专题27.1 比例线段【十大题型】
【人教版】
【题型1 由成比例线段直接求值】 1
【题型2 比例尺】 2
【题型3 由比例的性质判断结论正误】 3
【题型4 由比例的性质求参数的值】 4
【题型5 由比例的性质求代数的值】 4
【题型6 由比例的性质进行证明】 5
【题型7 由比例的性质比较大小】 5
【题型8 比例的应用】 6
【题型9 由黄金分割求值】 7
【题型10 黄金分割的应用】 8
知识点1：成比例线段
1．比例的项：
在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
【题型1 由成比例线段直接求值】
【例1】（23-24九年级·上海宝山·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（23-24九年级·广东梅州·期中）根据，可以组成的比例有（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（23-24九年级·浙江嘉兴·期中）已知，且．
(1)求、的值；
(2)若是、的比例中项，，求的值．
【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，在中，CD是斜边AB上的高线，试猜想线段AC，AB，CD，BC是否成比例．如果成比例，请写出这个比例式，并进行验证；如果不成比例，请说明理由.
【题型2 比例尺】
【例2】（2024·江苏泰州·三模）为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为，当地图上比例尺由变为时，则地图上两个校区的路程增加了 ．
【变式2-1】（23-24九年级·江苏无锡·期末）在某市建设规划图上，城区南北长为，该市城区南北实际长为，则该规划图的比例尺是 ．
【变式2-2】（23-24九年级·上海奉贤·期中）如果一幅地图的比例尺为，那么实际距离是千米的两地在地图上的图距是（ ）
A．6厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
【变式2-3】（23-24九年级·陕西西安·期末）西安市大雁塔广场占地面积约为667000m，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积大约相当于（ ）
A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积
C．《华商报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积
知识点2：比例的性质
比例的性质 示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质：或 或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质： 已知，则当时，.
【题型3 由比例的性质判断结论正误】
【例3】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练习）若，则下列各式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24九年级·河南平顶山·期中）下列结论中，错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若（b﹣d≠0），则
D．若，则a＝3，b＝4
【变式3-2】（23-24九年级·山东泰安·期中）若（a、b、c、d、m均为正数），则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2024·甘肃陇南·一模）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ）
舞蹈社 溜冰社 魔术社
上学期 3 4 5
下学期 4 3 2
A．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变
C．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变
【题型4 由比例的性质求参数的值】
【例4】（23-24九年级·河南郑州·期末）已知，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
【变式4-1】（23-24九年级·安徽亳州·阶段练习）已知，，满足且，试求，，的值．
【变式4-2】（2024春·安徽蚌埠·九年级校考期末）已知a，b，c为的三边长，且，．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即），求线段x的长．
【变式4-3】（23-24九年级·山东烟台·期中）如果，且，那么k的值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【题型5 由比例的性质求代数的值】
【例5】（23-24九年级·四川眉山·阶段练习）如果，且，则的值为 ．
【变式5-1】（23-24九年级·山东青岛·期末）已知，则的值为 ．
【变式5-2】（23-24九年级·陕西西安·期中）已知．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【变式5-3】（23-24九年级·四川乐山·期末）已知满足，试求的最大值 ．
【题型6 由比例的性质进行证明】
【例6】（23-24九年级·山东淄博·期末）已知a，b，c，d为四个不为0的数．
(1)如果，求与的值；
(2)如果，求证；
(3)如果，求证．
【变式6-1】（2024九年级·全国·专题练习）已知，且.求证：.
【变式6-2】（23-24九年级·全国·单元测试）已知，且，求证：．
【变式6-3】（23-24九年级·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下：
解；设，则有：
，，，
将以上三个等式相加，得.
，，都为正数，
，即，.
.
仔细阅读上述材料，解决下面的问题：
（1）若正数，，满足，求的值；
（2）已知，，，互不相等，求证：.
【题型7 由比例的性质比较大小】
【例7】（23-24九年级·河北保定·期末）若，设，，，则、、的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如果，，满足，则，，之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2024九年级·北京西城·专题练习）已知＝＝≠0，设x＝，y＝，z＝，
试判断x，y，z的大小关系．
【变式7-3】（23-24九年级·广东珠海·期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数.
