湖南省长沙市部分学校2024-2025学年高二下学期开学联考数学试题（含解析）

湖南省长沙市部分学校2024-2025学年高二下学期开学联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在数列中，若，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.若球被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心到该截面的距离为，则球的表面积是( )
A. B. C. D.
5.已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
6.函数在上的值域为( )
A. B. C. D.
7.过点作的切线，，切点分别为，，则( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，，设的前项和为，若，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系中，已知点，，，，则( )
A. B. 与夹角的余弦值为
C. 在上的投影向量为 D. 点到直线的距离为
10.已知等比数列的公比不为，设的前项和为，若，且，，成等差数列，则下列说法正确的是( )
A. B. 数列为等比数列
C. D.
11.已知，，是抛物线上不同的动点，为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，的中点为，则( )
A. 当时，的最大值为
B. 当时，的最小值为
C. 当时，直线的斜率为
D. 当，，三点共线时，点到直线的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用，，这三个数字组成一个三位数每个数字只能用一次，则这个三位数是偶数的概率为 ．
13.已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线经过，且与的右支交于，两点，若，则的离心率为 ．
14.如图，正八面体的每条棱长均为，与交于点，，为正八面体内部或表面上的动点若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求
若，求的面积的最大值．
16.本小题分
在直三棱柱中，是的中点，，，．
证明：平面．
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知正项数列的前项和为，且满足，．
证明：为等差数列．
求的值和的通项公式．
若数列满足，其前项和为，证明：．
18.本小题分
已知椭圆的短轴长为，且离心率为．
求的方程．
过点作斜率不为的直线与椭圆交于，不同的两点，再过点作直线的平行线与椭圆交于，不同的两点．
证明：为定值．
求面积的取值范围．
19.本小题分
在数列中，若存在项之和等于中的某一项，则称是“和数列”．
若，判断是否为“和数列”，是否为“和数列”，并说明理由．
在正项数列中，，且，证明：
可能是等比数列 若为等比数列，则不是“和数列”．
答案和解析
1.【答案】
【解析】依题意得，
又，
则．
故选：．
2.【答案】
【解析】由题意得，
所以，
则．
故选D．
3.【答案】
【解析】．．．，且，
，
故．
故选A．
4.【答案】
【解析】因为球一截面的面积为，所以该截面圆的半径为．
又因为球心到该截面的距离为，
所以球的半径，
所以球的表面积为．
故选C．
5.【答案】
【解析】由题可知在上单调递减，又是定义在上的奇函数，
所以在上单调递减，又，所以，
所以当或时，，当或时，，
则不等式等价于或解得或，
所以满足不等式的实数的取值范围为．
故选D．
6.【答案】
【解析】
，
由，可得，
所以．
故选A．
7.【答案】
【解析】由题可知，，，
则，
故．
故选B．
8.【答案】
【解析】因为，且，
所以当时，；
因为也满足，所以；
因为，所以，
若，，成等差数列，则，即，得．
故选B．
9.【答案】
【解析】因为，，
所以，故A正确
因为，，
所以，，故B正确
因为，，
所以在上的投影向量为，故C错误
因为，所以的一个单位方向向量为，
因为，
所以点到直线的距离为，故D正确．
故选ABD．
10.【答案】
【解析】设等比数列的公比为．
由，，成等差数列，得，
整理得，则，
则，
，
，
所以，
数列是等比数列．
当为奇数时，，单调递减，所以，
当为偶数时，单调递增，所以，
故
故选BCD．
11.【答案】
【解析】设，因为，
所以当，，三点共线时，有最大值，故A正确
因为在抛物线内侧，所以的最小值为点到直线的距离，
所以，故B错误
由得，
所以，故C正确
当，，三点共线时，点到直线的距离，
而，所以，故D正确
故选：．
12.【答案】
【解析】，，这三个数字组成一个三位数共有种情况，分别为，，，，
其中偶数有种情况，
故所求概率为．
故答案为．
13.【答案】
【解析】设，则，，．
因为，所以，解得，
即，，，，
则，所以．
在中，，
即，得，
所以双曲线的离心率为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】设过点且与直线垂直的平面为．
因为，所以点的轨迹是平面截正八面体的截面．
如图，连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系设的中点为，
则，，，，，．
设，则，，
所以，得，
，
因为，
所以，
当，时，取得最小值，且最小值为．
故答案为．
15.【答案】因为，
所以，
则，即，
所以，
故A．
由余弦定理可得．
因为，所以，所以，
当且仅当时，等号成立．
故的面积的的最大值为．
16.【答案】证明：连接，交于点，连接．
因为三棱柱为直三棱柱，
所以四边形为矩形，所以为的中点．
又是的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
如图，过点在平面内作．
因为三棱柱为直三棱柱，
所以，，两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
又，，，
则，，，，，，
所以，，，．
设平面的法向量为，
则
令，得，，
故为平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
则
解得，令，得，
故为平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，则
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

17.【答案】证明：由，
可得，
相减可得，
因此，
则．
因为为正项数列，
所以，则，
所以，
故数列为等差数列，且公差为．
因为，，所以，
当时，，解得，
．
证明：因为，
所以，，
两式相减得，
所以．
18.【答案】设的半焦距为，则
因为，所以
故C的方程为．
设直线的方程为，则直线的方程为．
联立得，
由，得．
设，，则．
联立得．
设，，则
证明：因为，所以，是定值
因为的面积，
且，
所以，．
设，则．
因为函数在上单调递增，所以，
故 19.【答案】是“和数列”，不是“和数列”．
理由如下：因为，所以．
又，所以是“和数列”．
由题可知中的每一项均是奇数，则中的任意项之和肯定为偶数，与中的任何一项均不相等，
故不是“和数列”．
证明：由，，得．
若是等比数列，则的公比，
则，
则，，符合，
故可能是以为公比的等比数列．
由可得，假设是“和数列”，
则存在，，，，，使得，
不妨令．
若，则，且，
则，
因为，所以为正偶数，
则为大于的正奇数．
因为不可能是大于的正奇数，
所以，这与矛盾，从而假设不成立，
则不是“和数列”．
若，则，
则．
由，得，
显然有，
则，
则，
即．
由，可得为正偶数，
则为正奇数，为正偶数，
则不可能成立，从而假设不成立，
则不是“和数列”．
综上所述，不是“和数列”．
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