，是格点三角形（顶点在网格线交点上）．
(1)画出以点为位似中心的位似图形，点的对应点分别为点、和；
(2)与的周长之比为______．
【变式5-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．都是格点，点在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，将线段沿的方向平移，使点与点重合，画出平移后的线段，再将绕的中点顺时针旋转，得到，画出线段；
(2)在图2中，将以点为位似中心缩小为原来的得到，画出；
(3)在图3中，在上画一点，在上画一点，使得最小．
【题型6 求位似图形的线段长度】
【例6】（2024·浙江温州·三模）如图，矩形与矩形位似，点O是位似中心，已知，，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式6-1】（23-24九年级·河北唐山·期末）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图，是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式6-3】（23-24九年级·吉林长春·阶段练习）如图，在矩形中，，．若矩形与矩形位似，点F在矩形的内部，且相似比为，则点C、F之间的距离为 ．
【题型7 求位似图形的周长】
【例7】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）如图，以点O为位似中心，将放大得到．若，则与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·重庆·三模）如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为8，则的周长为（ ）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
【变式7-2】（23-24九年级·重庆南岸·期末）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．18
【变式7-3】（2024·四川成都·二模）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长为8，则四边形的周长为 ．
【题型8 求位似图形的面积】
【例8】（23-24九年级·浙江·期末）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的面积是25，则四边形的面积是（ ）
A．4 B．10 C． D．
【变式8-1】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在平行四边形中，以为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为，连接，，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为
【变式8-2】（2024·重庆九龙坡·一模）如图，ABC与DEF位似，点O为位似中心，已知OA：AD＝1：2，则ABC与DEF的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【变式8-3】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）如图1，正方形绕中心O逆时针旋转45°得到正方形，现将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为，若整个图形的外围周长为16，则图中的阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型9 求位似图形的坐标】
【例9】（23-24九年级·四川成都·期末）如图， 与是关于轴上一点的位似图形，若，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点 E 4, 2, F 2, 2 ，以 O 为位似中心，按 2：1 的相似比把EFO 缩小为EF O ，则点 E 的对应点 E 的坐标为 .
【变式9-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为，点E的横坐标为，则点P的坐标为 ．
【变式9-3】（2024·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍，则点A对应点的坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
【题型10 与位似图形相关的规律】
【例10】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在平面直角标系xOy中，以O为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA1B1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变换后得到等边三角形OA2B2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变换后得到等边三角形OA3B3，其边长OA3缩小为OA2的，…按此规律，经第n次变换后，所得等边出角形OAnBn．的顶点An的坐标为（，0），则n的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式10-1】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为（ ）
【变式10-2】（23-24九年级·山东青岛·课后作业）如图，正方形可看成是分别以、、、为位似中心将正方形放大一倍得到的图形（正方形的边长放大到原来的倍），由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，…，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，那么正方形的面积是多少（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（23-24九年级·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为 ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题27.5 图形的位似变换【十大题型】
【人教版】
【题型1 辨别位似图形】 2
【题型2 确定位似中心】 4
【题型3 由位似图形的性质判断结论正误】 6
【题型4 求位似图形的相似比】 9
【题型5 画位似图形】 12
【题型6 求位似图形的线段长度】 17
【题型7 求位似图形的周长】 20
【题型8 求位似图形的面积】 23
【题型9 求位似图形的坐标】 28
【题型10 与位似图形相关的规律】 31
知识点：图形的位似变换
1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。
注意：
a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；
b．两个位似图形的位似中心只有一个；
c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；
d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；
e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
【题型1 辨别位似图形】
【例1】（2024·河北廊坊·三模）在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下：
嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似；
淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．嘉嘉对，淇淇不对 D．嘉嘉不对，淇淇对
【答案】A
【分析】根据相似与位似的定义进行判断即可．
【详解】解：由题意知，嘉嘉向外扩张得到的新的正方形的边长为3，且仍为正方形，
故新正方形与原正方形相似，同时也位似，位似中心为正方形对角线的交点．
淇淇向外扩张得到的新的正方形的边长为，且仍为正方形，
故新正方形与原正方形相似，同时也位似，位似中心为正方形对角线的交点．
故两人说法正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似与位似．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式1-1】（2024·宁夏·中考真题）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
【答案】D
【分析】根据位似的定义，即可解决问题．
【详解】根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．
故选：D．
【点睛】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似的定义．
【变式1-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④
【答案】B
【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得．
【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意；
B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意；
C、①和④是位似图形，则此项不符合题意；
D、②和④是位似图形，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键．
【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）已知：，下列图形中，与不存在位似关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案．
【详解】解：、与是位似关系，故此选项不合题意；
B、与是位似关系，故此选项不合题意；
C、与是位似关系，故此选项不合题意；
D、与对应边和不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；
故选：．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．
【题型2 确定位似中心】
【例2】（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】A
【分析】本题考查了位似中心的确定，位似对应点连线的交点即为位似中心即可．
【详解】根据题意，得位似中心为点D，
故选A．
【变式2-1】（23-24九年级·全国·课后作业）用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（ ）
A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置
【答案】D
【分析】画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．
【详解】画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的.故选D.
【点睛】本题考查图形的位似，解题的关键是掌握位似图形的性质和画法.
【变式2-2】（2024·四川乐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．
【答案】
【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可．
【详解】解：如图，点为位似中心，．
故答案为：．
【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键．
【变式2-3】（2024九年级·浙江·专题练习）下列图形中位似中心在图形上的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心位置即可．
【详解】A、 ，位似中点在图形内部，不合题意；
B、 ，位似中点在图形上，符合题意；
C、 ，位似中点在图形外部，不合题意；
D、 ，位似中点在图形外部，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
【题型3 由位似图形的性质判断结论正误】
【例3】（2024·浙江金华·一模）如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC与△DEF是位似图形 B．△ABC与△DEF是相似图形
C．△ABC与△DEF的面积之比为4：1 D．△ABC与△DEF的周长之比为4：1
【答案】D
【分析】根据位似图形的性质，得出△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
【详解】解：根据位似性质可得：A、△ABC与△DEF是位似图形，故本选项正确，不符合题意；
△ABC与△DEF是相似图形，故B选项正确，不符合题意；
∵将△ABC的三边缩小到原来的，
∴△ABC与△DEF的周长之比为2：1，故D选项不正确，符合题意；
∵面积比等于相似比的平方，
∴△ABC与△DEF的面积之比为4：1，故C选项正确，不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．
【变式3-1】（23-24九年级·河南洛阳·期中）下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比；⑤位似多边形的对应边平行．其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③⑤ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．根据位似变换的概念和性质对各个选项进行判断即可．
【详解】解：相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误，不符合题意；
位似图形一定有位似中心，②正确，符合题意；
如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形，③正确，符合题意；
位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误，不符合题意．
位似多边形的对应边平行，⑤错误，不符合题意．
故选：A．
【变式3-2】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是 （ ）
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．AE︰AD是位似比
D．点B与点E、点C与点D是对应位似点
【答案】C
【详解】∵BC∥DE，且CD与BE相交于点A，
∴A、两个三角形是位似图形，正确，不合题意；
B、点A是两个三角形的位似中心，正确，不合题意；
C、AE：AC是位似比，故此选项错误，符合题意；
D、点B与点E，点C与点D是对应位似点，正确，不合题意，
故选C．
【变式3-3】（23-24九年级·安徽·期中）如图，△ABC的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O为位似中心，将△ABC扩大得到△A1B1C1,且△ABC 与△A1B1C1的位似比为1 :3.则下列结论错误的是 ( )
A．△ABC∽△A1B1C1 B．△A1B1C1的周长为6+
C．△A1B1C1的面积为3 D．点B1的坐标可能是(6，6)
【答案】C
【分析】根据位似图的性质可知，位似图形也是相似图形，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方，对应边之比等于位似比，据此判断即可.