（1）若，，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）；
（2）若请判断和的大小关系，并证明；
（3）令若分式的值为3，求t的值.
【题型8 比例的应用】
【例8】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，以O为支点，木棍所受的重力为G．根据杠杆原理，在A处需一竖直向上的拉力F才能保持木棍不动，若向上的拉力F与重力G大小之比为，，则的长为 ．
【变式8-1】（2024春·四川成都·九年级校考期中）在同一时刻物高与影长成比例，小华量得综合楼的影长为米，同一时刻她量得身高米的同学的影长为米，则可知综合楼高为_______．
【变式8-2】（2024春·广东茂名·九年级统考期中）装修一间客厅，用边长分米的方砖铺地，需要块，如果改用边长分米的方砖铺地，需要多少块？
【变式8-3】（2024春·四川成都·九年级成都七中校考期中）国家会展中心上海坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心上海距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心上海与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有多少公里？运用比例解答
知识点3：黄金分割
若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）
【题型9 由黄金分割求值】
【例9】（2024·内蒙古包头·三模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④．
请填写你认为正确的结论序号： ．
【变式9-1】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（23-24九年级·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ．
【变式9-3】（23-24九年级·河南许昌·期末）如图，已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取，则 ．
【题型10 黄金分割的应用】
【例10】（2024九年级·黑龙江大庆·学业考试）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（2024·广东·二模）如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为，则眼梢到鼻翼的距离为 ．（，结果保留两位小数）
【变式10-2】（23-24九年级·山东德州·阶段练习）如图1在线段上找一个点B，B把分成和两段，其中是较小的一段，满足，则B为线段的黄金分割点．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图2，B为的黄金分割点（)，长度为，则的长度 ；(结果用根号表示)
【变式10-3】（23-24九年级·陕西西安·阶段练习）鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为10cm，则的长为 cm．（结果保留根号）
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【人教版】
【题型1 由成比例线段直接求值】 1
【题型2 比例尺】 3
【题型3 由比例的性质判断结论正误】 5
【题型4 由比例的性质求参数的值】 7
【题型5 由比例的性质求代数的值】 10
【题型6 由比例的性质进行证明】 12
【题型7 由比例的性质比较大小】 15
【题型8 比例的应用】 17
【题型9 由黄金分割求值】 19
【题型10 黄金分割的应用】 24
知识点1：成比例线段
1．比例的项：
在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
【题型1 由成比例线段直接求值】
【例1】（23-24九年级·上海宝山·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据比例线段的概念逐项判断即可解答
【详解】解：A．∵，∴四条线段成比例，符合题意；
B．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意；
C．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意；
D．∵，∴四条线段成比例，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
【变式1-1】（23-24九年级·广东梅州·期中）根据，可以组成的比例有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质，进行计算即可解答．
【详解】解： ，
，
故选：A．
【变式1-2】（23-24九年级·浙江嘉兴·期中）已知，且．
(1)求、的值；
(2)若是、的比例中项，，求的值．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本题考查了比例及比例中项，解题的关键是正确理解其概念．
（1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值；
（2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据平方根的定义求解；
【详解】（1）解：∵，
∴设，，
∵，
∴，
∴，
∴，；
（2）∵是、的比例中项，
∴，
∴．
【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，在中，CD是斜边AB上的高线，试猜想线段AC，AB，CD，BC是否成比例．如果成比例，请写出这个比例式，并进行验证；如果不成比例，请说明理由.
【答案】线段AC，AB，CD，BC成比例，且，理由见解析
【分析】根据直角三角形的面积公式，得，整理变形即得答案.
【详解】解：线段AC，AB，CD，BC成比例，且（或）.
验证如下：
根据三角形的面积公式，得，所以，即.
【点睛】本题以直角三角形为依托，主要考查成比例线段的性质，即若，则ad=bc，反之也成立，即若ad=bc，则.解题的关键是由直角三角形的面积得出.
