八年级数学下册试题 1.1.1等边三角形-北师大版（含解析）

1.1.1等边三角形
一、单选题
1．如图，在等边三角形中，平分，若，则的长为()
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，则的长为( )
A．1 B． C．2 D．
3．如图，在正中，点D是边上任意一点，过点D作于F，交于点E，则的度数为(　　)

A． B． C． D．
4.如图，，点是射线上一点，且，点，在射线上，且，．则的长为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图所示，在等边三角形中，D，E分别在边，上，且，与交于点F，，垂足为点G.下列结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是( )

A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
6．已知等边三角形的周长为18，则边长为 ．
7．如图，在中，，那么 ．若P是边上一动点，连接，则的长的取值范围为 ．
8．如图，是等边三角形，点是延长线上一点，于点，于点．
(1) ；
(2)若，，则的长为 ．
9．两个大小不同的等边三角形三角板按图所示摆放．将两个三角板抽象成如图所示的和，点依次在同一条直线上，连接．若，，则点到直线的距离为 ．
10．如图1是由四片大小一样的门扇连接成的折叠门，该门的轨道装在天花板上，图2是其示意图．已知轨道，在推拉合页或时，滚轮，在轨道上移动，已知每小片门扇宽度均相等()．门完全关上时，门扇恰好贴合整条轨道．刚开始门扇叠合在左边，第一次向右拉开门扇，位置如图2时，，，此时门被关上部分的长是 ；接着继续向右拉门扇，位置如图3时，，，相比第一次，门又拉伸了 ．

三、解答题
11．如图，在中，，，平分，交于点，过点作于点，连接．
(1)若，求的长；
(2)判断的形状，并说明理由．
12．如图，将等边放在含有30°角的直角三角板上(，)，使落在线段上，与分别交边于点H、G，其中．

(1)证明：；
(2)求的长．
13．如图,为等边三角形,,相交于点,于,,．
(1)求证:;
(2)求的度数;
(3)求的长．
14.如图，已知和均是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与交于点．
(1)求证：；
(2)若与交于点N，与交于点，连接，求证：为等边三角形．
15.如图，在等边中，点在内，，且，．
(1)试判定的形状，并说明理由；
(2)判断线段，的数量关系，并说明理由．
16.如图，在中，，点D在内部，，，点E在外部，．
(1)求的度数；
(2)判断的形状并加以证明；
(3)连接，若，求的长．
17.如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．
(1)求证：；
(2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长．
18.如图，为等边三角形，分别是上的点，连接和相交于点．

(1)如图1，若分别为的中点，求证：
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接，若，求的长．
19.如图，在中，，点在上，点在的延长线上，连接、，．
(1)求证：；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，在(2)的条件下，点是外一点，连接，，，且平分，若，，求的长．
20.【问题原型】如图1、图2，已知点为线段上一点，分别以为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点．
(1)如图1，若，则的度数为________；
(2)【初步探究】如图2，若，连接，求的度数；
(3)【简单应用】将图1中的等边绕点顺时针旋转(如图3)，连接，若，则的度数为________．
21.已知：如图，在等边中，点D是上任意一点，点E在BC延长线上，连接，使得．
(1)如图1：求证：；
(2)如图2，取的中点F，连接，求证：；
(3)如图3，在(2)的条件下，过点F作于点H，求证：．
答案
一、单选题
1．B
【分析】本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形边角之间的关系．
先根据等边三角形的性质得出，，再由平分，可得出，根据直角三角形性质即可得出结论．
【详解】解：∵是等边三角形，，
∴．
又∵平分，
，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，含的直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，含的直角三角形的性质是解题的关键．
由题意知，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
先根据等边三角形的性质得出，根据直角三角形的性质求出，再根据平角定义求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵于F，交于点E，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，过点作，垂足为，根据题意得出，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：过点作，垂足为，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：A．
5．A
【分析】根据等边三角形的性质可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得，求出，然后利用三角形的内角和定理求出，判定②正确；求出，，，判定不是等腰三角形；求出，再求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后判断④．
【详解】解：∵等边，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∴，
在中，
，故②正确；
∵，，
∴，
∴不是等腰三角形，故③错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，故④正确，
综上所述，正确的有①②④．
故选：A．
二、填空题
6．6
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等边三角形的三边相等，除以3即可．
【详解】∵等边三角形的三边相等，
∴边长为，
故答案为：6．
7． 6
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，由直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB的长，即可解决问题．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴AP的长的取值范围是．
故答案为：．
8．
【分析】本题考查了等边三角形的性质、含的直角三角形、等腰三角形的判定等知识点．掌握相关知识点进行几何推理是解题关键．
由等边三角形的性质，结合垂直的定义即可求解；
设，由已知可得等边三角形的边长为，根据含的直角三角形建立方程，即可求解．
【详解】解：由题意得：，
，
，
故答案为：；
设与相交于点，如图所示，
，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，，
在中，，
即，
解得：，
．
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，首先根据等边三角形的性质得，，，得到，据此可依据“”判定和全等，从而得出 ，，然后过点作于点，在中，利用勾股定理可求出的长，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
过点作，垂足为，
∵是等边三角形，
∴, ，
在中，,，
由勾股定理得：，
∴点到直线的距离为，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，先判定与是两个全等的等边三角形，从而求出与，从而得到，过点分别作的垂线，垂足为，则垂足出与的中点，先证明，从而得到，再根据得出，运用勾股定理列方程求出与，继而得解，掌握一线三直角的全等模型和等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，门完全关上时，门扇恰好贴合整条轨道，
∴，
∵，，
∴，
∴与是两个全等的等边三角形，
∴，
∴，
过点分别作的垂线，垂足为，即