【详解】A. △ABC∽△A1B1C1，故A正确；
B. 由图可知，AB=2-1=1，BC=2-1=1，AC=，所以△ABC的周长为2+，由周长比等于位似比可得△A1B1C1的周长为△ABC周长的3倍，即6+，故B正确；
C. S△ABC=,由面积比等于位似比的平方，可得△A1B1C1的面积为△ABC周长的9倍，即，故C错误；
D. 在第一象限内作△A1B1C1时，B1点的横纵坐标均为B的3倍，此时B1的坐标为（6,6），故D正确；
故选C.
【点睛】本题考查位似三角形的性质，熟练掌握位似的定义，以及位似三角形与相似三角形的关系是解题的关键.
【题型4 求位似图形的相似比】
【例4】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．
【详解】解：延长A′B′交BC于点E，如图．
∵在正方形ABCD中，AC＝3，
∴BC＝AB＝3，
∵点A′的坐标为（1，2），
∴OE＝1，EC＝A′E＝3﹣1＝2，
∴CE：BC＝2：3，
∵A′E∥AB，
∴△A′CE∽△ACB，
∴CA′：AC＝2：3，
∵正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，
∴AA′＝CC′，
∴AA′＝CC′＝A′C′，
∴A′C′：AC＝1：3，
∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是．
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长．
【变式4-1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是 （用图中字母表示），与该三角形的位似比为 ．
【答案】 /
【分析】利用两个位似图形的对应顶点的连线相交于一点可判断的位似图形是，然后计算与的比得到位似比．
【详解】解：以点为位似中心，的位似图形是，与的位似比为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线．
【变式4-2】（23-24九年级·山西临汾·期中）三个顶点、、，以原点为位似中心，得到的位似图形三个顶点分别为，，，则与的位似比是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了位似图形的性质．由三个顶点、、，以原点为位似中心，得到的位似图形三个顶点分别为，，，根据位似图形的性质，即可求得与的位似比．
【详解】解：∵三个顶点、、，以原点为位似中心，得到的位似图形三个顶点分别为，，，
∴ ，
，，，
∴，
∴，
∴与的位似比是：．
故答案为：．
【变式4-3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）如图，点是等边三角形的中心，分别是，，的中点，则与是位似三角形．此时，与的位似比为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的判定、位似图形与位似中心，熟记位似图形与位似中心的定义是解题关键．先根据三角形中位线定理可得，，，，得出，再根据位似中心的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，从而即可求解．
【详解】解：∵分别是，，的中点，
∴，，，，
∴，
又∵分别是，，的中点，
∴点与点，点与点，点与点的连线都经过点，
∴与是位似三角形，其位似中心是点，
∵，
∴与的位似比为，
故答案为：．
【题型5 画位似图形】
【例5】（23-24九年级·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个，使它与位似，且相似比是．
(1)请画出；
(2)请直接写出各顶点的坐标；
(3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是___________．
【答案】(1)见解析
(2)，，
(3)
【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
（1）根据位似的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
（3）由位似变换可得，点的横纵坐标分别除以，即可得点的横纵坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由图可得，，，．
（3）解：由题意可得，点的坐标为．
故答案为：．
【变式5-1】（23-24九年级·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
(1)在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的．
(2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得．
(3)在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）根据位似图形的定义，延长到点，使得，延长到点，使得，连结，可证明与位似，位似比为，所以即为所求；
（2）在点C的左侧作水平线段个单位长度，连结，在上取点N，使个单位长度，过点N沿格点线作，交于点M，根据平行线分线段成比例定理，可得，所以点M就是所求的点；
（3）过点A作，使得，点E恰为格点，过点B作，使得，点F恰为格点，与交于点D，则，同时可证得，由此即可证明，所以点D就是所求的点．
【详解】（1）如图，即为所求作的三角形；
（2）如图，点M就是所求的点；
（3）如图，点D就是所求的点．
【变式5-2】（23-24九年级·陕西渭南·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点和点在格点上，是格点三角形（顶点在网格线交点上）．
