2025届高考数学二轮复习专题训练 8.2圆与方程（含解析）

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2025届高考数学二轮复习专题训练 8.2圆与方程
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知F为椭圆的上焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
2．已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3．已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
4．过直线上一点P作的两条切线,切点分别为A,B,若使得的点P有两个,则实数m的取值范围为( )
A. B.
C.或 D.或
5．圆的圆心到直线的距离为( )
A. B.3 C.2 D.
6．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”,图中曲线为圆或半圆,已知点是阴影部分（包括边界）的动点,则的最小值是( )
A. B. C. D.-1
7．已知,,若圆上存在点P满足,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．已知平面区域，圆C：，若圆心，且圆C与y轴相切，则的最大值为( )
A．10 B．4 C．2 D．0
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知圆与圆,下列选项正确的有( )
A.若,则两圆外切
B.若,则直线为两圆的一条公切线
C.若,则两圆公共弦所在直线的方程为
D.若,则两圆公共弦的长度为
10．已知圆,下列说法正确的是( )
A.所有圆均不经过点
B.圆心的轨迹方程为
C.若圆与圆外切,则或者
D.若直线与圆相交于A、B,且,则
11．已知圆，圆，则( )
A.两个圆心所在直线的斜率为
B.两个圆公共弦所在直线的方程为
C.过点作直线l使圆上有且只有一个点到l的距离为1，则直线l的方程为
D.过点作圆的两条切线，切点为A，B，则直线的方程为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．写出一个圆心在上，且与直线和圆都相切的圆的方程：___________.
13．已知圆，过点作圆C的切线，则切线方程为________.
14．已知圆,直线与C交于A,B两点,则的面积等于________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若点P与点Q关于点B对称，过B的直线与点Q的轨迹交于E，F两点，探索是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
16．已知P为抛物线上的动点，Q为圆上的动点，若线段的最小值为.
（1）求a的值；
（2）如图，若动点P在x轴上方，过点P作圆C的两条切线分别交抛物线E于另外两点A，B，且满足，求直线的方程.
17．已知O为坐标原点，动点M到两个定点，的距离的比为，记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)若直线l过点，曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程.
18．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；
（2）设直线l与x轴相交于点A，动点B在C上，点M满足，点M的轨迹为E，试判断曲线C与曲线E是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.
19．如图，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，，圆C方程为.
(1)求椭圆及圆C的标准方程；
(2)过原点O作直线l与圆C交于M、N两点，若，求直线l的方程.
参考答案
1．答案：D
解析：由圆M方程得：圆心，半径；
由椭圆C方程得：，，设椭圆C下焦点为，则，
由椭圆定义知：，；
（当且仅当P，M，Q三点共线时取等号），
，
又（当且仅当M，P，三点共线时取等号），
，
即的最大值为.
故选：D.
2．答案：C
解析：由题知圆,
点在圆外，
则有
解得或.
3．答案：B
解析：圆的圆心为，半径为1，如下图所示：
设原点O关于直线的对称点为，
而直线的斜率为1，
且线段的中点在直线上，
由题意可得，
解得，即点，
由对称性可得，
所以，，
当且仅当M、P分别为线段与圆C、直线的交点时，
上述不等式中的两个等号同时成立，故取最小值6.
故选：B.
4．答案：B
解析： 的圆心,半径,
由,得,
由题意可得圆心M到直线的距离,
即,解得.
故选：B.
5．答案：A
解析：化圆的方程为标准方程，得，该圆的圆心到直线的距离.故选A.
6．答案：C
解析：记,则为直线AP的斜率,故当直线AP与半圆相切时,得k最小,此时设,
故,解得或（舍去）,即．故选C
7．答案：C
解析：设,因为,所以,
化简得,即点P在圆上,
又点P在圆上,
所以圆O与圆C有公共点,
所以,即,解得.
