专题26.1 反比例函数的图象【十大题型】
【人教版】
【题型1 用反比例函数描述数量关系】 1
【题型2 反比例函数的概念】 3
【题型3 反比例函数图象上点的坐标特征】 5
【题型4 判断反比例函数图象】 7
【题型5 由反比例函数图象的对称性求值】 10
【题型6 由反比例函数的图象求比例系数】 14
【题型7 由比例系数求图形的面积】 18
【题型8 由图形的面积求比例系数】 22
【题型9 反比例函数图象中的规律探究】 27
【题型10 反比例函数图象中的存在性问题】 32
知识点1：反比例函数的定义
一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数。
自变量的取值范围是不等于0的一切实数。
【题型1 用反比例函数描述数量关系】
【例1】（23-24八年级山东烟台·期末）下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（ ）
A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系
B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系
C．压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系
D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，对于两个变量，若它们的乘积一定，则这两个变量是反比例函数关系，据此可得答案．
【详解】解：A、由题意得，，则时间与跑步平均速度之间的关系是反比例函数，不符合题意；
B、由题意得，，则长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系是反比例函数，不符合题意；
C、由题意得，，则一定时，压强与受力面积之间的关是反比例函数，不符合题意；
D、由题意得，（l为一边长，h为该边上的高），则l一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系不是反比例函数，符合题意；
故选：D
【变式1-1】（23-24八年级·河北保定·期末）建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方，则土石方日运送量与完成运送任务所需时间（天）满足（ ）
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
【答案】A
【分析】根据题意，列出函数关系式，进行作答即可．本题考查反比例函数的实际应用．读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，
∴V与t满足反比例函数关系．
故选：A．
【变式1-2】（23-24八年级·河南洛阳·期中）如果三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积．那么下列说法错误的是（ ）
A．当a为定长时，S是h的一次函数 B．当h为定长时，S是a的一次函数
C．当S确定时，a是h的一次函数 D．当S确定时，h是a的反比例函数
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义：一般地，形如（k、b为常数，），那么y叫做x的一次函数；反比例函数定义：一般地，形如(k为常数，)的函数称为反比例函数．根据一次函数和反比例函数定义进行求解即可．
【详解】解：三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积，
A．当a为定长时，S是h的一次函数，正确，不符合题意；
B．当h为定长时，S是a的一次函数，正确，不符合题意；
C．当S确定时，a是h的反比例函数，原说法错误，符合题意；
D．当S确定时，h是a的反比例函数，正确，不符合题意．
故选：C．
【变式1-3】（23-24八年级·安徽宣城·期末）已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求当时，y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是正比例与反比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握待定系数法是解本题的关键；
（1）由题意可设设，，再利用待定系数法求解即可；
（2）把代入（1）中所求函数解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：设，，
则
当时，；当时，．
解得：
（2）当时，．
【题型2 反比例函数的概念】
【例2】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的反比例函数，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了反比例函数，形如的函数是反比例函数，根据反比例函数的定义得到，，即可求得m的值．
【详解】解：∵是反比例函数，
∴，，
∴，
故答案为：
【变式2-1】（23-24八年级·江苏淮安·阶段练习）已知反比例函效，则k不可以取下列的哪个值（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数定义即可求解．
【详解】解：，
，即，
故选：C．
【变式2-2】（23-24八年级·全国·假期作业）下列函数中是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的定义和方程式的变形，反比例函数解析式的一般形式，也可转化为的形式，特别注意不要忽略这个条件．根据反比例函数：解析式的一般形式，也可转化为的形式，可得答案．
【详解】解：A、是正比例函数，故A不合题意；
B、是反比例函数，故B符合题意；
C、是一次函数，不是反比例函数，故C不合题意；
D、不是反比例函数，故D不合题意；
故选：B．
【变式2-3】（23-24·江苏盐城·模拟预测）（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？
