贵州省毕节梁才学校等2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（含解析）

贵州省毕节梁才学校等2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.在等比数列中，，，则公比( )
A. B. C. D.
4.已知角满足，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知点在直线上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上的一个动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数满足，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则的周长为 D. 若，则的离心率为
10.已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则( )
A. 圆的半径为 B. 圆心到直线的距离为
C. D.
11.在长方体中，，，为的中点，动点在长方体内含表面，且满足，记动点的轨迹为，则( )
A. 的面积为
B. 平面与所在平面平行
C. 当时，存在点，使得
D. 当时，三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数是偶函数，则
13.九章算术商功中将正四面形棱台即正四棱台建筑物称为方亭．现有一方亭，已知，且该方亭的高为，体积为，则 ．
14.已知函数若方程在区间内无解，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，已知．
求角的大小；
已知，，求的面积．
16.本小题分
为了了解高二年级学生的数学学习情况，某学校对高二年级学生的日均数学自主学习时间进行了调查，随机抽取名学生的日均数学自主学习时间单位：分钟作为样本，经统计发现这名学生的日均数学自主学习时间均在内，绘制的频率分布表如下表所示：
日均数学自主学习时间
频率
试估计这名学生的日均数学自主学习时间的平均数同一组数据用该组区间的中点值作代表；
试估计这名学生的日均数学自主学习时间的第百分位数；
现采用分层随机抽样从日均数学自主学习时间在与内的学生中抽取名学生进行个案分析，再从这被抽取的名学生中随机抽取名学生提供个性化指导方案，求被抽取的名学生中至少有名学生的日均数学自主学习时间在内的概率．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，．
证明：平面平面．
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知公差为的等差数列满足，数列满足，．
求数列，的通项公式．
设，数列的前项和为．
(ⅰ)求；
(ⅱ)若不等式对任意的恒成立，求的最大值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，对于任意一点，总存在一点满足关系式，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换．
在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得圆变换为椭圆．
在同一直角坐标系中，椭圆经平面直角坐标系中的伸缩变换得到曲线．
求曲线的方程；
已知，，过点的直线交于，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】因为，，
所以．
故选：．
2.【答案】
【解析】因为，所以，
所以的虚部是．
故选：．
3.【答案】
【解析】因为，，
所以，即，
解得．
故选：．
4.【答案】
【解析】因为，
所以．
故选：．
5.【答案】
【解析】因为，，与的夹角为，
所以，
所以在方向上的投影向量为．
故选：．
6.【答案】
【解析】因为点在直线 上，
所以，即，
所以
，当且仅当，即时取等号．
故选：．
7.【答案】
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，
过点作垂直于准线，交准线于点，则，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号，
所以的最小值为．
故选：
8.【答案】
【解析】由，可得，
所以，
所以为函数的一个周期，
又因为，
令，得，
令，得，
令，得，
所以，
所以．
故选：．
9.【答案】
【解析】对于：当，则曲线，表示焦点在轴上的椭圆，
则，故 A正确；
对于：当，则曲线，表示焦点在轴上的双曲线，
则，故 B正确；
对于：当，则曲线，表示焦点在轴上的椭圆，
则，又，
所以的周长，故 C错误；
对于：当，则曲线，表示焦点在轴上的双曲线，
则，，所以的离心率，故 D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】圆的标准方程为：，
故圆的半径为，故A错误；
因为圆心，
则圆心到直线的距离为，故 B正确；
，无最大值，故 C正确，D错误；
故选：．
11.【答案】
【解析】因为，所以在确定的平面内，
又，取的中点，连接，
则四边形为动点的轨迹，
因为长方体中，，，
所以，，
进而可求得等腰梯形的高为，
所以梯形的面积为，故 A正确；
连接，因为且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理可证平面，又，平面，
所以平面平面，又平面平面，
所以平面与所在平面不平行，故B错误；
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
当，则，
所以，
假设，则，
即，解得，
所以当时，存在点，使得，故 C正确；
当时，点在上，则点到平面的距离为定值，
又三角形的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故 D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】函数的定义域为
若函数是偶函数，
则，
又，
则，解得。
故答案为：．
13.【答案】
【解析】依题意可得，
即，
即，
解得或舍去．
故答案为：
14.【答案】
【解析】因为，
令，解得，
所以的零点分别为，，，，，，
因为方程在区间内无解，
所以，解得，
所以的取值范围是．
故答案为：．
15.【答案】由，可得，
又，所以，
所以，所以；
由知，
由余弦定理可得，又，，
所以，解得或舍去，
所以．
16.【答案】依题意可得日均数学自主学习时间的平均数为：
；
因为，，
所以第百分位数位于，设为，
则，解得，
所以第百分位数为；
依题意中抽取名学生，分别记作、、，
中抽取名学生，分别记作、，
从这名学生中，随机抽取名学生，则可能结果有：
，，，，，，，，，共个；
其中至少有名学生的日均数学自主学习时间在有：
，，，，，，共个，
所以至少有名学生的日均数学自主学习时间在的概率；
17.【答案】因为底面，平面，所以平面平面，
又平面平面，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
因为底面，，
如图建立空间直角坐标系，
显然面的一个法向量为，
又，，，
则，，
设是平面的法向量，
则，令，则，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
18.【答案】因为数列是公差为的等差数列，
且，所以，
即，解得，
所以，
因为，所以，
又
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以；
因为，
所以，
所以，
两式相减得
，
所以；
(ⅱ)由，可得，
令，
则，
所认单调递增，所以，所以的最大值为．

19.【答案】将伸缩变换代入，
得到，
将上式与比较，得，
解得，，
所以所求的伸缩变换为；
由，可得
代入，可得，
则，
所以曲线的方程为；
证明：由题意可知，直线的斜率存在，
设的方程为，，，
联立方程
消去得，
则，
解得，
可得，，
因为，所以直线的方程为，
令，解得，即，
同理可得，
则
，
所以线段的中点是定点．
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