专题26.6 反比例函数全章专项复习【3大考点10种题型】
【人教版】
【考点1 反比例函数】 1
【题型1 反比例函数的识别】 2
【题型2 反比例函数定义的应用】 3
【题型3 利用待定系数法求反比例函数的解析式】 3
【考点2 反比例函数的图象与性质】 4
【题型4 反比例函数性质的应用】 4
【题型5 比例系数k的几何意义的应用】 5
【考点3 反比例函数的应用】 6
【题型6 利用反比例函数解决实际问题】 6
【题型7 反比例函数与一次函数图象的交点问题】 8
【题型8 反比例函数与一次函数的综合】 9
【题型9 反比例函数与几何问题的综合探究】 11
【题型10 反比例函数与点坐标变换的综合探究】 13
【考点1 反比例函数】
（1）反比例函数的定义
一般的，形如y= (是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式：y=kx-1，xy=k。
因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴、y轴永不相交 ．
（2）求反比例函数的解析式
①所求的反比例函数为:y= (是常数，k≠0);
②根据已知条件(自变量与函数的对应值) 列出含k的方程;
③由代人法解待定系数k的值;
④把k值代人函数关系式y=中。
【题型1 反比例函数的识别】
【例1】（2024·辽宁大连·三模）对于物理学中的库仑定律，我们给出以下公式：．其中为点电荷、之间的作用力大小，为常数，为点电荷所带的电量，为点电荷所带的电量，为两个点电荷之间的距离．若两个点电荷、的电量均为已知，且把整体看作变量，则下列说法正确的是（ ）
A．当增大时，随着的增大先减小再增大；
B．当增大时，随着的增大而增大；
C．若改变题目条件，令已知，为自变量，为因变量，则为关于的反比例函数；
D．若改变题目条件，令已知，为自变量，为因变量，则为关于的正比例函数．
【变式1-1】（2024·广西百色·一模）下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·河南·二模）河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（ ）
A．当没有粮食放置时，的阻值为
B．的阻值随着粮食水分含量的增大而减小
C．该装置能检测的粮食水分含量的最大值是
D．湿敏电阻与粮食水分含量之间是反比例关系
【变式1-3】（2024·北京·一模）下列数表中分别给出了变量与的几组对应值，其中是反比例函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 反比例函数定义的应用】
【例2】（2024·湖南株洲·一模）若函数是y关于x的反比例函数，则 ．
【变式2-1】（23-24九年级·全国·单元测试）若函数是反比例函数，则的值是 ．
【变式2-2】（23-24九年级·全国·课后作业）当m取何值时，函数是反比例函数？
【变式2-3】（23-24九年级·全国·课后作业）已知函数，
(1)当m，n为何值时是一次函数？
(2)当m，n为何值时，为正比例函数？
(3)当m，n为何值时，为反比例函数？
【题型3 利用待定系数法求反比例函数的解析式】
【例3】（23-24九年级·全国·课后作业）已知反比例函数的图像经过点.
（1）求与的函数关系式；
（2）求当时，的值；
（3）这个函数的图像在哪几个象限？随着的增大怎样变化？
（4）点、在此函数的图像上吗？
【变式3-1】（23-24九年级·全国·单元测试）已知反比例函数．
求：
（1）关于的函数解析式；
（2）当时函数的值．
【变式3-2】（23-24九年级·上海金山·期末）已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式．
【变式3-3】（2024九年级·全国·专题练习）（1）平面直角坐标系中，点A在第二象限，且m为整数，求过点A的反比例函数解析式；
（2）若反比例函数的图像位于第二、四象限内，正比例函数过一、三象限，求整数k的值．
【考点2 反比例函数的图象与性质】
（1）反比例函数的图象及其性质
反比例函数如y= (是常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响.
如y= (是常数，k≠0) k>0 k<0
图 象
所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号)
性 质 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
（2）反比例函数的k的几何意义
由如y= (是常数，k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k| .如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|.
