2025届高考数学二轮复习专题训练 8.3椭圆（含解析）

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2025届高考数学二轮复习专题训练 8.3椭圆
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知点P是椭圆上一点，，是C的左，右焦点，则( )
A. B. C. D.
2．如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若，H是线段的三等分点，则的周长为( )
A.20 B.10 C. D.
3．古希腊著名数学家阿波罗尼斯，在其著作《圆锥曲线论》中提出了圆锥曲线的光学性质.光线从椭圆的一个焦点发出，经过椭圆反射，反射光线经过另一个焦点.已知点、是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线经过椭圆上一点M反射，反射光线交椭圆于另一点N.若点、N关于的角平分线对称，且，则椭圆C的离心率为( ).
A. B. C. D.
4．如图,过原点O的直线交椭圆于A,B两点,过点A分别作x轴、的垂线,,且分别交椭圆C于点P,Q,连接交于点M,若,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
5．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在x轴上，A，B为椭圆上任意两点，动点P在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆C的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
7．设O为坐标原点,,为椭圆的左,右两个焦点,点R在C上,点E是线段上靠近点的三等分点,若,则( )
A. B. C. D.
8．已知是椭圆的左焦点，过椭圆上一点P作直线与圆相切，切点为Q，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知曲线，下列结论正确的有( )
A.若，则C是椭圆 B.若C是圆，则
C.若，则C是双曲线 D.若，则C是两条平行于y轴的直线
10．下列说法正确的有( )
A.已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，记椭圆的离心率为e，则的取值范围是
B.设P为椭圆上一点，，为左右焦点，若，则P点的纵坐标为
C.已知双曲线的左 右焦点分别为，，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，若H，G分别为与的内心，则的取值范围为
D.过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，.若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为
11．已知，，若的周长为6，则的最大值为___________，此时点P的坐标为___________.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是__________.
13．已知圆和点，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)点D在直线上运动，过点D的动直线l与曲线C相交于点M，N.
(i)若线段上一点E，满足，求证：当D的坐标为时，点E在定直线上；
(ii)过点M作x轴的垂线，垂足为G，设直线，的斜率分别为，当直线l过点时，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
14．椭圆的焦距为4，则___________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知动点P在椭圆上,且C的左、右焦点分别为,.设直线,A,B为l上不重合的两点.
(1)求C的离心率;
(2)已知;
（i）证明：点A,B在x轴的异侧;
（ii）证明：当的面积取最小值时,存在常数使得,并求的值.
16．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，过作直线l与椭圆C交于A，B两点，且的周长为.设线段AB的中点为P，O为坐标原点，直线OP与直线相交于点Q.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）是否存在直线l使得为等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
（3）求的正弦值的最大值.
17．已知椭圆的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）设F为C的左焦点,T为直线上任意一点,过F作TF的垂线交C于点P,Q.
（i）证明:OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）;
（ii）设线段PQ的中点为M,若与面积之积是,求点T的纵坐标.
18．已知椭圆的离心率为,且C过点为坐标原点,A为椭圆C的右顶点.
（1）求C的方程;
（2）过点P斜率为的直线交椭圆C于另一点Q,求的面积;
（3）在（2）的条件下,若点M为椭圆上不与点A重合的点,且的面积与的面积相等,求点M的坐标.
19．已知O为坐标原点,,是椭圆的左、右焦点,C的离心率为,点M是C上一点,的最小值为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知A,B是椭圆C的左、右顶点,不与x轴平行或重合的直线l交椭圆C于P,Q两点,记直线的斜率为,直线的斜率为,且.
①证明：直线l过定点;
②设的面积为S,求S的最大值.
参考答案
1．答案：D
解析：由题知，
由椭圆定义知.
2．答案：D
解析：设，，H是线段的三等分点，
，，
分别代入椭圆方程得，，
消去h得，解得，
根据定义可得，，
则的周长为，故选D.
3．答案：A
解析：由题意可得M，N，共线，
因为点、N关于的角平分线对称，所以，
设，则，
故，
由，
得，
在中，由余弦定理得，
，
即，
即，
解得或（舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，，
即，
解得，
即椭圆C的离心率为.
故选：A.
4．答案：D
解析：设,,则,,
由,则,即,①
由B,M,Q三点共线,则,即,②
又因为,,即..,③
将①②代入③得,则.
故选：D.
5．答案：A
解析：方程变形得：，
该方程要表示椭圆，则需要满足，解得：，
故选：A.
6．答案：B
解析：因为椭圆C的焦点在x轴上，所以，易知直线，均与椭圆相切，所以直线，围成的矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆，其方程为，由A，B是椭圆上任意两点，恒为锐角，可知点P在蒙日圆外.又点P在直线上，所以直线与圆相离，将问题转化为直线与椭圆的蒙日圆相离，即，解得，所以，所以.故选B.
7．答案：C
解析：设,由题意可得,则,
则,,
由,则,
由R在C上,则有,即,
即有,整理得,
即,故或,
由可知,不符,故舍去,即有,
则.
故选:C.
8．答案：A
解析：是椭圆的左焦点，
设为椭圆的右焦点，
由题可得：圆的圆心即为，
由题知，，，
故，
因为，，
当令，，
因为当时，函数，均单调递增，
故单调递增，
所以.
故选：A.
9．答案：CD
解析：对于A选项，若且，则C是椭圆；
对于B选项，则C是圆，则；
对于C选项，若，则C是双曲线；
对于D选项，若，方程为，则C是两条平行于y轴的直线.
