第26章 反比例函数单元提升卷
【人教版】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24九年级·云南文山·期末）已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（23-24九年级·广东深圳·期末）关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（ ）
A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限
C．点和都在该图像上 D．当时，
3．（3分）（23-24九年级·广东湛江·期末）若反比例函数的图象在一、三象限，正比例函数的图象在二、四象限，则k的整数值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（3分）（23-24九年级·四川达州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，双曲线（，）经过、的中点N、F，连接、、．若，则k的值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．（3分）（23-24九年级·江苏南京·期末）函数在平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（23-24九年级·安徽安庆·阶段练习）如图，将直线向下平移m（m＞0）个单位长度后得到直线l，直线l与反比例函数的图像在第一象限内相交于点A，与x轴相交于点B，则（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
7．（3分）（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，则的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
8．（3分）（23-24九年级·浙江杭州·期末）反比例函数， 当（b，a为常数，且）时，的最小值为m，的最大值为n，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
9．（3分）（23-24九年级·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点，我们把称为点P的“和差点”．若直线上有两点A、B，它们的和差点、均在反比例函数上，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，点为坐标原点，菱形的边在轴的正半轴上，对角线、交于点，反比例函数的图象经过点和点，若菱形的面积为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24·北京·一模）某函数符合如下条件：①图象经过点（1，2）；②当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个函数表达式 ．
12．（3分）（23-24九年级·全国·单元测试）已知，，是反比例函数的图象上的三个点，则，，的大小关系是 ．
13．（3分）（23-24九年级·江苏南通·期中）如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴并交反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象于点A，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则平行四边形ABCD的面积为 ．
14．（3分）（23-24九年级·河南三门峡·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当时，△ABC的周长是 ．
15．（3分）（23-24九年级·山东潍坊·期末）如图，在反比例函数的图象上，有，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，则 ．
16．（3分）（23-24九年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24九年级·江西南昌·期末）已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式．
18．（6分）（23-24九年级·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接、．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)直接写出时，x的取值范围．
19．（8分）（23-24九年级·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点．
(1)求反比例函数的表达式和点的坐标；
(2)若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点可与点D，E重合），直接写出的取值范围．
20．（8分）（23-24九年级·四川乐山·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为，点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分．
(1)求所在的反比例函数的解析式；
(2)吴老师计划在课堂上讲解一道推理题，准备花费20分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由．
21．（8分）（23-24九年级·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，点M为x正半轴上一点，过点M的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图像交于两点，
(1)求k的值；
(2)当时，求直线OQ的解析式；
(3)在（2）的条件下，若x轴上有一点N，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的N点的坐标．
22．（8分）（23-24九年级·湖北襄阳·期末）某同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下：
（1）绘制函数图象
①列表：下表是与的几组对应值，其中____________；
1 2 3
②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整．
（2）探究函数性质
通过观察图象，写出该函数的两条性质：
①____________________________________；
②____________________________________．
（3）运用图象和函数性质
当时，写出自变量的取值范围____________．
23．（8分）（23-24九年级·福建泉州·期末）点为平面直角坐标系的原点，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，且．
（1）若点的坐标为，点恰好为的中点，过点作轴于点，交的图象于点．
①请求出、的值；
②试求的面积．
（2）若轴，，与间的距离为6，试说明的值是否为某一固定值？如果是定值，试求出这个定值；若不是定值，请说明理由．
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参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24九年级·云南文山·期末）已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先把点（3，1）代入双曲线 ( k ≠0)，求出 k 的值，再对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵点（3，1）是双曲线 ( k ≠0）上一点，
∴ k =3×1=3，
A 、1×3=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；
B 、1×=≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；
C 、×（-9）=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；
D 、6×=3，此点在反比例函数的图像上，故本选正确，
