贵州省遵义市播州区2024-2025学年高二上学期期末适应性考试数学试题（含解析）

贵州省遵义市播州区2024-2025学年高二上学期期末适应性考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.设，，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，已知电路中个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，下列结论正确的是( )
A. ，，则 B. ，，，则
C. ，，则 D. ，，，则
6.若角满足，则( )
A. B. C. D.
7.设集合，集合，那么集合中满足的元素的个数为( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为的正方体中，有个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有个以正方体中心为球心的球体，与均相切，则该部分的体积和的范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，下列区间中存在函数零点的是( )
A. B. C. D.
10.已知是圆上的动点，点，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
11.已知曲线，下列结论正确的是( )
A. 曲线关于对称
B. 曲线刚好经过个整点即横、纵坐标均为整数的点
C. 若点在曲线上，则
D. 曲线与直线有且只有一个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.若双曲线，满足，则的离心率为 ．
14.已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了调查某厂名工人生产某种产品的能力，随机抽查了名工人某天生产该产品的数量单位：个，产品数量的分组区间为，，，频率分布直方图如图所示．
估计样本数据的分位数；
从产品数量在和的工人中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈，则这名工人在同一组的概率是多少．
16.本小题分
已知圆经过点和原点，且圆心在直线上
求圆的方程：
过点作圆的切线，求切线方程．
17.本小题分
已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，．
求；
求的取值范围．
18.本小题分
如图，已知等腰梯形中，，，，是的中点，，将梯形沿着翻折成，使．
求证：平面；
求平面与平面夹角的正弦值；
19.本小题分
已知椭圆，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知．
若离心率，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；
若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点，并说明理由．
答案和解析
1.
【解析】解：抛物线的焦点在轴上，且，
抛物线的准线方程是．
故选：．
2.
【解析】解：由题意可知：
故选：．
3.
【解析】解：根据题意，，
因为是增函数，所以，
由在上是增函数，所以，
所以．
故选：．
4.
【解析】解：灯亮，则需、闭合，闭合与否都可，
故灯亮的概率为．
故选：．
5.
【解析】解：对：由，，则或、异面，故 A错误；
对：若，，，则或、异面，故 B错误；
对：若，，则，故 C正确；
对：若，，，则或、异面或、相交，故 D错误．
故选：．
6.
【解析】解：．
故选：．
7.
【解析】解：集合中元素个数共有个，
若，则有，
则可能，共种；
或，或，共种；
或，或，共种；
故集合中满足的元素的个数为．
故选：．
8.
【解析】解：设球体的半径为，半径为，
所以，即，
易知，所以，
设 ，其图象开口向下，对称轴为，
所以，
该部分的体积和为
，
所以．
故选：．
9.
【解析】解：由题意可得：，，
可得，
由函数零点存在定理可得在区间内函数 存在零点，
，可得，
，可得，
，可得，
由函数零点存在定理可得在区间内函数存在零点．
故选：．
10.
【解析】解：对：，故 A错误；
对：，故 B错误；
对：的几何意义为过点与 连线的斜率，
设过点的直线为，则有，解得，
故的最小值为，故 C正确；
对：，
故的最大值为，故D正确．
故选：．
11.
【解析】解：因为曲线的方程为，
当，时，曲线的方程为，
当，时，曲线的方程为，
是焦点在轴上的等轴双曲线右支的一部分．
当，时，曲线的方程为，
是焦点在轴上的等轴双曲线上支的一部分．
作出曲线如图：
设点为曲线上的点，
则点关于对称的点为，代入方程成立，
所以曲线关于对称， A正确；
显然曲线上有点个整点，
除此之外任意两个整数的平方差都不可能等于，B正确；
由上可知直线为曲线中双曲线部分的渐近线，
设曲线中圆的部分与平行的切线为，即，
则，解得或舍，
即，曲线位于直线与之间，
所以若点在曲线上，则，
所以，即， C正确；
由于直线在下方，所以与曲线无交点， D错误．
故选：．
12.
【解析】解：根据题意，，
所以．
故答案为：．
13.
【解析】解：．
故答案为：．
14.
【解析】解：令，则，即，
令，则，则，
令，则，
又定义域为，故为偶函数，
设对任意，且，则，则，
故，即，
故在上单调递增，
，
即，则有
解得且，故其解集．
故答案为：．
15.解：由题可得，前三组频率之和为，
前四组频率之和为，则样本数据的分位数在区间内，
设分位数为，则有，解得，
样本数据的分位数为．
由图可得在内的工人为人，在内的工人为人，
故在内抽取人，记为，，，；在内抽取人，记为，，
则从这人中抽取人的样本空间有个样本点：，，且个样本点发生的可能性是相等的，
其中人在同一组的样本点有共个，
设人在同一组的概率为，则有．
综上，名工人在同一组的概率为．

16.解：由题意，设，
则，解得，
所以，半径为，
故圆的标准方程为．
如图所示，点在圆外，则过点的圆的切线有两条．
当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
设圆心到直线的距离为，而圆的半径为，
则，解得，所以切线方程为；
当切线的斜率不存在时， ，与圆相切．
综上，切线方程为或．


17.解：由，得，
即
，
由为锐角三角形，故、，故，
则有，即，即；
由正弦定理可得
，
由为锐角三角形，故，解得，
故，则，则．

18.解：连接，由已知条件易推得四边形为菱形，所以，所以，
又，所以，
又，所以，即，
又，平面，
所以平面．
由知平面，且，
以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
所以，，
设面的法向量为，
则
取，则，则，
设面的法向量为，
则
取，则，则，
设平面与平面夹角为，
则，
所以．
所以平面与平面夹角的正弦值为．

19.解：由题意可得，因为，
所以椭圆方程为，
设，则，
二次函数图象开口向下，对称轴为，所以函数在上单调递减，
所以当时，函数取最大值，此时为椭圆的短轴的另一个端点，
所以椭圆是“圆椭圆”；
因为椭圆方程为，，设，则
因为，所以，由题意得，当且仅当时，达到最大值，
则有，
综上，的取值范围为．
由可得，则椭圆方程为，设，
则直线：，直线：，
所以，
若以为直径的圆过定点，由对称性知定点在轴上，
设，则，又，
所以，又因为，
解得，为常数，
所以以线段为直径的圆过定点，定点为．

第4页，共12页