（2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？
【答案】（1），y是x的反比例函数；（2），y是x的反比例函数
【分析】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的定义，一般地，形如，其中k是常数的函数叫做反比例函数：
（1）根据题意结合“质量单价总价”列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可；
（2）根据“放水时间放水速度蓄水量” 列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可．
【详解】解：（1）由题意得：，
∴，
∴y是x的反比例函数；
（2）由题意，得，
∴y是x的反比例函数．
【题型3 反比例函数图象上点的坐标特征】
【例3】（23-24·河北石家庄·模拟预测）已知y是x的反比例函数，如表给出了x与y的一些值．
x 2 4
y 3 ▲
（1）反比例函数的比例系数是 ．
（2）表中“▲”处的数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数关系式及反比例函数图像上的点与反比例函数解析式的对应关系，
（1）设出反比例函数的解析式为：，把，代入求解即可得到k值；
（2）将代入求解即可．
【详解】设反比例函数解析式为
将，代入得，
∴反比例函数的比例系数是；
（2）∵
∴
当时，，
∴中“▲”处的数为．
故答案为：，．
【变式3-1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）点在反比例函数的图像上，则m的值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标符合函数的解析式．将点代入反比例函数，即可求出m的值．
【详解】解：把代入得：，
解得，
故答案为：．
【变式3-2】（23-24·陕西咸阳·三模）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数的图象上点的特征，掌握反比例函数图象上点的坐标之积等于是解题的关键．因为、都在反比例函数的图象上，可知，，把已知代入可求得的值．
【详解】解：点，都在反比例函数的图象上，
，，
，
且，
．
故答案为：．
【变式3-3】（23-24八年级·江苏扬州·期末）已知反比例函数的图像经过点，则 这个函数图像上．（填“在”或“不在”）
【答案】在
【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，根据反比例函数图像上点的坐标满足函数解析式求得k值，然后将点B坐标代入函数解析式中验证即可．
【详解】解：∵反比例函数的图像经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当时，，则点B在反比例函数的图像上，
故答案为：在．
知识点2：反比例函数的图象与性质
1、图象：由两条曲线组成（双曲线）
2、性质：
函数 图象 所在象限 增减性
三象限 在同一象限内，随的增大而减小
四象限 在同一象限内，随的增大而增大
越大，函数图象越远离坐标原点
【题型3 由反比例函数解析式判断其性质】
【题型4 判断反比例函数图象】
【例4】（23-24八年级·湖南岳阳·期末）如图所示，该函数表达式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键，由图象可知，反比例函数，然后对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由图象可知，反比例函数，
A中不是反比例函数，故不符合要求；
B中是反比例函数，但不经过第二、第四象限，故不符合要求；
C中是反比例函数，经过第二、第四象限，故符合要求；
D中不是反比例函数，故不符合要求；
故选：C．
【变式4-1】（23-24八年级·江苏泰州·期末）当菱形的面积一定时，它的两条对角线的长分别为．选取组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象，先利用菱形的面积公式求出与的函数解析式，再根据的取值范围及函数的性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：设菱形的面积为，则，
∴，
∴是的反比例函数，
∵，，
∴图象分布在第一象限，的值随的增大而减小，
∴描点正确的是，
故选：．
【变式4-2】（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）如图是三个反比例函数，，在y轴右侧的图象，则，，的大小关系为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键；由图象经过的象限可得，当时，由图象可得，即，进而可求解；
【详解】由题意得：，
当时，，
，
，
故答案为：．
【变式4-3】（23-24·云南·模拟预测）定义新运算：例如：，，则的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数图象，根据新定义运算，写出函数解析式，再根据函数解析式即可判断求解，掌握反比例函数的图象是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
即为反比例函数，当时，图象在第一象限；当时，图象在第二象限；
故选：．
【题型5 由反比例函数图象的对称性求值】
【例5】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，若正方形的边长是，则图中阴影部分的面积等于 ．
【答案】1
【分析】设反比例函数解析式，由题意可得：点坐标为：，根据正方形与反比例函数中心对称的性质，即可求解．
【详解】解：设反比例函数解析式，
由题意可得：点坐标为：，
故图中阴影部分的面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，的几何意义，中心对称的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