【题型4 反比例函数性质的应用】
【例4】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，RtABO的边AO在x轴上，且AO＝2．一个反比例函数y＝的图象经过点B．若该函数图象上的点P（不与点B重合）到原点的距离等于BO，则点P的坐标为 ．
【变式4-1】（23-24九年级·安徽合肥·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的从小到大的关系是 ．
【变式4-2】（23-24九年级·浙江·期中）已知某函数的图象C与函数的图象关于直线对称．下列命题：①图象C与函数的图象交于点；②点在图象C上；③图象C上的点的纵坐标都小于4，④，是图象C上任意两点，若，则．其中真命题是（ ）
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②④
【变式4-3】（23-24九年级·浙江嘉兴·期末）已知点在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是 ．
【题型5 比例系数k的几何意义的应用】
【例5】（2024·广西贵港·一模）如图，在平面直角坐标系中，梯形OACB的顶点O是坐标原点，OA边在y轴正半轴上，OB边在x轴正半轴上，且OA∥BC，双曲线y=（x＞0）经过AC边的中点，若S梯形OACB=4，则双曲线y=的k值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式5-1】（2024·内蒙古·二模）如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．4.5
【变式5-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，平行四边形的顶点在轴上，点在上，且轴，的延长线交轴于点．若，则 ．
【变式5-3】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【考点3 反比例函数的应用】
【题型6 利用反比例函数解决实际问题】
【例6】（23-24九年级·四川乐山·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为，点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分．
(1)求所在的反比例函数的解析式；
(2)吴老师计划在课堂上讲解一道推理题，准备花费20分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由．
【变式6-1】（23-24九年级·山东济南·期末）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求该函数的表达式；
(2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到）
【变式6-2】（23-24九年级·浙江衢州·期末）综合与实践：如何测量一个空矿泉水瓶的质量
素材1：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘 A 固定在某处，右侧托盘B 在横梁滑动．在A中放置一个重物，在B中放置一定质量的砝码，移动托盘B可使天平左右平衡．增加砝码的质量，多次试验，将砝码的质量与对应的OB长度记录下来，并绘制成散点图（如图2） ．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻，无法称量．小组进行如下操作，保持素材1的装置不变，在托盘 B中放置一个内盛水的矿泉水瓶，移动托盘B，使得天平左右平衡，测得 ．
(1)任务 1：请在图1中连线，猜想y关于x的函数类型，并求出函数表达式，且任选一对对应值验证．
(2)任务2：求出一个空矿泉水瓶的质量．
【变式6-3】（23-24九年级·江苏扬州·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？
【题型7 反比例函数与一次函数图象的交点问题】
【例7】（23-24九年级·福建泉州·期中）在同一坐标系中，函数与的图像大概是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】（23-24九年级·上海·期末）已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式7-2】（23-24九年级·四川宜宾·期末）一次函数与反比例函数（为常数且均不等于）．在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（23-24九年级·山东济宁·阶段练习）若函数和函数的图象在同一坐标系中，则其图象可为下图中的（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【题型8 反比例函数与一次函数的综合】
【例8】（23-24九年级·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)求的面积．
(3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围．
【变式8-1】（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，直线与双曲线的交点为，与轴的交点为，点为双曲线上的一点．
(1)求的值及反比例函数的表达式；
(2)如图1，当点的横坐标为4时，判断的形状，并说明理由；
(3)如图2，当时，求点的坐标．
【变式8-2】（23-24九年级·山西长治·期末）如图，正比例函数与反比例函数 的图象交于点两点，点纵坐标为．
(1)求点的坐标与反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出满足不等式 的的取值范围；
(3)将直线向上平移个单位，交轴于点，当的面积为时，求直线平移后的函数表达式．
【变式8-3】（23-24九年级·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点．
(1)求反比例函数的表达式和点的坐标；
(2)若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点可与点D，E重合），直接写出的取值范围．
【题型9 反比例函数与几何问题的综合探究】
【例9】（23-24九年级·四川宜宾·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．
(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
(3)若点Q是双曲线在第一象限上的一个动点，连结，将绕点O逆时针旋转90度得到，点M在第二象限，随着点Q的运动，点M的位置也不断变化，但始终在某函数图象上运动，请直接写出这个函数解析式．
【变式9-1】（2024·河南周口·二模）如图，直线与反比例函数的图像交于点和点B，四边形是正方形，其中点C，D分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，过点D作，与反比例函数图象在第二象限内的部分相交于点F．
(1)求m和k的值．
(2)求点D的坐标．
(3)连接，求的面积．
【变式9-2】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图，点P是反比例函数图象上的一点．过点P分别作x轴、y轴的平行线，分别与y轴、x轴交于点D、E，与经过点的双曲线交于点A，B，连接．
(1)求k的值；
(2)连接．若点P横坐标为2，求的面积；
(3)若直线分别与x轴，y轴交于点M，N，求证：．
【变式9-3】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图1，已知直线分别与双曲线，交于，两点，且点的横坐标、纵坐标分别是点的横坐标、纵坐标的2倍．
(1)求的值；
(2)如图2，若是双曲线上的动点，轴，轴，分别交双曲线于，两点，连接，设点的横坐标为．
①直接写出，，的坐标，并求的面积；
当时，为直线上的一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标．
【题型10 反比例函数与点坐标变换的综合探究】