故选:C
8．答案：B
解析：作出如图所示的可行域（阴影部分），
由于圆C与y轴相切，，所以，故在直线上运动，
联立，得，即，
，故当b最大时，最大，
故当圆心在时，此时b最大时为3，故的最大值为4，
故选：B
9．答案：ABD
解析：由圆,可得圆心,半径,
由圆,可得圆心为,
若,两圆心间距离为,即两圆心间距离等于两圆半径之和,故A正确;
若,则两圆心到距离分别为,,即两圆心到距离分别为圆的半径,故B正确;
若,则,又,
两圆的方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为,故C错误;
,由选项C可知两圆的公共弦所在直线方程为,
所以到直线的距离为,
所以弦长为,故D正确.
故选:ABD.
10．答案：ABC
解析：
11．答案：AD
解析：根据题意，圆，其圆心为，半径.
圆，
即，其圆心为，半径，
则两个圆心所在直线的斜率，故A正确；
圆心距，两圆外离，不存在公共弦，故B不正确；
因为圆上有且只有一个点到l的距离为1，所以点到l的距离为3，
当直线斜率不存在时，l的方程为，满足题意，故C不正确；
连接，，则，A，，B四点共圆（四边形对角互补则四点），
则该圆的方程为，
即圆的方程，
而圆，且为圆与圆的公共弦，
两式相减得直线的方程为，故D正确.
故选：AD.
12．答案：（答案不唯一）
解析：设圆心为，
则半径，
假设与圆外切，
则，
所以，故，则，
若，则，则圆心为，
半径为，故；
若，则，不满足前提；
假设与圆内切，
又与的距离为，
此时，圆内切于所求圆，
则，
所以，故，则，
若，则，
则圆心为，半径为，故；
若，则，不满足前提；
综上，或.
故答案为：（答案不唯一）
13．答案：或
解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为，满足题意；
当斜率存在时，设为k，，，
，，，
切线方程为.综上，切线方程为或.
14．答案：
解析：的圆心为,半径为,
故圆心到直线的距离为,
弦长,
故,
故答案为:
15．答案：(1)
(2)是定值，
解析：(1)设点，由题意可得，
即，
化简可得.
(2)设点，
由(1)P点满足方程:，，
代入上式消去可得，
即Q的轨迹方程为，
当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，
则直线l的方程为，
由，
消去y，得，显然，
设，
则，，
又，，
则
.
当直线l的斜率不存在时，，，.
故是定值，即.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）设，的最小值为，即的最小值为，
则，
当时，，.
（2）设，，，
直线的斜率，
则直线的方程为，
即，化简得，
则点C到直线的距离为，
即，同理，
则，是方程的两根，
所以，则直线的斜率，
，平分，则，
，解得，则.
则，且，，
，
故线段的中点为，
则直线的方程为，
即.
17．答案：(1)
(2)或.
解析：(1)由题知，设点，
则，所以，
即，
整理得，
所以曲线C的标准方程为.
(2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为：，
与C的交点坐标为，，
此时弦长等于，符合题意.
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，
设曲线C的圆心到直线l的距离为d，
由(1)知曲线C的圆心为，
所以，
因为曲线C截l所得弦长等于，
所以，解得.
所以，解得.
所以直线l的方程为：.
综上，直线l的方程为：或.
18．答案：（1）C的普通方程为，l直角坐标方程为
（2）存在，坐标为，
解析：（1）由题设曲线C的参数方程，消参得，
由，，且得，，化简得，
C的普通方程为，l直角坐标方程为.
（2）当时，，易知，设，
可得，，，（a是参数），
消参得方程为，且，，，，
则圆心距离，得，
则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组，
解得或，故坐标为，.
19．答案：(1)椭圆方程为.圆的方程为；
(2)或.
解析：（1）由题意，，，，
将代入，可得，解得，
则，，，
由，可得，即，故，
由.代入解得，，，
则椭圆方程为，圆的方程为.
（2）
①当直线l的斜率不存在时，直线方程为，与圆C相切，不符合题意；
②如图，当直线l的斜率存在时，设直线方程为，
由，可得，
依题意，需使，即，
设，，则，，
，，
而圆心C的坐标为，则，，
所以，
即，
代入得：，
解得或，
故得直线l的方程为或.
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