【变式5-1】（23-24·辽宁鞍山·一模）如图，直线与双曲线交于A，B两点，若，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的对称性进行求解即可．
【详解】解：∵直线与双曲线交于A，B两点，
∴点A和点B关于原点对称，
把代入到中得：，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的对称性，反比例函数与一次函数的交点问题，正确得到点A和点B关于原点对称是解题的关键．
【变式5-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，点是反比例函数的图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为 ．
【答案】
【分析】首先根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：，即可求得圆的半径，再根据两点间距离公式，可得，据此即可求解．
【详解】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：，
解得：．
∵点是反比例函的图象与的一个交点．
且，
．
，
则反比例函数的解析式是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，勾股定理，求反比例函数的解析式，熟练掌握和运用反比例函数图象的性质是解决本题的关键．
【变式5-3】（23-24八年级·江苏无锡·期末）如图，过原点的直线交反比例函数图象于P、Q点，过点Р分别作x轴，y轴的垂线，交反比例函数的图象于A、B点，已知，则图中阴影部分的面积为 ；且当时，的值为 ．
【答案】 6
【分析】连接OA，OB，延长BP交x轴于点C，易求，
由P，Q关于与原点成中心对称，得OP=OQ，利用等底同高的三角形的面积相等可得，易求，同理可得：所以．设点C（m，0）m＞0．则P（m，），A（m，），B（），即可求得AP＝，利用三角形面积公式得到，解得a＝1．5，进一步求得．
【详解】
连接PQ，OA，OB，延长BP交x轴于点C，
设点C对应的数为m，m＞0.则P（m，），B（m，）
∴OC=m，PC=，BC=
∴，
∴
∵P、Q关于原点成中心对称，
∴OP=OQ
∴
∴
同理可得：
所以
设点C（m，0）m＞0．
则P（m，），A（m，），B（，），
∴AP＝，
∵S△APB＝3，
∴
∴a＝，
∵b a＝3，∴b＝，
故答案为：6，．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，关于原点对称的点的坐标的性质，三角形的面积．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
【题型6 由反比例函数的图象求比例系数】
【例6】（23-24八年级·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是掌握反比例函数图象离坐标轴越远，k的绝对值越大．
根据点A和点C的坐标，得出k的取值范围，即可解答．
【详解】解：∵该反比例函数位于第一象限的图象低于点，
∴，
∵该反比例函数位于第三象限的图象低于点，
∴，
∴，
∴k的值可能是3，
故选：C．
【变式6-1】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，，若点点点的坐标分别为，则k的值是 ．
【答案】9
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式是解题的关键．
设，如图，连接交于点，则，，即，，可求，，则，由反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，，可得，计算求解即可．
【详解】解：设，
如图，连接交于点，
∴，，
∴，，
解得，，，
∴，
∵反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，，
∴，
解得，，，
故答案为：9．
【变式6-2】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，，若点点点的坐标分别为，则k的值是 ．
【答案】9
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式是解题的关键．
设，如图，连接交于点，则，，即，，可求，，则，由反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，，可得，计算求解即可．
【详解】解：设，
如图，连接交于点，
∴，，
∴，，
解得，，，
∴，
∵反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，，
∴，
解得，，，
故答案为：9．
【变式6-3】（23-24八年级·广西南宁·阶段练习）如图，点A的坐标是，点B的坐标是，C为的中点，将绕点B逆时针旋转后得到．若反比例函数的图像恰好经过的中点D，则 ．
【答案】15
【分析】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征、坐标与图形的变化旋转等知识点，学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
如图：作轴于H,证明，推出，求出点、坐标，最后代入即可解答．
【详解】解：作轴于H．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点A的坐标是，点B的坐标是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵反比例函数的图像经过点D，
∴．
故答案为：15．
知识点3：反比例函数比例系数k的几何意义
如图，在反比例函数上任取一点，过这一点分别作轴，轴
的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积
【题型7 由比例系数求图形的面积】
【例7】（23-24八年级·浙江台州·期末）如图，正六边形的顶点在轴上，边与轴重合．反比例函数的图象经过正六边形的中心，则正六边形的面积等于 ．
