初中数学北师大版八年级下册 1.2直角三角形（含解析）

1.2直角三角形
一、单选题
1．在中，，，则的度数是( )
A． B． C． D．
2．中，，，的对边分别记为a，b，c，有下列说法错误的是( )
A．如果，则
B．如果，则为直角三角形
C．如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数
D．如果，则为直角三角形
3．如图，是等腰底边边上的中线，，，则度数是( )

A． B． C． D．
4．如图，在和中，，则下列结论中不一定成立的是( )

A． B． C． D．E为BC中点
5．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是( )
A． B．
C．的面积为5 D．点A到的距离是1.5
二、填空题
6．如图所示，，可使用“”判定与全等，则应添加一个条件是 ．
7．若，则由，，组成的三角形是 三角形．
8．如图所示，在中，，，将其沿折叠，使点A落在边上的处，则 ．
9．如图，在中，，，过上一点D作交的延长线于点P，交于点Q．若，则 ， ．
10．如图，在等腰梯形中，，，，，直角三角板含角的顶点放在边上移动，直角边始终经过点，斜边与交于点，若为等腰三角形，则的长为 ．

三、解答题
11．如图，，点B，E，F在同一直线上，，，求证．
12．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)，测得千米，千米，千米，
(1)问是否为从村庄C到河边的最近路？(即问：与是否垂直？)请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．
13．如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均为网格上的格点．

(1)__________，__________，__________；
(2)的形状为__________三角形；
(3)求中边上的高__________．
14．如图，已知，，，．
(1)求的长；
(2)求的度数．
15.如图，点、、、在同一条直线上， ，，，．求证：．
16.如图，，垂足分别为．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
17.如图，已知是上的一点，且．
(1)和全等吗？请说明理由；
(2)判断的形状，并说明理由．
18.如图，已知，点在一条直线上，与交于点．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
19.如图，在中， F为延长线上一点，点 E在上，且 ．
(1)若 ，求 度数；
(2)求证： ；
(3)试判断与的位置关系．
20．如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，，，，，，，求四边形的面积．
21.如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站之间的距离为，且．

(1)求修建的公路的长；
(2)一辆货车从点到点处走过的路程是多少？
22.定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”
例如：在中，如果，为“开心三角形”
问题：如图，中，，，点是线段上一点(不与重合)，连接
(1)如图1，若，则是“开心三角形”吗？为什么？
(2)若是“开心三角形”，直接写出的度数
23.如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接．
(1)当时，则______；
(2)当为以为腰的等腰三角形时，求t的值；
(3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？
答案
一、单选题
1．B
【分析】本题考查直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理．根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，勾股数的定义进行分析判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴设，
∵，，
∴，
∴，故不符合题意；
B、∵，，
∴，
∴不是直角三角形，故符合题意；
C、∵a，b，c长分别为6，8，10，
∴，且a，b，c的长都是正整数，
∴a，b，c是一组勾股数．故不符合题意；
D、∵①，
②，
将①代入②得：，
∴，
∴是直角三角形，故不符合题意．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，直角三角形两锐角互余，平行线性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．首先根据题意得到，，然后求出，然后求出，然后利用平行线的性质求解即可．
【详解】∵是等腰底边边上的中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
4．D
【分析】根据斜边直角边定理，可得，运用全等三角形的性质，可推，．
【详解】解：
A. ∵
∴，故结论成立，本选项不合题意；
B. ∵
∴，故结论成立，本选项不合题意；
C. 如图，∵
∴.
∵
∴
∴．故结论成立，本选项不合题意；