【题型2 比例尺】
【例2】（2024·江苏泰州·三模）为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为，当地图上比例尺由变为时，则地图上两个校区的路程增加了 ．
【答案】
【分析】本题考查了比例尺的运用，掌握比例尺的计算方法是解题的关键．
根据进行计算即可求解，计算时注意单位的换算，单位要统一．
【详解】解：实际路程为，
当比例尺为时，图示距离为，
当比例尺为时，图上距离为，
∴，
故答案为： ．
【变式2-1】（23-24九年级·江苏无锡·期末）在某市建设规划图上，城区南北长为，该市城区南北实际长为，则该规划图的比例尺是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了比例尺．根据比例尺图上距离实际距离，列比例式求得这两地的实际距离．
【详解】解：根据题意得：该规划图的比例尺是．
故答案为：．
【变式2-2】（23-24九年级·上海奉贤·期中）如果一幅地图的比例尺为，那么实际距离是千米的两地在地图上的图距是（ ）
A．6厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
【答案】A
【分析】根据比例尺的定义：图上距离与实际距离的比直接计算即可得到答案；
【详解】解：∵比例尺为，实际距离是千米，
∴图上距离，
故选：A．
【变式2-3】（23-24九年级·陕西西安·期末）西安市大雁塔广场占地面积约为667000m，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积大约相当于（ ）
A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积
C．《华商报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积
【答案】C
【分析】利用相似多边形的面积比等于相似比的平方，列比例式进行求解，再根据现实生活中的物体的面积，即可得出答案．
【详解】设其缩小后的面积为xm ，
则x:667000=(1:2000) ，
x=0.16675m，
其面积相当于报纸的一个版面的面积.
故选C.
【点睛】此题考查相似多边形的性质，正确估计图形的面积，和生活中的物体联系起来是本题的关键.
知识点2：比例的性质
比例的性质 示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质：或 或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质： 已知，则当时，.
【题型3 由比例的性质判断结论正误】
【例3】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练习）若，则下列各式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，．代入选项计算结果，即可得到答案．
【详解】解：设，，
A．，正确，故A选项不符合题意；
B．，原式错误，故B选项符合题意；
C．，正确，故C选项不符合题意；
D．，正确，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查比例的基本性质，解题的关键是利用换元法进行约分消元求值．
【变式3-1】（23-24九年级·河南平顶山·期中）下列结论中，错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若（b﹣d≠0），则
D．若，则a＝3，b＝4
【答案】D
【分析】根据比例性质，化为乘积变形可判断A正确，利用先化积，再化比例可判定B，利用换元计算可判断C，设比值，取k=1与k≠1，可判断D．
【详解】解：A、若，则，而，正确，不合题意；
B、若，则6（a﹣b）＝b，故6a＝7b，则，正确，不合题意；
C、若（b﹣d≠0），则，正确，不合题意；
D、若，设，当k=1时，有a＝3，b＝4，当k≠1， a，b的值不是3与4，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查比例性质，等积化比例，比例化等积，合分比性质，掌握比例性质是解题关键．
【变式3-2】（23-24九年级·山东泰安·期中）若（a、b、c、d、m均为正数），则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】把各个选项依据比例的基本性质和合比性质，即可判断求解．
【详解】A、∵，两边同乘以bd得：，故A正确，不合题意；
B、∵，两边平方得：，故B正确，不合题意；
C、∵，两边平方得：，两边同乘以得：，
故C正确，不合题意；
D根据不能得出，故D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【点睛】本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，及比例的合比性质判断是否相同即可．
【变式3-3】（2024·甘肃陇南·一模）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ）
舞蹈社 溜冰社 魔术社
上学期 3 4 5
下学期 4 3 2
A．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变
C．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变
【答案】D
【分析】若甲：乙：丙=a：b：c，则甲占全部的，乙占全部的，丙占全部的．
【详解】由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：
∴舞蹈社增加，溜冰社不变．
故选D．
【点睛】本题考查了比例的性质．找出各社团人数占全部人数的比例是解题的关键．