【例10】（23-24九年级·山东济南·期中）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y8的值为（ ）
A． B．6 C． D．
【变式10-1】（23-24九年级·全国·期末）如图，已知反比例函数 的图象上有一组点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为．“①，②，③……”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，……，则 ．
【变式10-2】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴与轴正半轴分别交于点、，设，（，）．将绕点顺时针方向旋转得到，点的对应点为点；再将沿射线方向平移，使点与点重合得到，点的对应点为点，点在轴上，点为线段的中点，点与点恰好落在同一个反比例函数的图象上．
(1)当时，求反比例函数的解析式．
(2)求的值．
(3)若线段、交于点，且的面积为，求的值．
【变式10-3】（23-24九年级·湖南·阶段练习）如图，在反比例函数的图象上有、B两点，连接，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知，点是的中点，连接，得到；点是的中点，连接，得到；……按照此规律继续进行下去，则的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题26.6 反比例函数全章专项复习【3大考点10种题型】
【人教版】
【考点1 反比例函数】 1
【题型1 反比例函数的识别】 2
【题型2 反比例函数定义的应用】 4
【题型3 利用待定系数法求反比例函数的解析式】 6
【考点2 反比例函数的图象与性质】 9
【题型4 反比例函数性质的应用】 10
【题型5 比例系数k的几何意义的应用】 13
【考点3 反比例函数的应用】 18
【题型6 利用反比例函数解决实际问题】 18
【题型7 反比例函数与一次函数图象的交点问题】 23
【题型8 反比例函数与一次函数的综合】 26
【题型9 反比例函数与几何问题的综合探究】 33
【题型10 反比例函数与点坐标变换的综合探究】 42
【考点1 反比例函数】
（1）反比例函数的定义
一般的，形如y= (是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式：y=kx-1，xy=k。
因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴、y轴永不相交 ．
（2）求反比例函数的解析式
①所求的反比例函数为:y= (是常数，k≠0);
②根据已知条件(自变量与函数的对应值) 列出含k的方程;
③由代人法解待定系数k的值;
④把k值代人函数关系式y=中。
【题型1 反比例函数的识别】
【例1】（2024·辽宁大连·三模）对于物理学中的库仑定律，我们给出以下公式：．其中为点电荷、之间的作用力大小，为常数，为点电荷所带的电量，为点电荷所带的电量，为两个点电荷之间的距离．若两个点电荷、的电量均为已知，且把整体看作变量，则下列说法正确的是（ ）
A．当增大时，随着的增大先减小再增大；
B．当增大时，随着的增大而增大；
C．若改变题目条件，令已知，为自变量，为因变量，则为关于的反比例函数；
D．若改变题目条件，令已知，为自变量，为因变量，则为关于的正比例函数．
【答案】D
【分析】本题考查了函数关系式：反比例函数与正比例函数的判断；根据两类函数的定义即可进行判断．形如的函数分别称为反比例函数与正比例函数，其中k为常数．
【详解】解：当两个点电荷、的电量均为已知时，F关于t是反比例函数，当r增大时，t也增大，此时F随t的增大而减小，故A、B均错误；
当已知，为自变量，为因变量，此时，则为关于的正比例函数，故C错误，D正确；
故选：D．
【变式1-1】（2024·广西百色·一模）下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的识别，把形如这样的函数叫做反比例函数，根据反比例函数的概念即可作出判断，掌握反比例函数的定义是解题的关键，注意比例系数．
【详解】、是反比例函数，此选项不符合题意；
、是一次函数，不是反比例函数，此选项符合题意；
、是反比例函数，此选项不符合题意；
、是反比例函数，此选项不符合题意；
故选：．
【变式1-2】（2024·河南·二模）河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（ ）
A．当没有粮食放置时，的阻值为
B．的阻值随着粮食水分含量的增大而减小
C．该装置能检测的粮食水分含量的最大值是
D．湿敏电阻与粮食水分含量之间是反比例关系
【答案】D
【分析】本题考查了物理与数学的跨学科综合，成反比例关系的概念，从函数图象获取信息，是解题的关键．
根据图象对每一个选项逐一判断即可．
【详解】解：A、当没有粮食放置时，即水分含量为0，由图象可知的阻值为，故本选项不符合题意；
B、由图象可知，的阻值随着粮食水分含量的增大而减小，故本选项不符合题意；
C、由图象可知，该装置能检测的粮食水分含量的最大值是，故本选项不符合题意；
D、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于0的常数，那么就说这两个变量成反比例，从图象中得到当水分含量为0时，的阻值为，此时这水分含量 的阻值为0，不符合成反比例关系的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式1-3】（2024·北京·一模）下列数表中分别给出了变量与的几组对应值，其中是反比例函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的自变量与相应函数值的乘积是常数，可得答案．
【详解】解：C中，，其余的都不具有这种关系
C是反比例函数关系，故C正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数，反比例函数的自变量与相应函数值的乘积是常数．
【题型2 反比例函数定义的应用】
【例2】（2024·湖南株洲·一模）若函数是y关于x的反比例函数，则 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查反比例函数的定义，根据定义列出且，求出的值即可．
【详解】解：∵函数是y关于x的反比例函数，
∴且，
解得，．
故答案为：5．
【变式2-1】（23-24九年级·全国·单元测试）若函数是反比例函数，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的定义：形如（为常数，）的函数就叫做反比例函数，解题的关键是根据反比例函数的定义列出关于方程或不等式，求解即可．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴且，
解得：，
∴的值为．
故答案为：．
【变式2-2】（23-24九年级·全国·课后作业）当m取何值时，函数是反比例函数？
【答案】m=0
【详解】试题分析：根据反比例函数的定义．即y=（k≠0），只需令2m+1=1即可．
试题解析：∵函数是反比例函数，
∴2m+1=1，
解得：m=0．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟记反比例函数的一般式y=（k≠0）的特征是解题的关键.
【变式2-3】（23-24九年级·全国·课后作业）已知函数，
(1)当m，n为何值时是一次函数？
(2)当m，n为何值时，为正比例函数？
(3)当m，n为何值时，为反比例函数？
【答案】(1)且
(2)
(3)
【分析】（1）根据一次函数的定义知，且，据此可以求得m、n的值；
（2）根据正比例函数的定义知，据此可以求得m、n的值；
（3）根据反比例函数的定义知，据此可以求得m、n的值．
【详解】（1）解：当函数是一次函数时，，且，
解得：且；
（2）当函数是正比例函数时，，
解得：．
（3）当函数是反比例函数时，，
解得：．
【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、反比例函数的定义．关键是掌握正比例函数是一次函数的一种特殊形式以及三种函数的形式．
【题型3 利用待定系数法求反比例函数的解析式】
【例3】（23-24九年级·全国·课后作业）已知反比例函数的图像经过点.