故选：CD.
10．答案：BCD
解析：对于A，设为椭圆的另一焦点，
如图，连接，，，
根据椭圆和直线的对称性，
可得四边形为平行四边形，
又因为，所以.
在中，
，
所以，
当且仅当时，等号成立，
即，
又因为，，
所以，
又因为，故，故A错误；
对于B，由，
得，，，
则，，，，
由余弦定理得，，
则，
则，
即，
所以
，
设P点的纵坐标为h，则，
则，即，故B正确；
对于C，在中，
其中一条渐近线方程为，即，
由题意，焦点到渐近线的距离为，
则，即，
又，
解得：，
则，
所以双曲线的方程为.
记的内切圆在边，，上的切点分别为M，N，E，
则H，E横坐标相等，，，
由，即，
得，即，
记H的横坐标为，则，
于是，得，
同理内心G的横坐标也为a，故轴.
设直线的倾斜角为，则，
（Q为坐标原点），
在中，
，
由于直线l与C的右支交于两点，
且C的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，
所以，即，
所以的范围是，故C正确；
对于D，在中，
由正弦定理可得
所以，
所以该椭圆的离心率
，故D正确.
故选：BCD.
11．答案：8；
解析：由，，可得，
又的周长为6，所以，
所以的轨迹为是以，为焦点的椭圆除去与x轴的交点，
所以，，，
所以椭圆方程式，
又代入
得，所以在椭圆外，
，
当且仅当时取等号，
由，，得，
所以AC的方程为，
，
故答案为：8；
12．答案：
解析：直线方程可化为，故该直线恒过定点，
因为直线与椭圆恒有公共点，
则点在椭圆内或椭圆上，
所以，，
解得且，
所以，实数m的取值范围是.
故答案为：.
13．答案：(1)
(2)(i)证明见解析
(ii)
解析：(1)由题意知圆心，半径为4，
且，，
则，
所以点Q的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，
设曲线的方程为，
则，，
解得，
所以，
所以曲线C的方程为；
(2)(i)因为直线l的斜率一定存在，
设直线l的方程为，
因为在l上，所以，
由
得，
，
设，，
则，
由得，
化简得，
则，
化简得，
又因为，所以，
所以点E在定直线上.
(ii)因为直线过，
所以，直线方程为，
从而得，，
由(i)知，，，
，
所以
，
所以存在实数，使得.
14．答案：8
解析：当时，椭圆的焦距为，
得，不符合题意；
当时，椭圆的焦距为，
得，符合题意.
故答案为：8.
15．答案：(1)
(2)（i）证明见解析;（ii）证明见解析,2
解析：(1)由题设,,.
则,即,且,即.
则C的离心率为.
(2)（i）由(1)可得,设,.
则,.
由,得,即0.
故必存在一点在第一象限,另一点在第四象限,即点A,B在x轴的异侧.
（ii）记的面积为S,点P到l的距离为d,则.
要使S最小,则必须使d与同时达到最小值.
显然当P运动至C的右顶点时d最小,此时,
而,
当且仅当或时取等号,最小值为.
此时.
且,
故,解得.
16．答案：（1）
（2）或
（3）
解析：（1）由题意得解得所以，
则椭圆C的标准方程为.
（2）解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，则，由对称性不妨取，
又，则，，所以不为等腰直角三角形，不满足题意，故直线l的斜率存在.
显然l的斜率存在且不为0，故可设l的方程为，，，
联立得，
所以，，
所以，所以，
所以，则直线OP的方程为，从而.
所以，，所以
若为等腰三角形，则，
又，，所以，
所以，，
所以存在直线l使得为等腰三角形，
此时直线l的方程为或.
解法二：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，则，由对称性不妨取，
又，则，，所以不为等腰直角三角形，不满足题意，故直线l的斜率存在.
设，，，
由两式作差，得，
即，所以，
所以，即.
显然直线l的斜率不为0，设，所以，
直线OP的方程为，从而.
以下同解法一.
（3）由题解题思路知，直线l的斜率可以不存在.
由（2）知，，，，，
所以，同理，
所以
，
当且仅当时取等号，此时直线l的斜率不存在.
所以，即的正弦值的最大值为.
17．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）,又,,.
（2）椭圆方程化为.
（i）设PQ的方程为,代入椭圆方程得:.
设,,的中点为,
则,,,,
又TF的方程为,则得,
所以,即OT过PQ的中点,即OT平分线段PQ.
（ii）
所以,解得或（舍去）,
所以,点T的纵坐标为.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由已知:,解得:,椭圆.
（2）直线PQ方程为:,
令得:,记,
由,得:.
的面积.
（3）在（2）的条件下,,点A到直线的距离
的面积与的面积相等,则A与M到直线PQ的距离相等,
设到直线PQ距离为的点在直线上,则或,
当时,由得:（舍）或.
.
当时,联立,无解.
综上,点M坐标为.
19．答案：(1)
(2)①证明见解析;②.
解析：(1)由题可知,,解得,,
,
椭圆C的方程为.
(2)①证明：设直线l的方程为,,,
由得,
,即,
,,
在椭圆C上,
,即,
,
,即,
,在直线l上,
,,
,
,即,
此时,
直线l的方程为,即直线l过定点.
②记直线l过定点,
,,
,
,,
,
令,则,
在上单调递增,
当时,S有最大值.
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