【题型4 由比例的性质求参数的值】
【例4】（23-24九年级·河南郑州·期末）已知，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当时，根据等比性质计算得出结果；②当时，则，代入计算得出结果．
【详解】解：分两种情况：
①当时，得；
②当时，
则，；
综上所述，k的值为1或．
故选：C．
【变式4-1】（23-24九年级·安徽亳州·阶段练习）已知，，满足且，试求，，的值．
【答案】，，
【分析】本题主要考查了比例的性质，设，得出，，，根据，求出，即可得到答案，利用比例的性质设未知数是解题关键．
【详解】解：设，
则，，，
∴，
解得：，
∴，，．
【变式4-2】（2024春·安徽蚌埠·九年级校考期末）已知a，b，c为的三边长，且，．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即），求线段x的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，则，再结合题意可列出关于k的等式，解出k的值，即可求出线段a，b，c的长；
（2）由题意可直接得出，解出x的值（舍去负值）即可．
【详解】（1）由题意可设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
整理，得：，
解得：（舍去负值）．
【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k法”是解题关键．
【变式4-3】（23-24九年级·山东烟台·期中）如果，且，那么k的值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质求得，代入，即可求解．
【详解】解： ，
，
．
，
，
故选：B．选D．
【题型5 由比例的性质求代数的值】
【例5】（23-24九年级·四川眉山·阶段练习）如果，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了比例的性质，设，得出，，，再根据，求出的值，从而得出，，的值，最后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【详解】解：设，
则，，，
，
，
，
，，，
；
故答案为．
【变式5-1】（23-24九年级·山东青岛·期末）已知，则的值为 ．
【答案】/
【分析】先求出，再根据比例的性质即可得．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．
【变式5-2】（23-24九年级·陕西西安·期中）已知．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题主要考查了比例的性质，通过，设出是解题的关键．
（1）设，则，据此可得答案；
（2）设，由得到，解方程求出，则．
【详解】（1）解：∵，
∴可设
∴；
（2）∵，
∴可设，
∵
∴．
∴，
∴．
【变式5-3】（23-24九年级·四川乐山·期末）已知满足，试求的最大值 ．
【答案】25
【分析】设，得到关于k的等式，利用配方法和非负数的性质即可求解．
【详解】解：设，
∴a-1=2k，b+1=3k，c-2=4k，即a=2k+1，b=3k-1，c=4k+2，
∴a2+b2 c2= (2k+1)2+(3k-1)2 (4k+2)2
=4k2+4k+1+9k2-6k+1-(16k2+16k+4)
=4k2+4k+1+9k2-6k+1-16k2-16k-4
=-3k2-18k-2
=-3(k2+6k+9-9)-2
=-3(k+3) 2+25
∵(k+3) 2≥0，则-3(k+3) 2≤0，
∴a2+b2 c2的最大值为25，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了比例的性质，完全平方公式，掌握配方法和非负数的性质是解题的关键．
【题型6 由比例的性质进行证明】
【例6】（23-24九年级·山东淄博·期末）已知a，b，c，d为四个不为0的数．
(1)如果，求与的值；
(2)如果，求证；
(3)如果，求证．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了分式的求值，比例的性质：
（1）先根据已知条件得到，，再把代入中进行求解即可；
（2）设，则，，再分别计算出和的值即可证明结论；
（3）求出，进而可得。
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴；
（2）证明：设，则，，
∴，，
∴；
（3）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
【变式6-1】（2024九年级·全国·专题练习）已知，且.求证：.
【答案】见解析
【分析】根据已知设，分别用k表示a、b、c，相加得出k的值，代入方程组即可得出
【详解】设，从而，，，
于是（+），
又因为，所以；
.
【点睛】本题考查了分式的运算和比例的性质，整体代入的思想即将一个表达式来表示另外一个，求出k的值是解题的关键
【变式6-2】（23-24九年级·全国·单元测试）已知，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】由得到，则利用等式的基本性质得到，，则，利用比例的基本性质即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】此题考查了比例的基本性质，等式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【变式6-3】（23-24九年级·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下：
解；设，则有：
，，，
将以上三个等式相加，得.
，，都为正数，
，即，.
.