【答案】9
【分析】此题主要考查了正多边形与反比例函数的应用，正确得出G点坐标是解题关键．设正六边形的边长为，连接，，，过点作于点，根据正六边形的性质得到，进而得到点的坐标为，将点的坐标代入，得，根据即可求解．
【详解】解：设正六边形的边长为．
如图，连接，，，过点作于点，
则，，
，
点的坐标为．
的图象经过点，
将点的坐标代入，得，
解得，
．
【变式7-1】（23-24八年级·广东揭阳·期末）如图，是反比例函数图象上两点，和都与坐标轴垂直，垂足分别为与交于点，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义、反比例函数的性质，求出，，得到，，，由是反比例函数图象上两点得到，再根据，进行计算即可得出答案，熟练掌握反比例函数的的几何意义与反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接、，作轴于，
，
，是反比例函数图象上两点，
，，即，，
，，，
是反比例函数图象上两点，
，
，
故选：D．
【变式7-2】（23-24八年级·湖南邵阳·期末）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C、D，连接，则四边形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．24
【答案】C
【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即，得出，再根据反比例函数的对称性可知，即可求出四边形的面积．
【详解】解：∵过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形的面积为：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为；图象上的点与原点所连的线段、 坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即，是经常考查的一个知识点；同时考查了反比例函数图象的对称性．
【变式7-3】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积之差为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差公式，根据和都是等腰直角三角形可得出、，设，，则点的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出，再根据三角形的面积即可得出与的面积之差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
设，，
则点的坐标为，
∵反比例函数在第一象限的图象经过点，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型8 由图形的面积求比例系数】
【例8】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，点是内一点，轴，轴，，，，若反比例函数的图像经过、两点，则的值是 ．
【答案】
【分析】根据三角形面积公式求得，易证得≌，得出，根据题意得出是等腰直角三角形，得出，设，则有D根据反比例函数的定义得出关于的方程，解方程求得，即可求得．
【详解】解：作轴于，延长，交于，设与轴的交点为，
四边形是平行四边形，
，，
，
轴，
，
，
与轴平行，与轴平行，
，，
，
≌（AAS），
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
的纵坐标为，
设，则，
反比例函数的图像经过、两点，
，
解得：，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出、的坐标是解题的关键．
【变式8-1】（23-24八年级·山东威海·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点分别在轴、轴上，点在函数的图象上，边与函数的图象交于点，已知阴影部分的面积为，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，根据反比例函数的几何意义分别求出矩形和的面积，根据阴影部分的面积为，可得关于的一元一次方程，解方程后结合反比例函数的性质即可求解，掌握是解题的关键．
【详解】解：∵点在函数的图象上，
∴，
∵点在函数的图象上，
∴，
∵阴影部分的面积为，
∴，
∴，
∴，
∵函数的图象位于第二象限，
∴，
∴，
故选：．
【变式8-2】（23-24八年级·辽宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，对角线轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，若点，，则的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出点坐标是解题的关键．根据平行于轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设．利用矩形的性质得出为中点，．根据线段中点坐标公式得出．由勾股定理得出，列出方程，求出，得到点坐标，利用待定系数法求出．
【详解】解： 轴，，
、两点纵坐标相同，都为2，
可设．
矩形的对角线的交点为，
为中点，．
．
，
，
，，，
，
解得，
．
反比例函数的图象经过点，
．
故答案为：5．
【变式8-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，BCx轴．AD与y轴交于点E，反比例函数 y＝（x＞0）的图象经过顶点 C、D．已知点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为 ．
【答案】/
【分析】由已知可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．
【详解】解：过点D作DF⊥BC于F，
