河北省保定市2024-2025学年高一下学期开学数学试题（含答案）

河北省保定市2024-2025学年高一下学期开学
数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知集合，，则(　　).
A． B． C． D．
2．“”是“”的（　　）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知角的终边过点，则（　　）
A． B． C． D．
4．设，，，则（　　）
A． B． C． D．
5．为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（　　）
A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
6．函数的零点的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知函数 在 上恰有4个零点，则正整数 的值为（　　）
A．2或3 B．3或4 C．4或5 D．5或6
8．已知函数若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列函数为奇函数的是（　　）
A． B． C． D．
10．若关于的不等式有实数解，则的值可能为（　　）
A．0 B．3 C．1 D．
11．已知函数部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．的图象关于点对称
B．的图象关于直线对称
C．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
12．已知等比数列的前项和为，则（　　）
A． B．
C．数列为单调数列 D．数列为单调数列
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．函数的定义域为　 　．
14．已知，，且，则的最小值为　 　．
15．已知扇形的面积为4，半径为2，则扇形的圆心角为　 　弧度.
16．已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为　 　．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
（3）
18．已知函数，
（1）在下图平面直角坐标系中画出函数的图象；
（2）解关于的方程．
19．已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
20．已知函数，其中，．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，且，求的值．
21．近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示．
建立平台第年 1 2 3
会员人数（千人） 22 34 70
（1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第年年末会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数；
①；②；③．
（2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第年年末的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求的最小值．
22．已知函数.
（1）当时，讨论函数的奇偶性；
（2）若对任意的成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．D
2．B
3．D
4．C
5．A
6．C
7．C
8．B
9．B,C,D
10．A,C,D
11．A,C,D
12．B,C
13．
14．
15．2
16．
17．（1）
（2）
（3）
18．（1）解：函数图象如下：
（2）解：由，可得，
令，则或，即或，均满足；
令，则，满足；
综上，方程的解集为.
19．（1）
（2）
20．（1）∵，
∴，，
解得：，又，∴，∴；
令，解得：，
∴的单调递增区间为；
（2）由（1）知：，∴；
当时，，∴，
∴．
21．（1）解：由表格中的数据知，所求函数是一个增函数，且增长越来越快，
模型①的函数递减，模型②的函数即使递增，增长也较缓慢，因此选择模型③，
于是，解得，
所以函数模型对应的解析式为，
当时，预测2024年年末的会员人数为千人；
（2）解：由（1）及已知得，对，都有，令，则，
令，则不等式右边等价于函数，
函数在区间上单调递增，且，
则，即的最小值为．
22．（1）偶函数
（2）