仔细阅读上述材料，解决下面的问题：
（1）若正数，，满足，求的值；
（2）已知，，，互不相等，求证：.
【答案】（1）k=；（2）见解析．
【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；
（2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立．
【详解】解：（1）∵正数x、y、z满足，
∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y），
∴x+y+z=3k（x+y+z），
∵x、y、z均为正数，
∴k=；
（2）证明：设=k，
则a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a），
∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a），
∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=0，
∴8a+9b+5c=0．
故答案为（1）k=；（2）见解析．
【点睛】本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键．
【题型7 由比例的性质比较大小】
【例7】（23-24九年级·河北保定·期末）若，设，，，则、、的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，设x=2a，y=7a，z=5a，进而代入A，B，C分别求出即可．
【详解】解：∵，设x=2a，y=7a，z=5a，
∴=，
==1，
==2．
∴A＜B＜C．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y，z的值进而求出是解题的关键．
【变式7-1】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如果，，满足，则，，之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，∴，，
∴，∴．故选．
【变式7-2】（2024九年级·北京西城·专题练习）已知＝＝≠0，设x＝，y＝，z＝，
试判断x，y，z的大小关系．
【答案】z>y>x
【详解】设 = = =k（k≠0），
∴a=2k，b=7k，c=5k，
∴x=== ，
y= = =1，
z= ==2，
∴z>y>x.
【变式7-3】（23-24九年级·广东珠海·期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数.
（1）若，，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）；
（2）若请判断和的大小关系，并证明；
（3）令若分式的值为3，求t的值.
【答案】（1）=；=；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）由，，得到a=2b，c=2d，代入化简即可得到结论；
（2）设，则，得到a=bt，c=dt，代入化简即可得到结论；
（3）由已知得到：a=ct，b=dt.代入分式，化简后解方程即可得出结论.
【详解】（1）∵，，
∴a=2b，c=2d，
∴，.
故答案为：=；
（2）=.理由如下：
设，则，
∴a=bt，c=dt，
∴，
，
∴=；
（3）∵，
∴a=ct，b=dt.
∵2=3，
∴.
解得：t=.
经检验：t=是原方程的解.
【点睛】本题考查了比例的性质以及解分式方程.设参法是解答本题的关键.
【题型8 比例的应用】
【例8】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，以O为支点，木棍所受的重力为G．根据杠杆原理，在A处需一竖直向上的拉力F才能保持木棍不动，若向上的拉力F与重力G大小之比为，，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据杠杆平衡原理可得，则，求得，即可得到的长．
【详解】解：∵，，
根据杠杆平衡原理，可得，
∴，
解得 ，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了比例的基本性质、杠杆平衡原理，正确列式和计算是解题的关键．
【变式8-1】（2024春·四川成都·九年级校考期中）在同一时刻物高与影长成比例，小华量得综合楼的影长为米，同一时刻她量得身高米的同学的影长为米，则可知综合楼高为_______．
【答案】米
【解析】【分析】
本题考查的是比例线段的应用有关知识，本根据同一时刻物高与影长成比例可得，同学身高同学影长综合楼高综合楼影长．
【解答】
解：设综合楼高为米，
即
解得．
答：综合楼高为米．
【变式8-2】（2024春·广东茂名·九年级统考期中）装修一间客厅，用边长分米的方砖铺地，需要块，如果改用边长分米的方砖铺地，需要多少块？
【答案】解：设改用边长分米的方砖，需要块，
．
答：改用边长分米的方砖，需要块．
【解析】此时考查比例性质，此题的关键是明白房子的地面面积一定，方砖的面积与方砖的块数成反比．房子的地面面积一定，方砖的面积与方砖的块数成反比，据此可列比例解答即可．
【变式8-3】（2024春·四川成都·九年级成都七中校考期中）国家会展中心上海坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心上海距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心上海与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有多少公里？运用比例解答
【答案】解：设国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有公里，依题意有：
：：，
解得．