由已知，BC＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC＝5，
∵BE＝2DE，
∴设DE＝x，则BE＝2x，
∴DF＝2x，BF＝x，FC＝5﹣x，
在Rt△DFC中，
DF2+FC2＝DC2，
∴（2x）2+（5﹣x）2＝52，
解得x1＝2，x2＝0（舍去），
∴DE＝2，FD＝4，
设OB＝a，
则点D坐标为（2，a+4），点C坐标为（5，a），
∵点D、C在双曲线上，
∴k＝2×（a+4）＝5a，
∴a＝，
∴k＝5×＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出DE的长度是本题的关键．
【题型9 反比例函数图象中的规律探究】
【例9】（23-24·河北张家口·二模）如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据题意得出P1点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P2，P3的坐标，找出规律即可得出结论．
【详解】解：∵正方形OAP1B的边长为1，点P1在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴P1（1，1），
∴k=1，
∴在反比例函数的解析式为：y=，
∵B1是P1A的中点，
∴P2A1=AB1=，
∴OA1=2，
∴P2（2，），
同理，P3（22，），
…
∴Pn（2n-1，）．
当时，则有
的坐标为：（，）
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，找出规律是解题的关键．
【变式9-1】（23-24·湖北武汉·模拟预测）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂，测量出相应的动力数据如下表：动力动力臂阻力阻力臂
动力臂()
动力()
请根据表中数据规律探求，当动力臂长度为时，所需动力最接近的是( )
A．300N B．180N C．150N D．120N
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，由表格可知动力臂与动力成反比的关系，设，将代入得出，再令，计算即可得解，解题的关键是从表格中得出动力臂与动力成反比的关系．
【详解】解：由表格可知动力臂与动力成反比的关系，
设，
将代入得：，
解得：，
，
把代入得：，
解得：，
故选：C．
【变式9-2】（23-24·辽宁·一模）如图，点在直线上，过点作交直线于点，以为边在外侧作等边三角形，过的反比例函数为；再过点作，分别交直线和于两点，以为边在外侧作等边三角形，过的反比例函数为，…，按此规律进行下去，则第个反比例函数的 ．（用含的代数式表示）
【答案】或
【详解】解：直线 与x轴夹角为30°，
直线与x轴夹角为60°，
∴ 与的夹角30°，
∵，
∴
∵等边三角形，
∴⊥x轴，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴的横坐标
的纵坐标
∴
∴
以此得到 的横坐标
的纵坐标
∴
故答案为
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象及性质，平面内点的坐标特点；能够通过直角三角形中30°的特点，求出边的关系是解题的关键．
【变式9-3】（23-24八年级·湖南·阶段练习）如图，在反比例函数的图象上有、B两点，连接，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知，点是的中点，连接，得到；点是的中点，连接，得到；……按照此规律继续进行下去，则的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，先求出，得到，，，进而求出，得到，则，根据梯形面积公式求出，再分别求出 ，，进而得到规律，，则．
【详解】解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵轴，
∴点B的纵坐标为1，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
……，
以此类推可知，，，
∴，
故答案为：．
【题型10 反比例函数图象中的存在性问题】
【例10】（23-24八年级·河南周口·期末）如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点．
(1)的值为______．
(2)将正方形分别沿直线，翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点，，连接，，．
①求的面积；
②在轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)①；②存在，点的坐标为或
【分析】（1）根据坐标与图形、正方形的性质得到点B坐标，然后代入求解即可；
（2）①根据轴对称性质和反比例函数图象上点的坐标特征求得点E、F的坐标，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，则有，进而求解即可；
②设，分三种情况：若、若、若，利用两点坐标距离公式和勾股定理列方程，然后解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是面积为4的正方形，
∴，则,
将代入中，得；
（2）解：①根据翻折性质，得，
∴点E的横坐标为4，点F的纵坐标为4，
∵点E、F在函数的图象上，
∴当时，，当，，
∴，，
过F作轴于H，则，
∴；
②存在．设，
∴，
，
，
∵为直角三角形，
∴分三种情况：
若，则，
∴，解得，
∴；
若，则，
∴，即，
∵，
∴该方程无解，即P不存在；
若，则，
∴，解得，
∴，
综上，满足条件的点的坐标为或．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合，涉及待定系数法求函数解析式、反比例函数比例系数k的几何意义、坐标与图形、正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、解方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