D. 根据题目条件无法推证E为BC中点，本结论错误，本选项符合题意；
故选：D
5.D
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
利用勾股定理及其逆定理判定A，利用勾股定理求出长可判定B；利用网格图计算三角形的面积可判定C；利用面积公式求出边的高，即可利用点到直线的距离判定D．
【详解】解：A、，，，
，
，本选项结论正确，不符合题意；
B、∵，
∴，本选项结论正确，不符合题意；
C、，本选项结论正确，不符合题意；
D、点A到的距离，本选项结论错误，符合题意；
故选：D．
二、填空题
6．(答案不唯一)
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等含有．
本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只有符合两直角三角形全等的判定定理即可，条件可以是或．
【详解】解：添加的条件是，
理由是：∵，
∴在与中，
∴，
故答案为：．
7．直角
【分析】本题考查了绝对值非负数，平方数非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键，还考查了勾股定理逆定理的运用．根据非负数的性质列式求出、、的值， 再根据勾股定理逆定理进行判断即可得到此三角形是直角三角形 ．
【详解】解：根据题意得，，，，
解得，，，
，
此三角形是直角三角形 ．
故答案为： 直角三角形 ．
8．
【分析】本题考查直三角形两锐角互余及翻转折叠有全等，先求出，再根据折叠性质即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，
由翻折的性质可得：，
∵，
∴，
故答案为：．
9． 2 2
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握等边三角形的判定与性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．根据已知易得是等边三角形，从而利用等边三角形的性质可得，，再利用垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得，最后利用对顶角相等可得，从而可得，进而利用等角对等边即可解答．
【详解】解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：2，2．
10．或或2
【分析】本题考查了等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．分三种情况讨论：①当时，过点D作于点G，根据等腰梯形的性质，易证四边形是矩形，进而证明，得到，的长，由勾股定理求得，然后证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出的长；②当时，利用等腰梯形的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得，进而得到，再利用，即可求出得长；③当时，利用等腰梯形的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得，进而利用勾股定理，得出的长，再利用三角形内角和定理，易证是等腰直角三角形，得到，最后由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：①如图1，当时，过点D作于点G，

等腰梯形中，，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
；
②如图2，当时，

，
等腰梯形中，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
③如图3，当时，

等腰梯形中，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，；
综上所述，CF的长为或或2．
故答案为：或或2．
三、解答题
11．证明：∵，
∴，
即，
∵，
在和中，
，
∴．
12．(1)解：是，理由如下：
∵千米，千米，千米，
∴，
∴，即：，
∴是从村庄C到河边的最近路；
(2)设，
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理，得：，
∴，
解得：，
∴的长为千米．
13．(1)由题可知，；
；
．
(2)解：∵，，；
∴；
∴为直角三角形．
(3)如下图，过点作的垂线，垂足为；
∴；
∵是直角三角形；
∴；
∴；
∴．

14．(1)解：∵，，
∴；
(2)解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴．
15.证明：∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
16.(1)证明：在和中，
，
∴；
(2)解：由(1)知：，
∴，，
∴，
∴，
∴．
即四边形的面积是12．
17.(1)解：．理由如下：
，
∴，
∵，
∴，
在和中，．
．
(2)，
∴，
∵∠D=900，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是等腰直角三角形．
18.(1)解：证明：，
，即，
在和中，，
．
(2)解：，
，
由(1)知，
，
．
19.(1)解：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
(2)证明：∵，
∴，
∵，
∴．
(3)解：，过程如下：
延长交于一点H，如图
∵，
∴，
由(1)知，
∴，
∴.
20．解：由题意得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
是直角三角形，且，
．
答：四边形的面积为18．
21.(1)解：，，，
，
是直角三角形，，
，
()．
故修建的公路的长是；
(2)解：在中， ()，
故一辆货车从点到处的路程是．
22.(1)解：是“开心三角形”，
理由如下：
，
，
，
，
在中，，
，
为开心三角形”，
在中，，
，
为开心三角形”；
(2)解：若是“开心三角形”，由于点是线段上一点(不与，重合)，
则或或，
当时，；
当时，；
当时，；
综上，的度数为或或．
23.(1)当时，如图：
由题意，得：，
∴，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，即：，
解得：，
∴；
故答案为：20．
(2)①当时，如图

∵
∴，
∴；

②若，则，
在直角三角形中，，
∴
解得：；
综上所述：t的值16或5；
(3)∵，
∴，

①若P在C点的左侧，则，
∴．
又，，且，
∴，
∴，
∴，
则，
解得：；

②若P在C点的右侧，则，
∴，
同法可得：，
∴，
∴，
解得，
综上所述：或11．