故选： D．
【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
2．（3分）（23-24九年级·广东深圳·期末）关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（ ）
A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限
C．点和都在该图像上 D．当时，
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据题意，利用反比例函数图像与性质逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、由于，反比例函数图像在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，该选项说法正确，不符合题意；
B、由于，反比例函数图像在第二、四象限，该选项说法正确，不符合题意；
C、由于点在函数的图像上，则，从而点和都在函数的图像上，该选项说法正确，不符合题意；
D、当时，，由于反比例函数图像在第二、四象限，则当时，，该选项说法错误，符合题意；
故选：D．
3．（3分）（23-24九年级·广东湛江·期末）若反比例函数的图象在一、三象限，正比例函数的图象在二、四象限，则k的整数值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质和正比例函数的性质，掌握反比例函数，当，图象分布在第一、三象限；当，图象分布在第二、四象限．
根据反比例函数的性质得，解得，根据正比例函数的性质得，解得，所以，然后找出此范围内的整数即可．
【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
，
正比例函数的图象经过第二、四象限，
，解得，
，
整数为4．
故选：C．
4．（3分）（23-24九年级·四川达州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，双曲线（，）经过、的中点N、F，连接、、．若，则k的值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，正方形的性质，先求出点坐标，利用待定系数法即可解决问题；求出点坐标是解题的关键．
【详解】解：∵N、F是、的中点，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵N是中点，
∴，
∴，
把代入，得到，
故选：D．
5．（3分）（23-24九年级·江苏南京·期末）函数在平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，得到，函数的图象可以看作由函数的图象向右平移2个单位长度得到，据此可判断的图象．
【详解】∵
∴
∴函数的图象可以看作由函数的图象向右平移2个单位长度得到
故选：A
【点睛】本题考查反比例函数的图象，理解两个函数图象的特点是解题的关键．
6．（3分）（23-24九年级·安徽安庆·阶段练习）如图，将直线向下平移m（m＞0）个单位长度后得到直线l，直线l与反比例函数的图像在第一象限内相交于点A，与x轴相交于点B，则（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
【答案】B
【分析】本此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移规律，平移后解析式是，代入求出与x轴交点B的坐标是，设A的坐标是，求出，代入求出即可．
【详解】解：∵平移后解析式是，
代入得：，
即，与x轴交点B的坐标是，，
设A的坐标是，
∴
故选：B．
7．（3分）（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，则的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数图象与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
连接，利用，结合三角形面积公式解题．
【详解】解：连接，
∴点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，
∴，
，
∵轴，
轴，
，
故选：C．
8．（3分）（23-24九年级·浙江杭州·期末）反比例函数， 当（b，a为常数，且）时，的最小值为m，的最大值为n，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握当时，在每一象限内，y随x的增大而减小，反之，y随x的增大而增大．
根据反比例函数的性质，进行分类讨论：当时，当时，即可解答．
【详解】解：当时，则，
∴在每一象限内，随x的增大而减小，在每一象限内，随x的增大而增大，
∵，，
∴时，的最小值为，当时，的最大值为，
∴，
当时，则，
∴在每一象限内，随x的增大而增大，在每一象限内，随x的增大而减小，
∵，，
∴时，的最小值为，当时，的最大值为，
∴，
综上：的值为，
故选：B．
9．（3分）（23-24九年级·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点，我们把称为点P的“和差点”．若直线上有两点A、B，它们的和差点、均在反比例函数上，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，则，，由和均在反比例函数上，可得，，从而求出点A的坐标为：或，点B的坐标为：或，即可求出结果．
【详解】解：设点A的坐标为：，点B的坐标为：，则，，
∵和均在反比例函数上，
∴，，
解得：、，、，
当时，；
当时，，
∴点A的坐标为：或，点B的坐标为：或，
设一次函数与x的轴相交于点C，
当时，，即，
∴点C的坐标为：，
∴，
如图所示：，
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数图象的点的坐标特征及解一元二次方程，熟练掌握反比函数上的点的横坐标与纵坐标的积等于反比例的比例系数是解题的关键．
10．（3分）（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，点为坐标原点，菱形的边在轴的正半轴上，对角线、交于点，反比例函数的图象经过点和点，若菱形的面积为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，设点A（m，n），根据题意将点D的坐标表示出来，即可求出AD所在直线的函数表达式，再求出点C的坐标；根据菱形的性质可得AO=CO，结合勾股定理即可表示出AE，最后根据菱形的面积求出m即可．
【详解】
过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，
设点A（m，n），
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴，
∵四边形OABC为菱形，则点D为AC中点，
∴DF=，即点D的纵坐标为，
∵反比例函数的图象经过点和点，
∴D（2m，），
设AD所在的直线函数表达式为：y=kx+b，
将A（m，n），D（2m，）代入得：，
解得：，
∴AD所在的直线函数表达式为：，
当y=0时，解得x=3m，
∴C（3m，0），
∴OA=OC=3m，
在Rt△OAE中，AE=，
∵菱形的面积为，
∴OC×AE=，解得：m=，
∴AE=，
∴A（，2），
故选：A
【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及反比例函数的图象和性质，熟练地掌握相关性质内容，结合图形表示出点C的坐标是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24·北京·一模）某函数符合如下条件：①图象经过点（1，2）；②当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个函数表达式 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】【分析】根据题意可知这个函数可以是一次函数，也可以是反比例函数，可以假设函数为反比例函数，设函数为，然后利用待定系数法进行求解即可得.
【详解】设函数为，
∵图象经过点（1，2），
∴k=2，
∴函数表达式为，
故答案为（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意先确定是哪个类型的函数，然后利用待定系数法求出是解题的关键.