（1）求与的函数关系式；
（2）求当时，的值；
（3）这个函数的图像在哪几个象限？随着的增大怎样变化？
（4）点、在此函数的图像上吗？
【答案】（1）；（2）；（3）函数图像在第二、四象限，在每个象限内，随着的增大而增大；（4）点在函数图像上，点不在函数图像上.
【分析】（1）把（-2，5）代入，求出k值即可得答案；（2）把y=-4代入反比例函数解析式即可求出x的值；（3）根据反比例函数的性质即可得答案；（4）根据k=xy即可得答案.
【详解】（1）∵反比例函数的图像经过点，
∴5=，
解得k=-10，
∴反比例函数的解析式为：y=.
（2）∵反比例函数的解析式为：y=，
∴当y=-4时，-4=，
解得：x=.
（3）∵-10<0，
∴反比例函数y=的图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；
（4）∵×20=-10，×1=≠-10，
∴点在此函数的图象上，点不在此函数的图象上.
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，对于y=(k≠0)，当k>0时，图象值一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；熟练掌握反比例函数的性质是解题关键.
【变式3-1】（23-24九年级·全国·单元测试）已知反比例函数．
求：
（1）关于的函数解析式；
（2）当时函数的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）将x=-3，y=代入y＝ (k≠0)，即利用待定系数法求该函数的解析式；
（2）将x=-4代入（1）中的反比例函数解析式，求y值即可．
【详解】解：（1）根据题意，得
，
解得，；
∴该反比例函数的解析式是；
（2）由（1）知，该反比例函数的解析式是，
∴当时，，即．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．在解答该题时，还借用了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．
【变式3-2】（23-24九年级·上海金山·期末）已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式．
【答案】y＝（x+1）+
【分析】根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解
【详解】解：（1）设y1＝k1（x+1）（k1≠0），y2＝（k2≠0），
∴y＝k1（x+1）+ ．
∵当x＝1时，y＝7．当x＝3时，y＝4，
∴，
∴，
∴y关于x的函数解析式是：y＝（x+1）+；
【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，熟练准确计算．
【变式3-3】（2024九年级·全国·专题练习）（1）平面直角坐标系中，点A在第二象限，且m为整数，求过点A的反比例函数解析式；
（2）若反比例函数的图像位于第二、四象限内，正比例函数过一、三象限，求整数k的值．
【答案】（1）；（2）2．
【分析】（1）由点A在第二象限，可知，，得：， 因为m为整数，即可得：，．设过点A的反比例函数解析式为，即有，得：，即反比例函数解析式为；
（2）由反比例函数图像在二、四象限，可知，即，由正比例函数 过一、三象限，可知，由此可得：，则整数的值为2．
【详解】解：（1）点A在第二象限，
∴，
解得：，
∵m为整数，
∴，
∴，
设过点A的反比例函数解析式为，
∴，解得：，
即反比例函数解析式为；
（2）∵反比例函数图像在二、四象限，
∴，即，
∵正比例函数 过一、三象限，
∴，
解得：，
∴，
∴整数的值为2．
【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数性质的综合应用，坐标与图形，一元一次不等式组的解法，根据函数所在象限判断出相应的比例系数的范围是解本题的关键．
【考点2 反比例函数的图象与性质】
（1）反比例函数的图象及其性质
反比例函数如y= (是常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响.
如y= (是常数，k≠0) k>0 k<0
图 象
所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号)
性 质 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
（2）反比例函数的k的几何意义
由如y= (是常数，k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k| .如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|.
【题型4 反比例函数性质的应用】
【例4】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，RtABO的边AO在x轴上，且AO＝2．一个反比例函数y＝的图象经过点B．若该函数图象上的点P（不与点B重合）到原点的距离等于BO，则点P的坐标为 ．
【答案】或或
【分析】求得B的坐标，然后根据题意得点P横纵坐标的绝对值是2和3或3和2，由此可得出答案．
【详解】解：Rt△ABO的边AO在x轴上，且AO＝2，
∴B的横坐标为﹣2，
把x＝﹣2代入 得，y＝3，
∴B（﹣2，3），
∵图象上的点P（不与点B重合）到原点的距离等于BO，
设点，
∴或，
∵反比例图像在二四象限，
∴x与y异号，
∴点P的坐标为：，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查反比例函数的对称性，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质以及分类讨论的思想．
【变式4-1】（23-24九年级·安徽合肥·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的从小到大的关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵，，
∴点，位于第二象限，
∴，
∵，
∴.