由题意可知：，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，即，，
解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴相比第一次，门拉伸的长度为：，
故答案为：；．
三、解答题
11．(1)解： ，，
，
∵BD平分，
，
，
，
；
(2)是等边三角形，
理由：，，
，
在中，，
，，
是等边三角形．
12．(1)解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)解：过点F作于，

∵，
∴，
∴，
又∵，
∴由三线合一得，
∴．
13．(1)解:证明:∵为等边三角形,
∴,,
在和中,
,
∴,
(2)解:由(1)知,
∴,,
∴,
故答案为:．
(3)解:∵,,
∴,
∴,
∴．
14.(1)证明：和均是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
；
(2)证明：由(1)得，
，
由(1)得 ACD≌ BCE，
，即，
在和 中，
，
，
，
又，
为等边三角形．
15.(1)解：是等边三角形．
理由：是等边三角形，
．
又，，
，
，
是等边三角形．
(2)解：．
理由：由(1)知是等边三角形，
，
．
，
．
在和中，
，
．
16.(1)解：，，
是等边三角形，
∴，
在和中，
，
，
，
．
(2)解：是等边三角形，证明如下：
，
，
在和中，
，
，
，
，
是等边三角形．
(3)解：如图所示，连接，
∵是等边三角形，
∴，，
，
，
∵，即，，
，
，
∴ ，
∴．
17.(1)证明：∵是等边三角形，是中线，
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
(2)∵，
∴
∴在中，．
∴．
∵，
∴．
∴．
18.(1)证明：∵为等边三角形，分别为的中点，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
即．
(2)证明：∵为等边三角形,
∴，，
在和中，
，
∴ ABD≌ BCE（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴．
(3)连接，如图，
是等边三角形，
，，
，
，即，
在和中，
，
；
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
在中，，
，
19.(1)证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
(2)证明：过点D作，交于点H，
，，
为等边三角形；
，
，
,
为等边三角形；
，
由(1)知，
，
，
在与中，
，
；
，
；
(3)解：过点作于点，过点作的延长线于点，
平分，
，
，，
，
；
，，
由(2)知为等边三角形，
，
；
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
设，则，
，
∴，
∴，
∴．
20.(1)解：，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，即，
，
，
故答案为：；
(2)解：，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，即，
，
，
如图，作于，于，
，
，
，，
，，
，
，，
平分，
；
(3)解：，
，即，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
21.(1)证明：如图所示，作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在，中，
，
∴，
∴，
∴；
(2)证明：如图所示，过点作，交的延长线于点，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在，中，
，
∴，
∴，
由(1)可知，，
∴，
在，中，
，
∴，
∴；
(3)证明：由(2)可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即．