12．（3分）（23-24九年级·全国·单元测试）已知，，是反比例函数的图象上的三个点，则，，的大小关系是 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数图象的性质可得其图象位于二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，即可求解．
【详解】解：反比例函数的图象位于二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
13．（3分）（23-24九年级·江苏南通·期中）如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴并交反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象于点A，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则平行四边形ABCD的面积为 ．
【答案】5．
【分析】设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b,即可求得AB的横坐标,则AB的长度即可求得,然后利用平行四边形的面积公式即可求解
【详解】设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b
把y=b代入y＝得,b=
则x=,即B的横
坐标是
同理可得:A的横坐标是：
则AB=-（）=
则 S =×b=5.
故答案为5
【点睛】此题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于设A的纵坐标为b
14．（3分）（23-24九年级·河南三门峡·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当时，△ABC的周长是 ．
【答案】/
【分析】根据点A在反比例函数（）上，轴，求得OC的长度，再根据垂直平分线的性质得到，将△的周长转化为即可．
【详解】解：∵点A在反比例函数（）上，轴
∴
∵
∴
∵的垂直平分线交轴于点
∴
∴△的周长=
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点坐标的特征、线段垂直平分线的性质等知识点，掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
15．（3分）（23-24九年级·山东潍坊·期末）如图，在反比例函数的图象上，有，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，将将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至轴，得到则是解题关键．
【详解】解：如图所示：
∵，，，的横坐标依次为1，2，3，，
∴每一个阴影矩形都有一边长为1，
将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至轴，
则
将代入得：
即：
∴
由反比例函数的几何意义可得：
∴ ，
故答案为：
16．（3分）（23-24九年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义、轴对称中最小距离问题、勾股定理、正方形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
由正方形的边长是3，得到点D的横坐标和点E的纵坐标为3，求得，，根据三角形的面积列方程得到，，作E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，则的长的最小值，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】解：∵正方形的边长是3，
∴点D的横坐标和点E的纵坐标为3，
∴，，
，，
∵的面积为4，
，解得：或（舍去），
∴，，
作E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，则的长的最小值，
∴，
∴，，
，即的最小值为．
故答案为．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24九年级·江西南昌·期末）已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式．
【答案】
【分析】首先设，，进而可得，再把当时，；当时，代入可得，解方程可得、的值，进而可得函数解析式．
【详解】解：∵与成正比例，与成反比例，
∴设，，
∵，
∴，
∵当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确掌握正比例函数与反比例函数解析式的形式．
18．（6分）（23-24九年级·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接、．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)直接写出时，x的取值范围．
【答案】(1)；
(2)8
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，函数与不等式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
（1）将代入可求得反比例函数的解析式，再将代入反比例函数的解析式求得的值，再将、坐标代入求解，即可求得一次函数解析式；
（2）记一次函数与轴交点为，求出点坐标，根据即可解题；
（3）根据图象可直接得出在轴正半轴时，在点右侧，有，根据点坐标即可求得x的取值范围．
【详解】（1）解：一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，
将代入得：，
解得：，
反比例函数的解析式为，
将代入得：，
解得：，
，
将、代入得：
，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）解：如图，记一次函数与轴交点为，
令，则，
，
由图可知：
；
（3）解：由图可知：在轴正半轴时，在点右侧，有，
，
的取值范围为．
19．（8分）（23-24九年级·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点．
(1)求反比例函数的表达式和点的坐标；
(2)若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点可与点D，E重合），直接写出的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据矩形的性质得到，，，再由为的中点得到点B坐标，从而得到点D的横坐标为3，进而求出点E的坐标即可；
（2）求出直线恰好经过D和恰好经过E时m的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：反比例函数的图象分别与交于点和点，
，
反比例函数的表达式为
四边形是矩形，
，，
点，且点为的中点．
，
∴点D的横坐标为3，
在中，，
；
（2）解：当直线经过点时，则，
解得；
当直线经过点时，则，
解得；
∵一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点可与点D，E重合）