∵，
∴点位于第四象限，
∴，
∴
故答案为：．
【变式4-2】（23-24九年级·浙江·期中）已知某函数的图象C与函数的图象关于直线对称．下列命题：①图象C与函数的图象交于点；②点在图象C上；③图象C上的点的纵坐标都小于4，④，是图象C上任意两点，若，则．其中真命题是（ ）
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】A
【分析】根据轴对称的性质和图象点的特征可知①正确；根据点关于y=2的对称点坐标在函数图象上，即可判定②正确；由上任意一点为，则点与对称点的纵坐标为可判断③错误；由关于对称点性质可判断④不正确；
【详解】解：点，是函数的图象的点，也是对称轴直线上的点，
∴点，是图象与函数的图象交于点；
①正确；
点，关于对称的点为点，，
，在函数上，
点，在图象上；
②正确；
中，，
取上任意一点为，
则点与对称点的纵坐标为；
图象C上的点的纵坐标不一定小于4.故③错误；
，，，关于对称点为，，，在函数上，
，，
若，则；
若或，则；
④不正确；
故选．
【点睛】本题考查反比例函数图象及性质及轴对称的性质；熟练掌握函数关于直线的对称时，对应点关于直线对称是解题的关键．
【变式4-3】（23-24九年级·浙江嘉兴·期末）已知点在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】根据反比例函数的增减性和点的位置解答．
【详解】∵，
∴图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∵，
∴异号，
∵点，在反比例函数（是常数）的图象上，
∴A点在第三象限，B点在第一象限，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，会根据函数值的大小确定点的位置是解题关键．
【题型5 比例系数k的几何意义的应用】
【例5】（2024·广西贵港·一模）如图，在平面直角坐标系中，梯形OACB的顶点O是坐标原点，OA边在y轴正半轴上，OB边在x轴正半轴上，且OA∥BC，双曲线y=（x＞0）经过AC边的中点，若S梯形OACB=4，则双曲线y=的k值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】过的中点作轴交轴于，交于，作轴于，如图，先根据“”证明，则，得到，再利用得到，然后根据反比例函数系数的几何意义得，再去绝对值即可得到满足条件的的值.
【详解】过的中点作轴交轴于，交于，作轴于，如图，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
，
而，
.
故选：.
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴于轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为.
【变式5-1】（2024·内蒙古·二模）如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．4.5
【答案】D
【分析】此题主要考查线段的中点坐标、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的比例系数k的几何意义是解题关键．先根据线段的中点坐标公式得到D点坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k，根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后利用的面积进行计算，进而求出结论．
【详解】解：∵点A的坐标为，点D为的中点，
∴D点坐标为，
∴，即反比例函数解析式为，
∴，
∴的面积，
∵点D为的中点，
∴的面积．
故选：D．
【变式5-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，平行四边形的顶点在轴上，点在上，且轴，的延长线交轴于点．若，则 ．
【答案】7
【分析】设与轴交于点，连接，由平行四边形的性质可得，，根据三角形的面积公式可得，，由，，可得，由的几何意义进行计算即可得到答案．
【详解】解：设与轴交于点，连接，如图所示，
四边形是平行四边形，
，，
，
轴，
轴，，
，，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，三角形的面积计算，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，添加适当的辅助线，是解题的关键．
【变式5-3】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】连接，过点和点分别作轴的垂线段和，根据全等三角形的判定可得，推得；根据三角形的面积可得，，推得，求解即可，注意．
【详解】
解：连接，过点和点分别作轴的垂线段和，如图：
∴，
又∵，，
∴；
∴，
∵点在双曲线上，
∴，
∵点在双曲线上，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
解得：（正数舍去），
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，平行四边形的面积，解决这类问题，要熟知反比例函数图象上点到轴的垂线段与此点与原点的连线组成的三角形面积是．
【考点3 反比例函数的应用】
【题型6 利用反比例函数解决实际问题】
【例6】（23-24九年级·四川乐山·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为，点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分．
(1)求所在的反比例函数的解析式；
(2)吴老师计划在课堂上讲解一道推理题，准备花费20分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由．
【答案】(1)
(2)老师安排不合理，理由见解析
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的实际应用，理解题意是关键；
（1）设所在反比例函数的解析式为，再代入即可得到答案；
（2）先求解，再把代入一次函数与反比例函数计算，再进一步可得结论；
【详解】（1）解：由题意，设所在反比例函数的解析式为
过点，
，
．
（2）解：老师安排不合理，理由如下：
由题意，设
∵直线过点和
解得，，
令，
，
令，
，
老师安排不合理．
【变式6-1】（23-24九年级·山东济南·期末）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求该函数的表达式；
(2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，应用反比例函数解决实际问题，理解气压和气球体积的关系是解题的关键．
（1）设反比例函数关系式，再将点A的坐标代入即可得出答案；
（2）将代入关系式，求出解，再判断即可．
【详解】（1）设，
将代入，得，解得，
∴所求函数的表达式为；
（2）∵，
∴在第一象限内，p随V的增大而减小．
当时，．
∴为了安全起见，气体的体积应不小于．
【变式6-2】（23-24九年级·浙江衢州·期末）综合与实践：如何测量一个空矿泉水瓶的质量
素材1：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘 A 固定在某处，右侧托盘B 在横梁滑动．在A中放置一个重物，在B中放置一定质量的砝码，移动托盘B可使天平左右平衡．增加砝码的质量，多次试验，将砝码的质量与对应的OB长度记录下来，并绘制成散点图（如图2） ．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻，无法称量．小组进行如下操作，保持素材1的装置不变，在托盘 B中放置一个内盛水的矿泉水瓶，移动托盘B，使得天平左右平衡，测得 ．
