2025届高考数学二轮复习专题训练 8.1直线与方程（含解析）

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2025届高考数学二轮复习专题训练 8.1直线与方程
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．设椭圆的半焦距为c,直线l过,两点,坐标原点到直线l的距离等于,则椭圆的离心率为( )
A.1 B. C. D.
2．已知m,n,p,q均为实数,则的最小值为( )
A.1 B. C. D.2
3．已知直线l经过和两点,则l的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4．直线在y轴的截距为( )
A.-3 B. C. D.3
5．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作斜率为正且与双曲线C的某条渐近线垂直的直线l与双曲线C在第一象限交于点A，若，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
6．在平面直角坐标系中，已知直线与交于点P，点是抛物线上一个动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7．已知直线方程,则倾斜角为( )
A. B. C. D.
8．若直线与直线平行，则实数a的值为( )
A.1或-1 B.-1 C.1 D.0
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知直线，圆，则( )
A.l经过定点
B.圆C与圆：外离
C.当l与圆C相切时，.
D.圆心C到直线l距离的最大值为
10．下列说法正确的是( )
A.已知，为非零向量，若，则，的夹角为锐角
B.展开式中的常数项为
C.若方程表示椭圆，则
D.点P在直线上运动，，，的最大值是
11．已知圆，直线，则下列命题中正确的有( )
A.直线l恒过定点
B.圆C被y轴截得的弦长为4
C.直线l与圆C恒相离
D.直线l被圆C截得最短弦长时，直线l的方程为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若圆与曲线的公切线经过,求________
13．已知直线和,若,则________
14．过点且横截距是纵截距2倍的直线方程为_________.（写成一般式方程）
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，已知等腰直角三角形的斜边所在直线方程为，其中A点在B点上方，直角顶点C的坐标为.
(1)求边上的高线所在直线的方程；
(2)求三角形的面积.
16．已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线E的方程；
(2)若直线l与E的右支及渐近线的交点自上而下依次为C，A，B，D，证明：；
(3)在数学中，可利用“循环构造法”求方程的整数解.例如：求二元二次方程的正整数解，由可先找到该方程的初始解，记此解对应的点为，进一步可得点，…，，…，.设由“循环构造法”得到方程的正整数解对应的点列为：，，…，，…，，，记，试判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
17．已知方程，
(1)若方程C表示圆，求实数m的范围；
(2)在方程表示圆时，该圆与直线相交于M、N两点，且，求m的值.
18．已知直线,点.
（1）求过点A且与l垂直的直线方程;
（2）求点A关于直线l的对称点的坐标;
19．直线l经过两直线和的交点.
(1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程；
(2)若直线l与圆相切，求直线l的方程.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意易知直线l方程为:,即,
原点到直线的距离为,
,
所以,
所以,即,
所以,
所以,
故选:B
2．答案：B
解析：表示两点与之间的距离,
表示两点与之间的距离,
又点是直线上的动点,点是直线上的动点,
且直线与直线平行,
所以的最小值即为直线与直线之间的距离,
所以的最小值为.
故选:B.
3．答案：D
解析：直线l的斜率为,
设l的倾斜角为,,则,解得.
故选:D
4．答案：C
解析：令，得，
所以直线在y轴的截距为.
故选：C.
5．答案：A
解析：令双曲线C的半焦距为c，则，
令直线l与双曲线C的渐近线垂直的垂足为D，
于是，
，
如图，过点作于B，则，
而O为线段的中点，所以，，
因为，所以，
，
，
由双曲线定义得，
即，解得.
故该双曲线的离心率为.
故选：A.
6．答案：B
解析：直线，
即，可知直线过定点；
直线，即，
可知直线过定点；
且，则，
可知点P在以为直径的圆上，
此时圆心为，半径.
因为抛物线的焦点为，准线为，
且点是抛物线上一动点，
则，即，
可得
，
当且仅当点P在线段上时，等号成立，
又因为，
当且仅当点Q在线段上时，等号成立，
即，
所以的最小值为.
故选：B.