答：国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有公里．
【解析】根据比例尺图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有多少公里．
此题主要考查了比例线段，掌握比例尺是本题的关键，注意单位的统一．
知识点3：黄金分割
若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）
【题型9 由黄金分割求值】
【例9】（2024·内蒙古包头·三模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④．
请填写你认为正确的结论序号： ．
【答案】①②③
【分析】先讨论顶角为和的等腰三角形中的黄金分割关系，再在题中的所给图形中分析出顶角为和的等腰三角形，逐个判断即可．本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形的相关性质及黄金分割的比例关系，并能准确的计算是本题的解题关键．
【详解】解：如图1，中，，，平分，
，，
和为相似的等腰三角形，
设，，
，
由相似得：，
（负值舍去），
点是线段的黄金分割点，
即：，，
，
；
如图2，中，，，，
，，
和为相似的等腰三角形，
设，，则，
由相似得：，
（负值舍去），
点是线段的黄金分割点，
即：，，
，
；
如图，连接、、、、，
五边形为正五边形，，
，
，
，故①正确；
易证：，，
和为相似的等腰三角形，
由图2得：，
，故②正确；
由题得和为相似的等腰三角形，
由图2得：，
，
，
，故③正确；
在中，，，
由图1得：，
即：，故④错误，
故答案为：①②③．
【变式9-1】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了黄金分割，不妨设点C靠近A，点D靠近B，则由黄金分割比例得到，，再由列出方程求解即可．
【详解】解：∵点C，D都是线段的黄金分割点，
∴不妨设点C靠近A，点D靠近B，
∴，，
∵，
∴，
解得，
故选：C．
【变式9-2】（23-24九年级·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ．
【答案】/
【分析】
本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设，根据正方形的性质可得，则，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.
【详解】解：设，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是黄金矩形，
∴，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴，
故答案为：．
【变式9-3】（23-24九年级·河南许昌·期末）如图，已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取，则 ．
【答案】
【分析】先求得，再根据所给作图步骤，分别求出出和即可解决问题．本题主要考查了黄金分割，能根据题中所给作图步骤，理清各线段之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
在中，
．
因为，
所以，
所以，
所以．
故答案为：
【题型10 黄金分割的应用】
【例10】（2024九年级·黑龙江大庆·学业考试）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，由腿长为105cm，可得，解得，根据得到，由此得到答案.
【详解】解：设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，则由腿长为105cm，可得，解得.
由头顶至脖子下端的长度为26cm，
可得，
解得.
由已知可得，
解得.
综上，此人身高m满足.
所以其身高可能为175cm.
故选：B
【点睛】此题考查比例的性质，根据题意设定未知数后得到对应成比例的线段，由此解答问题是解答此题的关键.
【变式10-1】（2024·广东·二模）如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为，则眼梢到鼻翼的距离为 ．（，结果保留两位小数）
【答案】3.24
【分析】本题考查的是黄金分割的含义，平行线分线段成比例的含义，先画出图形，可得，再建立方程求解即可．
【详解】解：如图，
由题意可得：，，，
∴，而，，
∴，
∴，
经检验符合题意；
∴眼梢到鼻翼的距离约为，
故答案为
【变式10-2】（23-24九年级·山东德州·阶段练习）如图1在线段上找一个点B，B把分成和两段，其中是较小的一段，满足，则B为线段的黄金分割点．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图2，B为的黄金分割点（)，长度为，则的长度 ；(结果用根号表示)
【答案】
【分析】设的长度为，根据黄金分割的意义列出比例式，整理出关于x的一元二次方程，解方程可得答案．
【详解】解：设的长度为，
∵长度为，
∴，
又∵图2中点B为的黄金分割点（)，
∴，即，
整理得：，
解得：，（舍去），
即的长度为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，一元二次方程的应用，正确理解黄金分割的意义是解题的关键．
【变式10-3】（23-24九年级·陕西西安·阶段练习）鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为10cm，则的长为 cm．（结果保留根号）
【答案】
【分析】根据黄金分割的定义，得，构建方程计算求解．
【详解】解：根据题意，；
∴
∴
故舍去；
∴
故答案为：
【点睛】本题考查黄金分割的定义，一元二次方程的求解；掌握黄金分割的定义是解题的关键．
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