(1)任务 1：请在图1中连线，猜想y关于x的函数类型，并求出函数表达式，且任选一对对应值验证．
(2)任务2：求出一个空矿泉水瓶的质量．
【答案】(1)图见解析；反比例函数；；见解析
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意确定出反比例函数并求出其表达式是解题的关键．
（1）把各点依次连起来，可以猜想是反比例函数的图象，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可，并任选一对值验证即可；
（2）当时, 即，代入（1）中求出的函数表达式中即可求得x的值，则可求得空矿泉水瓶的质量．
【详解】（1）解：连线如下图所示：
反比例函数；
设 y关于x的函数表达式为 ，
把代入函数表达式得，解得，
∴y关于x的函数表达式为 ．
把代入函数表达式，得， 成立．
（2）解：当时, 即, 解得．
则．
所以空矿泉水瓶的质量为．
【变式6-3】（23-24九年级·江苏扬州·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？
【答案】(1)
(2)
(3)饮水机内水温约为，共有6次达到
【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可得出答案；
（2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案；
（3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案．
【详解】（1）解：由图象可知，当时是一次函数，
设将代入得：
，
解得，
∴水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为：；
（2）在水温下降过程中，设水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为，
依据题意得：，解得，
∴反比例函数解析式为：，
当时，，
解得：；
（3）由（2），结合图象，可知每分钟图象重复出现一次，
经历时间为分钟，
，
∴当时，，
答：饮水机内水温约为，共有6次达到．
【题型7 反比例函数与一次函数图象的交点问题】
【例7】（23-24九年级·福建泉州·期中）在同一坐标系中，函数与的图像大概是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数图像性质，熟练掌握两个函数图像与系数之间的关系是解题的关键；
一次函数与反比例函数的图像与系数的符号有关，所以分与两种情况进行讨论；当可以得出与所在的象限以及可以得出与所在的象限，进而求解即可．
【详解】根据题意需分、两种情况讨论：
当时，的图像在第一、三象限，的图像在第一、三、四象限，只有选项C符合；
当时，的图像在第二、四象限，的图像在第二、三、四象限，无选项符合；
故选C．
【变式7-1】（23-24九年级·上海·期末）已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案．
【详解】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴，
∴双曲线在第二、四象限，
∴函数的图象经过第一、三象限，
故选：A．
【变式7-2】（23-24九年级·四川宜宾·期末）一次函数与反比例函数（为常数且均不等于）．在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象和性质，先根据一次函数图象确定的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可求解，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解题的关键．
【详解】解：、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，
∴，，
∴，
∴反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象不符，故该选项不合题意；
、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，，
∴，
∴反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象不符，故该选项不合题意；
、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，，
∴，
∴反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象相符，故该选项符合题意；
、∵一次函数图象经过第二、三、四象限，
∴，，
∴，
∴反比例函数图象经过一、三象限，与选项图象不符，故该选项不合题意；
故选：．
【变式7-3】（23-24九年级·山东济宁·阶段练习）若函数和函数的图象在同一坐标系中，则其图象可为下图中的（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，先根据一次函数的性质判断出取值，然后在判断一次函数的图象与轴的交点，最后判断反比例函数图象所在象限即可；关键是由的取值确定一次函数的图象与轴的交点位置．
【详解】解：①：一次函数图象是随的增大而增大，则．与轴交于负半轴，反比例函数图象在一、三象限，故错误，不符合题意；
②：一次函数图象是随的增大而增大，则．与轴交于负半轴，反比例函数图象在一、三象限，故正确，符合题意；
③：一次函数图象是随的增大而减小，则，与轴交于正半轴，反比例函数图象在二、四象限，故正确，符合题意；
④：一次函数图象是随的增大而减小，则，与轴交于正半轴，反比例函数图象在二、四象限，故错误，不符合题意；
故：②③正确，
故选：C．
【题型8 反比例函数与一次函数的综合】
【例8】（23-24九年级·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)求的面积．
(3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形面积，解题的关键是数形结合；
（1）先求出点的坐标，然后代入反比例函数解析式，求出的值即可；
（2）由一次函数的解析式求得点的坐标，利用反比例函数的对称性求得点的坐标，然后根据即可求解；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1）解：在一次函数的图象上，
，
解得，
点的坐标为，
，
反比例函数的对应的函数关系为；
（2）解：当时，，
解得，
点的坐标为．
点在反比例函数的图象上，
，根据对称性，
点的坐标为，
；
（3）解：由图象可得，
当或时，直线的图象在反比例函数的图象的上面
∴当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，或．
【变式8-1】（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，直线与双曲线的交点为，与轴的交点为，点为双曲线上的一点．
(1)求的值及反比例函数的表达式；
(2)如图1，当点的横坐标为4时，判断的形状，并说明理由；