(1)画出以点为位似中心的位似图形，点的对应点分别为点、和；
(2)与的周长之比为______．
【答案】(1)作图见解析；
(2)
【分析】（）由点可得与的位似比为，再根据位似图形的性质作图即可；
（）根据位似图形的性质即可求解；
本题考查了作位似图形，位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵，
∴与的位似比为，
∴与的周长之比为，
故答案为：．
【变式5-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．都是格点，点在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，将线段沿的方向平移，使点与点重合，画出平移后的线段，再将绕的中点顺时针旋转，得到，画出线段；
(2)在图2中，将以点为位似中心缩小为原来的得到，画出；
(3)在图3中，在上画一点，在上画一点，使得最小．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）利用平移性质可画出，利用平行四边形的性质，连接和的中点并延长交于点，即可得到答案；
（2）根据位似图形的性质得到，，取中点和上一点，连接并确定其中点，取上一点，连接并延长，根据“对角线相互平分的四边形为平行四边形”可作平行四边形，连接并延长交于点，根据平行线分线段成比例得到点为的中点，则即为所求作；
（3）首先确定点关于的对称点：取格点，连接，，交于点，连接并延长交于点，根据全等三角形的性质以及垂直平分线的判定，可知点关于对称；过点作的垂线，确定点：取格点，使得为等腰三角形，连接确定点，连接并延长确定点，连接并延长，交于点，交于点，连接，即可获得答案．
【详解】（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查基本作图，涉及平移性质、位似图形性质、中心对称图形性质、轴对称图形性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例性质、垂线段最短等知识，熟知网格特点，熟练掌握基本作图所涉及到的知识点的运用是解答的关键．
【题型6 求位似图形的线段长度】
【例6】（2024·浙江温州·三模）如图，矩形与矩形位似，点O是位似中心，已知，，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】先由可得，再由矩形与矩形位似可得，最后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵矩形与矩形位似，
∴
∵，
∴．
故选C．
【点睛】本题主要考查了位似的性质，根据题意得到是解答本题的关键．
【变式6-1】（23-24九年级·河北唐山·期末）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了位似变换，根据位似图形的性质，即可判断，正确掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，
∴，点、点、点三点在同一直线上， ，
∴，
故选：．
【变式6-2】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图，是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了中位线的性质和位似图形的判定与性质，通过中位线的性质得出，再证明，得出相似比为，即可得到，从而得出答案，熟练掌握位似图形的判定与性质是解题的关键．
【详解】 是的中位线，是的中位线，
，，
，，，
，
相似比为，
，
，
，
故选：B．
【变式6-3】（23-24九年级·吉林长春·阶段练习）如图，在矩形中，，．若矩形与矩形位似，点F在矩形的内部，且相似比为，则点C、F之间的距离为 ．
【答案】
【分析】连接AC，先由勾股定理求得AC=4，再根据矩形与矩形位似，点F在矩形的内部，且相似比为，得，即可求出AF长，然后由CF=AC-A即可求解．
【详解】解：如图，连接AC，
∵矩形，
∴∠B=90°
∴AC=，
∵矩形与矩形位似，点F在矩形的内部，且相似比为，
∴点F在AC上，
∴，即，
∴AF=3，
∴CF=AC-AF=4-3=，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
【题型7 求位似图形的周长】
【例7】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）如图，以点O为位似中心，将放大得到．若，则与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意求出与的位似比，得到相似比，周长之比等于相似比．
【详解】解：以点O为位似中心，将放大得到，
∴，
∵，
∴，
∴与的位似比为，
∴与的周长之比为．
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长之比等于相似比．
【变式7-1】（2024·重庆·三模）如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为8，则的周长为（ ）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了位似变换，利用位似的性质得，，然后根据相似三角形的性质解决问题，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
【详解】解：与位似，点为位似中心．
，
，
的周长的周长，
的周长为8
的周长为4．
故选：D．
【变式7-2】（23-24九年级·重庆南岸·期末）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．18
