广东省茂名市2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试题（含解析）

广东省茂名市2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“函数满足”是“函数在区间上有零点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知角的终边在直线上，则的值为( )
A. B. C. D.
4.当取得最小值时，( )
A. B. C. D.
5.若与且，，互为相反数，则( )
A. B. C. D.
6.如图，中不属于函数，，的一个是( )
A. B. C. D.
7.函数，的图像与直线的交点个数为( )
A. B. C. D.
8.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给定函数，，，用表示，中的最大者，记为，则( )
A. 函数的单调递增区间是 B. 函数无最大值
C. 函数的最小值为 D.
10.已知函数是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. 当时， D. 当时，
11.已知函数，则下列命题正确的是( )
A. 若在上单调递增，则的取值范围是
B. 若在上恰有个零点，则的取值范围是
C. 若在上的值域为，则的取值范围是
D. 若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，为第四象限角，则 ．
13.已知，则的最小值为 ．
14.若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：
16.本小题分
如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，，已知点的坐标为
求的值
若，求的坐标。
分别计算和的值，根据计算结果，请你提出一个猜想，并证明你的猜想．
17.本小题分
对于函数，
若函数是增函数，求的取值范围
是否存在实数使函数为奇函数
18.本小题分
年中国新能源汽车产、销量分别达到万辆和万辆，同比分别增长和我国新能源汽车产销量占全球比重超过，连续年位居世界第一位新能源汽车出口万辆、同比增长，均创历史新高。年中国数家车企推出多款电动新能源汽车，引起市场轰动，电动新能源汽车还逐步成为人们购车的热门选择有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的数据如下表所示：
为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：，。
请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型不需要说明理由，并求出相应的函数解析式
方华驾驶一辆同型号电动汽车从银川出发经高速公路最低限速，最高限速匀速行驶到距离为的甘肃省天水市秦安县。出发前汽车电池存量为，汽车到达秦安县后至少要保留的保障电量假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计。已知该高速公路上服务区有功率为的充电柱充电量充电功率充电时间，若不充电，该电动汽车能否到达秦安县并说明理由若需要充电，求该电动汽车从银川到达秦安县所用时间即行驶时间与充电时间之和的最小值结果保留一位小数
19.本小题分
函数．
若的定义域为，求实数的取值范围
当时，是定义域为的奇函数，且时，，
求的解析式
若关于的方程恒有两个不同的实数根，求的取值范围。
答案和解析
1.
【解析】由对数函数的性质可得，
由指数函数的性质可得，
所以
故选B．
2.
【解析】解： 充分性：缺少条件“函数是上的连续函数”，故充分性不成立
必要性：在上有零点，
但不一定成立，
如在有零点，但．
即必要性不成立．
故“”是“在上有零点”的既不充分也不必要条件
故选D．
3.
【解析】解：由题知：，
设角的终边上一点，
则．
当时，，，，
．
当时，，，，
．
故选C．
4.
【解析】解：，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取得最小值时，．
故选A．
5.
【解析】解：由题意可得，，
所以．
故选：．
6.
【解析】解：结合对数函数的底数对单调性的影响可知，为，为，
根据函数的对称性可知，为，为，
中不属于函数，，的一个是．
故选：．
7.
【解析】解：作出函数，的图象与直线的图象，
如图所示：
由图可知，函数，的图象与直线有个交点．
故选D．
8.
【解析】解：
，
同理得，
故选B．
9.
【解析】解：根据题意，，，，
令，即，
解得，
所以当时，
，
令，即，
解得或，
所以当或时，
，
综上，，
项对于，其对称轴为，
在上单调递减，在上单调递增，
对于，在上单调递增，
所以的单调递增区间是，
则选项错误；
项当时，或，
的值会无限增大，
所以无最大值，
故B选项正确；
项，当时，
当时，，
且在的整个定义域内，在处取得最小值，
则选项正确；
项，当时，
因为，
所以，
则选项错误．
故选BC．
10.
【解析】解：对于，，A正确
对于，，B错误
对于，当时，，
所以，
又因为，
所以，C正确
对于，当时，，
所以，
又因为的周期为，
所以，D错误，
故选AC．
11.
【解析】对于，当时，，
又在上单调递增，
所以，可得，故A正确
对于，当时，，
若在上恰有个零点，则，所以，故B错误；
对于，由题意得，即，故C正确
对于，由题意得，解得，故D正确．
故选：．
12.
【解析】解：由题意可得，
所以．
故答案为．
13.
【解析】解：，
则，
当且仅当，即，时取等号，
所以所求最小值为．
故答案为．
14.
【解析】解：当时，，
则函数恰有一个零点，符合题意
当时，
若，即时，
函数无零点，
若，
则，
可知函数恰有一个零点，符合题意
若，即且，
要使函数在区间内恰有一个零点，
则有，
解得，
当，即时，
函数在区间内恰有一个零点，符合题意，
当，即时，
函数在区间内恰有一个零点，符合题意。
综上所述，实数的取值范围是．
故答案为．
15.解：原式
；
原式
．
【解析】详细解答和解析过程见
16.解：因为点在单位圆上且 ，
所以且，解得，
即，
由三角函数定义知， ，
故原式．
由题意，
，
故．
由知，，
所以，
根据计算结果猜想：，，
因为，
故猜想成立．
17.解：函数的定义域为，在上任取，且，
若函数是增函数，
则，即，
故
，
，，，
，
所以的取值范围是；
假设存在实数使函数为奇函数，
则，都有．
所以，
即，
则，
所以时函数为奇函数．
18.解：由表格中所列数据，与的函数关系，在定义域内单调递增，
由增长速度可知，选择函数模型，
由题意有：
解得：
所以．
设耗电量为，
则，
任取，
，
由，，，
则有，即，
所以函数在区间单调递增，
，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，
所以该车不在服务区充电不能到达秦安县；
又设行驶时间与充电时间分别为，总和为，
若能到达秦安县，
则初始电量充电电量消耗电量保障电量，
即，
解得，
所以总时间
当且仅当，即时取等，
所以该汽车到达秦安县的最少用时约为小时．
19.解：因的定义域为，
故恒成立，即恒成立，
设 ，则 ，
在 上单调递增，
则，即，
故，
即的取值范围为．
因为，
则当时，；
若，则，，
又因为为定义域为的奇函数，
所以当时，，
故；
方程等价于，
根据解析式可知，当时，，
当时，，
当 时，，
即，，故方程即为，
由于在上是单调递增函数，
故方程等价于，
即，
当时，函数在单调递减，在上单调递增，
而，
故要使得有两个不同的实数解，
须使，即；
当时，同理可得．
综上可得， ．
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