(3)如图2，当时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)为直角三角形，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，勾股定理的逆定理，熟练利用待定系数法求函数解析式，利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）把代入一次函数，求得一次函数的解析式，再求出点A坐标即可；再将点A坐标代入反比例函数，即可解答；
（2）求出点坐标，利用勾股定理的逆定理即可判断为直角三角形；
（3）过点做垂直交射线于点，过点做垂直轴交轴于点，过点做垂直交直线于点，利用全等三角形的性质得到点的坐标，求得的解析式，点即为反比例函数与一次函数的交点．
【详解】（1）解：直线过点，
，解得：，
直线的表达式为．
点在直线上，
，
点的坐标为．
又双曲线过点，
，
反比例函数的表达式为．
（2）解：为直角三角形，理由如下：
点在上，且点的横坐标为4，
点的纵坐标为，
即点
，
，
，
为直角三角形；
（3）解：如图（2），过点做垂直交射线于点，过点做垂直轴交轴于点，过点做垂直交直线于点．
又
轴，
又
，
易得，
设的函数解析式为
即
的函数解析式为
联立，
即，
，
即．
【变式8-2】（23-24九年级·山西长治·期末）如图，正比例函数与反比例函数 的图象交于点两点，点纵坐标为．
(1)求点的坐标与反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出满足不等式 的的取值范围；
(3)将直线向上平移个单位，交轴于点，当的面积为时，求直线平移后的函数表达式．
【答案】(1)点的坐标为，反比例函数的表达式为；
(2)或；
(3)．
【分析】（）把代入可得点的纵坐标，进而可得点的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（）利用对称性求出点的坐标，再根据函数图象即可求解；
（）设，则，根据的面积为可得，即得，
得到，由直线向上平移个单位后的函数表达式为，把代入计算即可求解；
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的平移，求一次函数解析式，掌握一次函数和反比例函数的图象及性质是解题的关键
【详解】（1）解：把代入得，，
∴点的坐标为，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵点是正比例函数与反比例函数图象的交点，
∴点关于原点对称，
∴，
由图象可得，当或时，；
（3）解：设，则，
∵的面积为，
∴，
即，
∴，
∴，
将直线向上平移个单位后的函数表达式为，把代入得，
，
∴，
∴直线平移后的函数表达式为．
【变式8-3】（23-24九年级·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点．
(1)求反比例函数的表达式和点的坐标；
(2)若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点可与点D，E重合），直接写出的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据矩形的性质得到，，，再由为的中点得到点B坐标，从而得到点D的横坐标为3，进而求出点E的坐标即可；
（2）求出直线恰好经过D和恰好经过E时m的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：反比例函数的图象分别与交于点和点，
，
反比例函数的表达式为
四边形是矩形，
，，
点，且点为的中点．
，
∴点D的横坐标为3，
在中，，
；
（2）解：当直线经过点时，则，
解得；
当直线经过点时，则，
解得；
∵一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点可与点D，E重合）
∴．
【题型9 反比例函数与几何问题的综合探究】
【例9】（23-24九年级·四川宜宾·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．
(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
(3)若点Q是双曲线在第一象限上的一个动点，连结，将绕点O逆时针旋转90度得到，点M在第二象限，随着点Q的运动，点M的位置也不断变化，但始终在某函数图象上运动，请直接写出这个函数解析式．
【答案】(1)，一次函数的解析式为
(2)或
(3)
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，进而求出点A的坐标，再把点A和点C的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）先求出，，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示，根据可得，求出，则点P的纵坐标为2或，由此即可得到答案；
（3）根据点Q的运动轨迹，可得点M的运动轨迹，设的对应点为，作于点E，作于点F，证明，求出即可求解．
【详解】（1）点在反比例函数的图象上，
，
，
，
又点，都在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）对于，当时，，
∴，
，
∵，
过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示．
，
．
，
解得．
点P的纵坐标为2或．
将代入得，
将代入得，
∴点或．
（3）∵点Q是双曲线在第一象限上的一个动点，
∴将绕点O逆时针旋转90度后，点Q的对应点M也在反比例函数图象上运动，
如图，设的对应点为，作于点E，作于点F，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴
设点M所在的反比例函数解析式为，
∴，
∵点M在第二象限，
∴这个函数解析式是．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法，旋转的性质，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
【变式9-1】（2024·河南周口·二模）如图，直线与反比例函数的图像交于点和点B，四边形是正方形，其中点C，D分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，过点D作，与反比例函数图象在第二象限内的部分相交于点F．
(1)求m和k的值．
(2)求点D的坐标．
(3)连接，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、求函数的解析式、正方形的性质、三角形全等的判定和性质、平行线间的距离相等等知识点，灵活运用相关判定和性质是解题的关
键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）如图：过点A作轴于点G，易证可得，
，即可求得点D的坐标；
（3）利用中心对称求得B点的坐标，然后根据同底等高的三角形面积相等可知的面积的面积，据此即可解答．
【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图像交于点，
∴，解得：．
（2）解：如图：过点A作轴于点G，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
，
∴.，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，连接，
∵直线与反比例函数的图像交于点和点B，
∴点B的坐标为，
∵，
∴.