【变式10-1】（23-24八年级·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，，有一反比例函数图象刚好过点．
(1)分别求出过点的反比例函数和过，两点的一次函数的表达式．
(2)动点在射线（不包括点）上，过点作直线轴，交反比例函数图象于点．是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或或
【分析】本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握待定系数法求解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质，菱形的性质等知识是解题的关键．
（1）根据题意分别求出点，点和点的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据函数解析式设出点和点的坐标，若以点，，，为顶点的四边形为菱形则点在直线上，且，据此等量关系列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，，
设过点的反比例函数解析式为，
代入点坐标得，，
解得，
过点的反比例函数的解析式为，
设直线的解析式为，
代入点和点坐标得，，
解得，
过，两点的一次函数的表达式为；
（2）存在，
设，则，
①若以点，，，为顶点的四边形为菱形，则点在直线上，且，
，
整理得，
解得或，
当时，，
此时，
即；
当时，，
此时，
即；
②若以点，，，为顶点的四边形为菱形，则点在直线上，且与互相垂直平分，
则点的纵坐标为3，且，
解得，
，
，
，
综上所述，若以点，，，为顶点的四边形为菱形，则点的坐标为或或．
【变式10-2】（23-24·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，其中点A的坐标为．
(1)求反比例函数的函数表达式和点B的坐标．
(2)若是A点关于原点的对称点，连接，求的面积．
(3)连接，将线段绕点O顺时针旋转交反比例函数的图像于点C，D是x轴上一点，是否存在这样的点D，使得以O、C、D为顶点，为腰的等腰三角形？若存在，请写点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，．
(2)8
(3)
【分析】（1）将代入可求出m值，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出直线与x轴的交点E的坐标，再依据并代入数据计算即可；
（3）如图：先根据勾股定理可得，如图：过A作，过作轴，则，进而得到，再结合勾股定理可得，即，则；设的坐标为，可列出方程组可得，进而得出直线解析式为，再与双曲线联立求得点C的坐标，求得，最后根据等腰三角形性质确定符合题意的点D坐标即可．
【详解】（1）解：∵点在一次函数的图像上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为
联立方程组得：，解得或．
∴．
（2）解：如图1，连接，延长交反比例函数图像于点，直线交x轴于点E，
∵是A点关于原点的对称点，
∴，
在直线中，当时，，
∴，即，
∴，
根据反比例函数的图像关于原点成中心对称图形，
∴，
∴．
（3）解：如图：存在这样的点D，点D位置有三处：
∵，
∴，
如图：过A作，过作轴，
∵线段绕点O顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴
∴,
设的坐标为，
∴①，
∵，
∴②，
联立，解得：（舍弃负值），
∴，
∴直线解析式为，
∵直线与反比例函数图像交于点C，
∴直线解析式为，
∴，解得：或（不合题意舍弃），
∴，
∴，
如图：当为等腰三角形，则，即；
当为等腰三角形，则，即；
当为等腰三角形，过C作轴，则，
∵，
∴，即；
∴．
【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合应用、正切的性质、等腰三角形的性质、坐标与图形、勾股定理等知识点，熟练掌握反比例函数与几何图形的综合应用是解答本题的关键．
【变式10-3】（23-24八年级·浙江温州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上．
(1)求反比例函数表达式．
(2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长．
(3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，正方形的性质与平行四边形的性质；
（1）把代入，即可求解；
（2）设，，根据，，为对角线，利用中点坐标公式，即可求解；
（3）根据矩形的性质可得，，得出直线的解析式为，分两种情况讨论，当在点右侧时，当在点左侧时，设，根据正方形的性质，全等三角形的性质，得出的坐标，进而代入解析式即可求解．
【详解】（1）解：∵在的图象上，
∴，
∴
（2）解：∵矩形的顶点，点为对角线的中点时，
∴为的中点，则，
∵点在直线上一点，点在反比例图象上，四边形是平行四边形，
∴，
设，
∵，，为对角线
∴
解得：
∴
∴
（3）解：∵矩形的顶点，
∴，
直线的解析式为，
将，代入得
解得：
∴直线的解析式为，
如图所示，当在点右侧时，过点作，于点，过点作于点，
∴
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴
∴
∵点为线段上的一个动点，
设 ，则,，
∴，
∴
∵在上，
∴
解得：
∴
如图所示，当在点左侧时，
同理可得，
∴
设，
∴
∴
∵在上，
∴
解得：（舍去）或
∴
综上所述，
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题26.1 反比例函数的图象【十大题型】
【人教版】
【题型1 用反比例函数描述数量关系】 1
【题型2 反比例函数的概念】 2
【题型3 反比例函数图象上点的坐标特征】 2
【题型4 判断反比例函数图象】 3
【题型5 由反比例函数图象的对称性求值】 4