【答案】B
【分析】由与是位似图形，且知与的位似比是，从而得出周长：周长，由此即可解答．
【详解】解：∵与是位似图形，且，
与的位似比是．
则周长：周长，
∵△ABC的周长为2，
∴周长
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长比等于相似比．
【变式7-3】（2024·四川成都·二模）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长为8，则四边形的周长为 ．
【答案】28
【分析】根据位似的性质，得到，推出，进而求出四边形与四边形的相似比，利用周长比等于相似比，进行求解即可．
【详解】∵，
∴，
∵四边形与四边形是位似图形，
∴四边形四边形，，
∴，
∴，
∴四边形的周长∶四边形的周长，
∵四边形的周长是8，
∴四边形的周长为28，
故答案为：28．
【点睛】本题考查位似图形，相似三角形的判定和性质．熟练掌握位似图形的性质，证明三角形相似，是解题的关键．
【题型8 求位似图形的面积】
【例8】（23-24九年级·浙江·期末）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的面积是25，则四边形的面积是（ ）
A．4 B．10 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了位似图形的性质，比例的性质，相似多边形的性质；先根据位似的性质得到，四边形与四边形相似，，再利用比例的性质得，然后根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解即可；掌握性质，能根据性质求出相似比是解题的关键.
【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，
，
四边形与四边形相似，
，
，
，
，
解得：；
故选：A．
【变式8-1】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在平行四边形中，以为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为，连接，，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为
【答案】/
【分析】此题考查了位似的性质，相似三角形的判定和性质．连接，根据平行四边形的性质先求出，由证得，求出，据此求解即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵四边形是平行四边形，面积为20，
∴，
∵和是以B为位似中心的位似图形，
∴点A、P、C在同一条直线上，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴与的面积之和为．
故答案为：．
【变式8-2】（2024·重庆九龙坡·一模）如图，ABC与DEF位似，点O为位似中心，已知OA：AD＝1：2，则ABC与DEF的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【答案】D
【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵OA：AD＝1：2，
∴OA：OD＝1：3，
∵△ABC与△DEF位似，
∴AB∥DE，
∴△OBA∽△OED，
∴，即△ABC与△DEF的相似比为，
∴△ABC与△DEF的面积比＝＝，
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【变式8-3】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）如图1，正方形绕中心O逆时针旋转45°得到正方形，现将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为，若整个图形的外围周长为16，则图中的阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正方形的性质及旋转性质可得，且为等腰直角三角形，可以推出，可以计算出图2中整个图形面积为，通过位似图形的性质可得图2中间空白部分面积为：，最后求出阴影部分的面积即可．
【详解】如图，
∵正方形绕中心O逆时针旋转45°得到正方形，整个图形的外围周长为16，
∴，且为等腰直角三角形，
∴，
∴图2中整个图形面积：
∵将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为，
∴图2中间空白部分面积为：
图2中阴影部分面积为：
故选：C
【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、位似图形等几何知识点及其应用；应牢固掌握旋转变换的性质、正方形的性质等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．
【题型9 求位似图形的坐标】
【例9】（23-24九年级·四川成都·期末）如图， 与是关于轴上一点的位似图形，若，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键，直接利用位似图形的性质得出，进而得出答案．
【详解】解：如图所示，连接，交于点，
∵对应点和的坐标分别为，，
∴，，，，，
由题意可得：，
∴，
∴，
解得：，
∴位似中心到点的距离是1，
∴位似中心的坐标为，
故选：B．
【变式9-1】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点 E 4, 2, F 2, 2 ，以 O 为位似中心，按 2：1 的相似比把EFO 缩小为EF O ，则点 E 的对应点 E 的坐标为 .