7．答案：A
解析：直线的斜率为,设直线的倾斜角为,则,又,所以.故选:A.
8．答案：B
解析：若直线与直线平行，
则需满足，解得，
当时，两直线都为，故两直线重合，舍去，
当时，两直线分别为：，，符合要求，即.
故选：B.
9．答案：AD
解析：对于选项A：因为，
令，解得，
所以l过定点，故A正确；
对于选项B：圆C可化为，
可知其圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
因为，即，
可知两圆相交，故B错误；
对于选项C：若l与圆C相切，
则圆心到直线l的距离，
解得，故C错误；
对于选项D：当时，圆心C到直线l距离的最大，
此时最大值为，故D正确.
故选：AD.
10．答案：BD
解析：对于A选项，已知，
将两边同时平方可得.
展开化简可得，即.可知.
当与同向时，，此时夹角为，不是锐角，所以A选项错误.
对于B选项，对于展开式的通项为.
令，解得.
将代入通项公式可得常数项为，所以B选项正确.
对于C选项，若方程表示椭圆，则需满足.
解得m的取值范围是且，C选项错误.
对于D选项，设点关于直线的对称点为.
根据对称点的性质可得，解得，
则，即.
根据三角形两边之差小于第三边可知.
根据两点间距离公式，所以的最大值是，D选项正确.
故选：BD.
11．答案：AD
解析：将直线l的方程整理为，
由，解得：，则无论m为何值，直线l过都定点，故选项A正确；
令，则，解得，故圆C被y轴截得的弦长为，故B不正确；
因为，所以点D在圆C的内部，直线l与圆C相交，故C不正确；
圆心，半径为5，，
当截得的弦长最短时，，，则直线l的斜率为2，
此时直线l的方程为，即，故D正确.
故选：.
12．答案：
解析：
13．答案：4
解析：由题意可得,解得.
14．答案：或
解析：当直线过原点时，直线的斜率为，
此时直线的方程为，即；
当直线不过原点时，设所求直线的方程为（），
即，
将点的坐标代入直线方程可得，解得，
此时直线的方程为，
因此，所求直线方程为或.
故答案为：或.
15．答案：(1)
(2)5
解析：(1)设的斜率为，
因为斜边所在直线方程为，所以，
又经过点，所以，
即的直线方程为.
(2)由题意知，，
因为是等腰直角三角形，
所以，
所以的面积为.
16．答案：(1)；
(2)证明见解析；
(3)是，1.
解析：（1）因为，所以，
因为双曲线E的一个顶点为，
一条渐近线的方程为：，
所以，解得：，
故双曲线E的方程为：；
（2）设，，，，
因为直线l的斜率不为0，设l的方程为：，
联立可得：，则.
联立可得：，
则，
故线段，的中点重合，所以
（3）解法1：因为，
所以，，
因为二项式与的展开式中不含的项相等，含的项互为相反数，所以，解得：，
令，，则.
直线的方程为：，，
，
故为定值1.
解法2：因为，
所以，，
因为二项式与的展开式中不含的项相等，
含的项互为相反数，所以，
则，
直线的方程为：，，
，
故为定值1.
17．答案：(1)
(2)4
解析：(1)若方程表示圆，
则，所以，
所以方程C表示圆，实数m的范围是；
(2)圆C的方程可化为，
圆心为，半径为，
圆心到直线l的距离为，
因为，
所以，
解得，满足，
所以.
18．答案：（1）
（2）.
解析：（1）依题意,直线l的斜率为1,则与l垂直的直线斜率为,于是得:,化简得:,
所以过点A且与l垂直的直线方程是;
（2）设,显然点A与的中点必在直线l上,且直线斜率为-1,
因此,,即,解得,则点,
所以点A关于直线l的对称点的坐标是.
19．答案：(1)
(2)或
解析：(1)联立两直线和，
解得，，即交点坐标为，
直线的斜率为-3，所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即.
(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
圆心到直线的距离，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为：，
即，
根据题意得：圆心到直线的距离，
解得，
所以直线l的方程为：.
综上：直线l的方程为或.
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