【题型6 由反比例函数的图象求比例系数】 6
【题型7 由比例系数求图形的面积】 7
【题型8 由图形的面积求比例系数】 9
【题型9 反比例函数图象中的规律探究】 10
【题型10 反比例函数图象中的存在性问题】 12
知识点1：反比例函数的定义
一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数。
自变量的取值范围是不等于0的一切实数。
【题型1 用反比例函数描述数量关系】
【例1】（23-24八年级·山东烟台·期末）下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（ ）
A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系
B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系
C．压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系
D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系
【变式1-1】（23-24八年级·河北保定·期末）建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方，则土石方日运送量与完成运送任务所需时间（天）满足（ ）
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
【变式1-2】（23-24八年级·河南洛阳·期中）如果三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积．那么下列说法错误的是（ ）
A．当a为定长时，S是h的一次函数 B．当h为定长时，S是a的一次函数
C．当S确定时，a是h的一次函数 D．当S确定时，h是a的反比例函数
【变式1-3】（23-24八年级·安徽宣城·期末）已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求当时，y的值．
【题型2 反比例函数的概念】
【例2】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的反比例函数，则 ．
【变式2-1】（23-24八年级·江苏淮安·阶段练习）已知反比例函效，则k不可以取下列的哪个值（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式2-2】（23-24八年级·全国·假期作业）下列函数中是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24·江苏盐城·模拟预测）（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？
（2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？
【题型3 反比例函数图象上点的坐标特征】
【例3】（23-24·河北石家庄·模拟预测）已知y是x的反比例函数，如表给出了x与y的一些值．
x 2 4
y 3 ▲
（1）反比例函数的比例系数是 ．
（2）表中“▲”处的数为 ．
【变式3-1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）点在反比例函数的图像上，则m的值为 ．
【变式3-2】（23-24·陕西咸阳·三模）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为 ．
【变式3-3】（23-24八年级·江苏扬州·期末）已知反比例函数的图像经过点，则 这个函数图像上．（填“在”或“不在”）
知识点2：反比例函数的图象与性质
1、图象：由两条曲线组成（双曲线）
2、性质：
函数 图象 所在象限 增减性
三象限 在同一象限内，随的增大而减小
四象限 在同一象限内，随的增大而增大
越大，函数图象越远离坐标原点
【题型4 判断反比例函数图象】
【例4】（23-24八年级·湖南岳阳·期末）如图所示，该函数表达式可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24八年级·江苏泰州·期末）当菱形的面积一定时，它的两条对角线的长分别为．选取组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）如图是三个反比例函数，，在y轴右侧的图象，则，，的大小关系为 ．
【变式4-3】（23-24·云南·模拟预测）定义新运算：例如：，，则的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 由反比例函数图象的对称性求值】
【例5】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，若正方形的边长是，则图中阴影部分的面积等于 ．
【变式5-1】（23-24·辽宁鞍山·一模）如图，直线与双曲线交于A，B两点，若，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，点是反比例函数的图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为 ．
【变式5-3】（23-24八年级·江苏无锡·期末）如图，过原点的直线交反比例函数图象于P、Q点，过点Р分别作x轴，y轴的垂线，交反比例函数的图象于A、B点，已知，则图中阴影部分的面积为 ；且当时，的值为 ．
【题型6 由反比例函数的图象求比例系数】
【例6】（23-24八年级·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式6-1】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，，若点点点的坐标分别为，则k的值是 ．
【变式6-2】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，，若点点点的坐标分别为，则k的值是 ．
