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6.5第六章平面向量综合--自检定时练--详解版
单选题
1.已知正方形ABCD的边长为1，，则.
A．0 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】利用向量的加法以及向量的模即可求解.
【详解】因为，所以.
因为，所以，
故选：D.
2.已知为的一个内角，向量.若，则角
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】 带入计算即可．
【详解】
即 ,选C.
3.已知三角形中，，，连接并取线段的中点，则的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，线段的中点为，，，故选B.
4.在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意得出，再由，，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.
【详解】如下图所示：
，即，，
，，，，
，、、三点共线，则.
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.
4.在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据正弦定理，可得，令，，，再结合公式，列出关于的方程，解出后，进而可得到的大小.
【详解】解：∵，
∴，
即，
令，，，显然，
∵，
∴，解得，
∴，B＝．
故选：D.
5.中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形
B．等边三角形
C．三边均不相等的直角三角形
D．有一个角是的等腰三角形
【答案】A
【分析】由推导可得的平分线垂直于边BC，进而可得，再由给定面积导出得解.
【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、，
以、为邻边作平行四边形，则，显然，
因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即，
于是得是等腰三角形，即，令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，，
而，因此有，从而得，
所以是等腰直角三角形.
故选：A
6.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用已知条件得到为垂心，再根据四边形内角为及对顶角相等，得到，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到，进而求出的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.
【详解】如图，因为，
所以，同理，，
所以为的垂心。
因为四边形的对角互补，所以，
．
同理，，
，
．
，
．
又
．
由奔驰定理得.
故选C．
多选题
7.已知，是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A．，的夹角是 B．，的夹角是或
C．或 D．或
【答案】BC
【分析】向量模平方转化为的二次函数的最小值问题.
【详解】设的夹角为，由题可知，
，
，是两个单位向量，且的最小值为，
的最小值为，则，
解得，与的夹角为或，
或，
或.
故选: BC
8.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有（ ）
A．当时，满足条件的三角形共有个
B．若则这个三角形的最大角是
C．若，则为锐角三角形
D．若，，则为等腰直角三角形
【答案】BD
【分析】利用正弦定理求得,即可判定A错误；利用正弦定理转化为边的比值，进而利用余弦定理求得最大角的余弦，得到最大角的值，对B作出判定；注意到三角形的各个角的情况，周全考虑，即可判定C错误；根据已知条件,综合使用正余弦定理可求得角A的值，进而证明D正确.
【详解】对于Ａ，，无解，故A错误；
对于B,根据已知条件，由正弦定理得：,
不妨令,则,最大角的余弦值为：,
∴，故B正确；
对于C，由条件，结合余弦定理只能得到,即角为锐角，无法保证其它角也为锐角，故C错误；
对于D,,得到,
又
,
,
为等腰直角三角形，故D正确.
故选：BD.
填空题
9.已知向量，，向量在向量上的投影等于1，则的最小值为 .
【答案】
【解析】利用向量不等式可求解.
【详解】由向量在向量上的投影等于1，可知（向量、夹角）
又，，所以
当与反向，时，等号成立.
故答案为:
10.在中，内角的对边分别是，若，且，则周长的取值范围是 .
【答案】[3，4）
【详解】由0＜B＜π得，
＜ ，
∵，∴
解得B= ，又∵a+c=2，
∴由余弦定理可得，b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-2ac-ac=4-3ac，
∵a+c=2，a+c≥2 ，当且仅当a=c时取等号，∴0＜ac≤1，则-3≤-3ac＜0，
则1≤b2＜4，即1≤b＜2．∴△ABC周长L=a+b+c=b+2∈[3，4）．
解答题
11.已知平面向量，且，
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若，求在方向的投影向量（用坐标表示）.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设，利用平面向量的共线定理及坐标表示即可求解；
（2）利用平面向量数量积的坐标表示求解在方向的投影向量即可.
【详解】（1）解：设，，
，又，
，
或，
或.
（2）解：，，设与的夹角为.
故，
在上的投影向量为.
12.已知在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.
(1)求角A；
(2)若D点在线段上，且平分，若，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理及三角形中即可求解.
（2）可设,则，利用余弦定理及正弦定理求解三者的值，再利用三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）解：∵，由正弦定理得：，即，
则，
又在中，，，故，
故.
（2）由题可知，设,则，
由正弦定理得：，即，
解得，
由余弦定理得，解得；
又，故.
由余弦定理得，即，
解得，则，.
的面积为.
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7.1.2复数的几何意义--自检定时练---原卷版
【1】知识清单
1.平面向量知识的综合运用；
2.正余弦定理的综合运用；
3.平面向量与正余弦定理的综合问题.
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1.已知正方形ABCD的边长为1，，则.
A．0 B．3 C． D．
2.已知为的一个内角，向量.若，则角
A． B． C． D．
3.已知三角形中，，，连接并取线段的中点，则的值为
A． B． C． D．
4.在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是（ ）
A． B． C． D．
5.中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形
B．等边三角形
C．三边均不相等的直角三角形
D．有一个角是的等腰三角形
6.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
多选题
7.已知，是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A．，的夹角是 B．，的夹角是或
C．或 D．或
8.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有（ ）
A．当时，满足条件的三角形共有个
B．若则这个三角形的最大角是
C．若，则为锐角三角形
D．若，，则为等腰直角三角形
填空题
9.已知向量，，向量在向量上的投影等于1，则的最小值为 .
10.在中，内角的对边分别是，若，且，则周长的取值范围是 .
解答题
11.已知平面向量，且，
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若，求在方向的投影向量（用坐标表示）.
12.已知在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.
(1)求角A；
(2)若D点在线段上，且平分，若，且，求的面积.
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B D A C BC BD
9.【答案】
10.【答案】[3，4）
11.【答案】(1)或 (2)
12.【答案】(1) (2)
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