【答案】（2，-1）或（-2，1）．
【分析】由在直角坐标系中，点E（-4，2），F（-2，-2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O，利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E′的坐标．
【详解】解：∵点E（-4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O，
∴点E的对应点E′的坐标为：（2，-1）或（-2，1）．
故答案为（2，-1）或（-2，1）．
【点睛】此题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意熟记位似图形的性质是解此题的关键．
【变式9-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为，点E的横坐标为，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据位似图形的概念得到，求出，再证明，得到，即可求出，得到答案．
【详解】∵四边形为矩形，点B的坐标为，
∴，
∵点E的横坐标为，
∴
∵矩形与矩形是位似图形，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出是解题的关键．
【变式9-3】（2024·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍，则点A对应点的坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【分析】根据题意可得，如图：过A作轴于C，再根据等边三角形的性质可得，即可确定点，再根据题意可得与位似为2比1，然后根据位似变换的性质进行计算即可解答．
【详解】解：∵等边三角形的顶点，
∴，
过A作轴于C，
∵是等边三角形，
∴
∴
∵与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍，
∴与位似比为2比1，
∴点A的对应点的坐标是或．
故选：D．
【点睛】本题考查主要考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
【题型10 与位似图形相关的规律】
【例10】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在平面直角标系xOy中，以O为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA1B1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变换后得到等边三角形OA2B2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变换后得到等边三角形OA3B3，其边长OA3缩小为OA2的，…按此规律，经第n次变换后，所得等边出角形OAnBn．的顶点An的坐标为（，0），则n的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质求出点A的坐标，根据位似变换的性质总结规律，代入计算即可．
【详解】∵△OAB是等边三角形，边长为8，
∴点A的坐标为（8，0），
由位似变换的性质可知，点A1的坐标为（8×，0），即（4，0），
点A2的坐标为（8×，0），即（2，0），
由题意得，8×=，
解得，n=11，
故选D．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握等边三角形的性质、位似变换的性质是解题的关键．
【变式10-1】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是位似变换、点的变化规律．根据当、、的坐标的变化情况，总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：，，，，，
，
，
的坐标为，即，
故选：A．
【变式10-2】（23-24九年级·山东青岛·课后作业）如图，正方形可看成是分别以、、、为位似中心将正方形放大一倍得到的图形（正方形的边长放大到原来的倍），由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，…，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，那么正方形的面积是多少（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据每次变换后，正方形的边长放大3倍，可得出作2005次变换后的正方形的边长为 ，从而计算面积即可.
【详解】因为ABCD的面积为1，所以AB=BC=CD=DA=1，一次变换后正方形的边长为3=3，二次变换后正方形的边长为：9=，三次变换后正方形的边长为：27=，…n次变换后正方形的边长为：，故作2005次变换后的正方形的边长为，
此时正方形的面积为：，
故选C.
【点睛】本题考查了位似变换的知识，根据每次变换后边长放大3倍，得出2005次变换后正方形的边长是解题关键.
【变式10-3】（23-24九年级·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为 ．
【答案】
【分析】先根据位似比求出，再证明，得到，，，，同理证明，得到，从而得到正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，……，据此发现规律即可得到答案．
【详解】解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
，
正方形的边长为，
，
，
正方形的边长为，
，
，
同理可得，
，
，
正方形的边长为，
正方形的面积为，
正方形的面积为，
正方形的面积为，
……
∴正方形的面积是．
故答案为：．
【点睛】本题为位似的实际应用，考查了位似比，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，理解题意，根据相似三角形和正方形的知识分别求出正方形的边长，从而表示出正方形的面积并发现规律是解题关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