∴．
20．（8分）（23-24九年级·四川乐山·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为，点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分．
(1)求所在的反比例函数的解析式；
(2)吴老师计划在课堂上讲解一道推理题，准备花费20分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由．
【答案】(1)
(2)老师安排不合理，理由见解析
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的实际应用，理解题意是关键；
（1）设所在反比例函数的解析式为，再代入即可得到答案；
（2）先求解，再把代入一次函数与反比例函数计算，再进一步可得结论；
【详解】（1）解：由题意，设所在反比例函数的解析式为
过点，
，
．
（2）解：老师安排不合理，理由如下：
由题意，设
∵直线过点和
解得，，
令，
，
令，
，
老师安排不合理．
21．（8分）（23-24九年级·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，点M为x正半轴上一点，过点M的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图像交于两点，
(1)求k的值；
(2)当时，求直线OQ的解析式；
(3)在（2）的条件下，若x轴上有一点N，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的N点的坐标．
【答案】(1)-20
(2)y=﹣x
(3)点N的坐标为（，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）
【分析】(1）由 S△POQ= S△POM + S△MOQ =14结合反比例函数k的几何意义可得+4=14，进一步即可求出结果；
(2）由题意可得 MO=MQ ，于是可设点 Q ( a ,- a )，再利用待定系数法解答即可；
(3）先求出点Q的坐标和OQ的长，然后分三种情况：①若OQ=ON，可直接写出点N的坐标；②若QO=QN，根据等腰三角形的性质解答；③若 NO =NQ ，根据两点间的距离解答．
【详解】（1）解：∵，S△POM=，S△QOM=，
∴+4=14，解得，
∵k＜0，
∴k=﹣20；
（2）∵，轴，
∴，
∴MO=MQ，
设点Q（a，﹣a），直线OQ的解析式为y=mx，
把点Q的坐标代入得：﹣a=ma，解得：m=﹣1，
∴直线OQ的解析式为y=﹣x；
（3）∵点Q（a，﹣a）在上，
∴，解得（负值舍去），
∴点Q的坐标为，则，
若为等腰三角形，可分三种情况：
①若OQ=ON=，则点N的坐标是（，0）或（﹣，0）；
②若QO=QN，则NO=2OM=，
∴点N的坐标是（，0）；
③若NO=NQ，设点N坐标为（n，0），则，解得，
∴点N的坐标是（，0）；
综上，满足条件的点N的坐标为（，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质、勾股定理以及两点间的距离等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相关知识是解题的关键．
22．（8分）（23-24九年级·湖北襄阳·期末）某同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下：
（1）绘制函数图象
①列表：下表是与的几组对应值，其中____________；
1 2 3
②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整．
（2）探究函数性质
通过观察图象，写出该函数的两条性质：
①____________________________________；
②____________________________________．
（3）运用图象和函数性质
当时，写出自变量的取值范围____________．
【答案】（1），图象见解析；
（2）①函数的图象关于y轴对称，
②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；
（3）或．
【分析】（1）把代入解析式即可求得，进而即可描点连线，补充图象；
（2）根据（1）中的图象，从函数的对称性，增减性方面得出函数图象的两条性质即可；
（3）根据图象得出答案．
【详解】解：（1）把代入得，
，
∴，
画出图象如图：
故答案为；
（2）通过观察图象，得到：
性质1：函数的图象关于轴对称；
性质2：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；
故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；
（3）由图象可知，当时，自变量x的取值范围为或，
【点睛】本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．
23．（8分）（23-24九年级·福建泉州·期末）点为平面直角坐标系的原点，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，且．
（1）若点的坐标为，点恰好为的中点，过点作轴于点，交的图象于点．
①请求出、的值；
②试求的面积．
（2）若轴，，与间的距离为6，试说明的值是否为某一固定值？如果是定值，试求出这个定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】（1）①a=24，b=6②；（2）是定值为．
【分析】（1）①把 代入反比例函数即可求出a，根据点为的中点，求出B点坐标，代入即可求出b；②根据k的几何意义求出△AOP的面积，再连接BP，根据中线的性质即可求解；
（2）先分析分别位于的两个分支,分别位于 的两个分支；再利用反比例函数系数k的几何意义，表示S△AOB和S△COD，再根据三角形的面积公式，AB与CD之间的距离为6，即求出答案．
【详解】（1）①把 代入反比例函数，得a=6×4=24
∵点为的中点，
∴B（3，2）
把B（3，2）代入反比例函数，得b=3×2=6
②∵S△AOP= S△AON-S△NOP= =9
∵B点是的中点，
∴BP是△AOP的中线
∴的面积=×9=；
（2）如图，当在的第一象限的图像上时，在的第一象限的图像上时
轴，，
，
，
则点与点重合，点与点重合
即与间的距离为0，
分别位于的两个分支,分别位于 的两个分支；
如图，延长AB、CD交y轴于点E、F，
∵点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，a＞b＞0，轴，
∵与间的距离为6，
∴OE+OF=6
∴S△AOE＝＝a＝S△COF，S△BOE＝＝b＝S△DOF，
∴S△AOB＝S△AOE S△BOE＝a b＝AB OE＝OE，
S△COD＝S△COF S△DOF＝a b＝CD OF＝OF，
∴S△AOB＋S△COD＝a b＝OE＋OF＝（OE＋OF）=．
．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键．
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