【变式9-2】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图，点P是反比例函数图象上的一点．过点P分别作x轴、y轴的平行线，分别与y轴、x轴交于点D、E，与经过点的双曲线交于点A，B，连接．
(1)求k的值；
(2)连接．若点P横坐标为2，求的面积；
(3)若直线分别与x轴，y轴交于点M，N，求证：．
【答案】(1)
(2)24
(3)证明见解析
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，反比例函数与几何的综合应用：
（1）待定系数法求出值即可；
（2）过点A作轴于点F ，根据，进行求解即可；
（3）过点B作轴于点G ，直线函数关系式，进而求出的坐标，证明，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵点的双曲线上，
∴，
解得：；
（2）过点A作轴于点F．
∵点P的横坐标为2，
∴，
∴点P的坐标为．
同理可得．
∵点A，B都在反比例函数的图象上，
∴
∴
．
（3）过点B作轴于点G．
设点P，则点A，B．
设直线函数关系式为．
∴
解得：
∴直线的函数关系式为．
当时，，当时，，解得：；
，
∴，．
∴，
，
∴，．
∵，
∴，
∴．
【变式9-3】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图1，已知直线分别与双曲线，交于，两点，且点的横坐标、纵坐标分别是点的横坐标、纵坐标的2倍．
(1)求的值；
(2)如图2，若是双曲线上的动点，轴，轴，分别交双曲线于，两点，连接，设点的横坐标为．
①直接写出，，的坐标，并求的面积；
当时，为直线上的一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标．
【答案】(1)
(2)①A点坐标为（t，），C点坐标为（t，），B点坐标为（，），S△ABC；②点A的坐标为或或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与平行四边形的关系、坐标与图形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
（1）设Q点坐标为，则P点的坐标为，利用待定系数法求得求解即可；
（2）①先根据已知的A点坐标为，C点坐标为，B点坐标为，利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可；
②分当为边时和当为对角线时两种情况，利用平行四边形的性质和坐标与图形性质分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：设Q点坐标为，则P点的坐标为．
∵P点在双曲线上，Q点在双曲线上，
∴，则，
∴．
（2）解：①∵A点的横坐标为t，轴，轴，
∴A点坐标为，C点坐标为，B点坐标为，
∴，，
∴．
②分两种情况考虑：
（Ⅰ）当为边时，如图1所示．
∵四边形为平行四边形，∴，，
∴D点的坐标为，
∴，即或，
解得：，（舍去），，（舍去），
∴A点的坐标为或；
（Ⅱ）当为对角线时，如图2所示．
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴D点的坐标为，
∴，即或 ，
解得：，（舍去），，（舍去），
∴A点坐标为或．
综上所述，点A的坐标为（2，4）或（2，）或（，4）．
【题型10 反比例函数与点坐标变换的综合探究】
【例10】（23-24九年级·山东济南·期中）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y8的值为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【分析】根据点C1的坐标，确定y1，可求反比例函数关系式，由点C1是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，……然后再求和．
【详解】解：过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…
其斜边的中点C1在反比例函数y=，
∴C1（2，2），即y1=2，
∴OD1=D1A1=2，
设A1D2=a，则C2D2=a 此时C2（4+a，a），代入y=，得：a（4+a）=4，
解得：，即：y2=；
同理：y3=；
y4=；
……
；
∴y1+y2+…+y8=
=
=
=；
故选：C.
【点睛】考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．
【变式10-1】（23-24九年级·全国·期末）如图，已知反比例函数 的图象上有一组点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为．“①，②，③……”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，……，则 ．
【答案】
【分析】由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解．
【详解】解：如图，由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，
又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为，
∴，
，
，
，
……
∴，,……，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
【变式10-2】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴与轴正半轴分别交于点、，设，（，）．将绕点顺时针方向旋转得到，点的对应点为点；再将沿射线方向平移，使点与点重合得到，点的对应点为点，点在轴上，点为线段的中点，点与点恰好落在同一个反比例函数的图象上．
(1)当时，求反比例函数的解析式．
(2)求的值．
(3)若线段、交于点，且的面积为，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）过点作轴于点，由题意可得，，轴，轴，，进而得， ，由点为线段的中点，，得，从而利用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴于点，由题意可得，，轴，轴，，进而得，由点为线段的中点，，得，从而利用待定系数法求解得，解得（舍去）或，，从而即可得解；
（3）由（）得，，，，进而得，，，，，连接，，，则轴，轴，先证、、三点共线，得，进而证四边形是平行四边形，得，进而根据面积公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：过点作轴于点，
由题意可得，，轴，轴，，
∴，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵点为线段的中点，，
∴，
∴，
设反比例函数的解析式为，
把，代入得
，，
∴，
解得（舍去）或，，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：过点作轴于点，
由题意可得，，轴，轴，，
∴，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵点为线段的中点，，
∴，
∴，
设反比例函数的解析式为，
把，代入得
，，
∴，
解得（舍去）或，，
∴；
（3）解：由（）得，，，，
∴，，，，
∴，
连接，，，则轴，轴，
∴四边形是平行四边形，
∴轴，，
∵轴，
∴、、三点共线，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴为的中点，
∴，
∵，，，
∴，
解得或（舍去）．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，平行公理，坐标与图形，平移及旋转的性质，待定系数法求反比例函数，熟练掌握待定系数法求反比例函数，平行四边形的判定及性质以及平行公理是解题的关键．
【变式10-3】（23-24九年级·湖南·阶段练习）如图，在反比例函数的图象上有、B两点，连接，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知，点是的中点，连接，得到；点是的中点，连接，得到；……按照此规律继续进行下去，则的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，先求出，得到，，，进而求出，得到，则，根据梯形面积公式求出，再分别求出 ，，进而得到规律，，则．
【详解】解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵轴，
∴点B的纵坐标为1，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
……，
以此类推可知，，，
∴，
故答案为：．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