【变式6-3】（23-24八年级·广西南宁·阶段练习）如图，点A的坐标是，点B的坐标是，C为的中点，将绕点B逆时针旋转后得到．若反比例函数的图像恰好经过的中点D，则 ．
知识点3：反比例函数比例系数k的几何意义
如图，在反比例函数上任取一点，过这一点分别作轴，轴
的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积
【题型7 由比例系数求图形的面积】
【例7】（23-24八年级·浙江台州·期末）如图，正六边形的顶点在轴上，边与轴重合．反比例函数的图象经过正六边形的中心，则正六边形的面积等于 ．
【变式7-1】（23-24八年级·广东揭阳·期末）如图，是反比例函数图象上两点，和都与坐标轴垂直，垂足分别为与交于点，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式7-2】（23-24八年级·湖南邵阳·期末）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C、D，连接，则四边形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．24
【变式7-3】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积之差为 ．
【题型8 由图形的面积求比例系数】
【例8】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，点是内一点，轴，轴，，，，若反比例函数的图像经过、两点，则的值是 ．
【变式8-1】（23-24八年级·山东威海·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点分别在轴、轴上，点在函数的图象上，边与函数的图象交于点，已知阴影部分的面积为，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式8-2】（23-24八年级·辽宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，对角线轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，若点，，则的值为 ．
【变式8-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，BCx轴．AD与y轴交于点E，反比例函数 y＝（x＞0）的图象经过顶点 C、D．已知点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为 ．
【题型9 反比例函数图象中的规律探究】
【例9】（23-24·河北张家口·二模）如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（23-24·湖北武汉·模拟预测）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂，测量出相应的动力数据如下表：动力动力臂阻力阻力臂
动力臂()
动力()
请根据表中数据规律探求，当动力臂长度为时，所需动力最接近的是( )
A．300N B．180N C．150N D．120N
【变式9-2】（23-24·辽宁·一模）如图，点在直线上，过点作交直线于点，以为边在外侧作等边三角形，过的反比例函数为；再过点作，分别交直线和于两点，以为边在外侧作等边三角形，过的反比例函数为，…，按此规律进行下去，则第个反比例函数的 ．（用含的代数式表示）
【变式9-3】（23-24八年级·湖南·阶段练习）如图，在反比例函数的图象上有、B两点，连接，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知，点是的中点，连接，得到；点是的中点，连接，得到；……按照此规律继续进行下去，则的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）
【题型10 反比例函数图象中的存在性问题】
【例10】（23-24八年级·河南周口·期末）如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点．
(1)的值为______．
(2)将正方形分别沿直线，翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点，，连接，，．
①求的面积；
②在轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式10-1】（23-24八年级·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，，有一反比例函数图象刚好过点．
(1)分别求出过点的反比例函数和过，两点的一次函数的表达式．
(2)动点在射线（不包括点）上，过点作直线轴，交反比例函数图象于点．是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式10-2】（23-24·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，其中点A的坐标为．
(1)求反比例函数的函数表达式和点B的坐标．
(2)若是A点关于原点的对称点，连接，求的面积．
(3)连接，将线段绕点O顺时针旋转交反比例函数的图像于点C，D是x轴上一点，是否存在这样的点D，使得以O、C、D为顶点，为腰的等腰三角形？若存在，请写点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式10-3】（23-24八年级·浙江温州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上．
(1)求反比例函数表达式．
(2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长．
(3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
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