2025年九年级中考数学三轮冲刺二次函数含参数的最值问题——分类讨论（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺二次函数含参数的最值问题——分类讨论
【思考】对于二次函数
求它的最小值和最大值.
当1≤x≤4时，求它的最小值和最大值.
当-2≤x≤1时，求它的最小值和最大值.
二次函数的最值与哪些因素有关？对于给定的范围，最值可能出现在哪些位置？
对开口方向（二次项前面系数）进行讨论
【例1】当 时，二次函数 的最大值等于6．求二次项系数a的值
【变式练习1】已知二次函数=，当时，的最大值为2，求的值.
对二次函数的对称轴的位置进行讨论
【例2】当 时，二次函数 的最小值等于-1．求a的值．
【变式练习2】当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，求实数m的值．
【变式练习3】当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2﹣2mx+2n+1的最小值是﹣4，最大值是0，求m、n的值．
三、对二次函数的x取值范围进行讨论
【例3 】当 时，二次函数 的最大值等于-6．求a的值．
【变式练习4】设a，b是任意两个不等实数，
我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．求函数y＝x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最小值ymin的解析式．
【变式练习5】设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．若二次函数y＝x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．
拓展提升
1.对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k型闭函数”．例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3型闭函数”．
（1）①已知一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k型闭函数”，则k的值为　 　；
②若一次函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“1型闭函数”，则a的值为　 　；
（2）反比例函数y＝（k＞0，a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”，且a+b＝，请求a2+b2的值；
（3）已知二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a，当﹣1≤x≤1时，y是“k型闭函数”，求k的取值范围．
已知二次函数，存在正实数m，n( m＜n)，当m≤x≤n时，恰好有≤≤，求m，n的值．
二次函数含参数的最值问题——分类讨论（参考答案）
【思考】解：（1）最小值为-1，无最大值；
（2）最小值为-1，最大值为3；
最小值为0，最大值为15；
【例1】解：当a>0时，a=2； 当a<0时，a=-6；
【变式练习1】解：或
【例2】解：或
【变式练习2】解：该抛物线的对称轴为：x＝m；
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜m时，y随x的增大而增大；当x＞m时，y随x的增大而减小；
当m≥1时，
∵﹣2≤x≤1，当x＝1时，y取得最大值，即
﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得：m＝2．
当﹣2≤m≤1时，x＝m时，y取得最大值，即
m2+1＝4，解得：m＝﹣或（不合题意，舍去）；
当m≤﹣2时，x＝﹣2时，y取得最大值，即
﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得：m＝﹣（不合题意，舍去）．
综上所述，实数m的值为2或﹣．
【变式练习3】
解：y＝﹣x2﹣2mx+2n+1＝﹣（x+m）2+m2+2n+1，其对称轴为直线x＝﹣m，
①当﹣m≤﹣1，即m≥1时，，
解得，
②当﹣1＜﹣m＜0，即0＜m＜1时，，
消去n得，m2+2m﹣3＝0，
解得m＝1或m＝﹣3，舍去；
③当 0＜﹣m＜1，即﹣1＜m＜0时，
解得m＝﹣1或m＝3，舍去；
④当﹣m≥1，即m≤﹣1时，，
解得，
综上所述m＝1，n＝﹣1或m＝﹣1，n＝﹣1．
【例3】解：或
【变式练习4】
将二次函数配方得：y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8
其对称轴为直线：x＝2，顶点坐标为（2，﹣8），图象开口向上
若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]左侧，则2＜t﹣2，即t＞4．
当x＝t﹣2时，函数取得最小值：
若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]上，则t﹣2≤2≤t﹣1，即3≤t≤4．
当x＝2时，函数取得最小值：ymin＝﹣8
若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]右侧，则t﹣1＜2，即t＜3．
当x＝t﹣1时，函数取得最小值：
综上讨论，得．
【变式练习5】∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣2）2﹣，
∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大；
①当b≤2时，此二次函数y随x的增大而减小，则根据“闭函数”的定义知，，
解得，（不合题意，舍去）或；
②当a＜2＜b时，此时二次函数y＝x2﹣x﹣的最小值是﹣＝a，根据“闭函数”的定义知，
b＝a2﹣a﹣或b＝b2﹣b﹣；
a）当b＝a2﹣a﹣时，由于b＝（﹣）2﹣×（﹣）﹣＝＜2，不合题意，舍去；
b）当b＝b2﹣b﹣时，解得b＝，
由于b＞2，
所以b＝；
③当a≥2时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，，
解得，，
∵＜0，
∴舍去．
综上所述，或．
拓展提升
1.解：（1）①一次函数y＝2x﹣1，当1≤x≤5时，1≤y≤9，
∴9﹣1＝k（5﹣1），
∴k＝2，
故答案为：2；
②当a＞0时，
∵1≤x≤5，
∴a﹣1≤y≤5a﹣1，
∵函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“1型闭函数”，
∴（5a﹣1）﹣（a﹣1）＝5﹣1，
∴a＝1；
当a＜0时，（a﹣1）﹣（5a﹣1）＝5﹣1，
∴a＝﹣1；
故答案为：1或﹣1；
（2）∵反比例函数y＝，
∵k＞0，
∴y随x的增大而减小，
当a≤x≤b且1＜a＜b是“1型闭函数”，
∴﹣＝k（b﹣a），
∴ab＝1，
∵a+b＝，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝2020﹣2×1＝2018；
（3）∵二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a的对称轴为直线x＝a，
∵当﹣1≤x≤1时，y是“k型闭函数”，
∴当x＝﹣1时，y＝a2﹣4a﹣3，
当x＝1时，y＝a2+8a﹣3，
当x＝a时，y＝4a2+2a，
①如图1，当a≤﹣1时，
当x＝﹣1时，有ymax＝a2﹣4a﹣3，
当x＝1时，有ymin＝a2+8a﹣3
∴（a2﹣4a﹣3）﹣（a2+8a﹣3）＝2k，
∴k＝﹣6a，
∴k≥6，
②如图2，当﹣1＜a≤0时，
当x＝a时，有ymax＝4a2+2a，
当x＝1时，有ymin＝a2+8a﹣3
∴（4a2+2a）﹣（a2+8a﹣3）＝2k，
∴k＝（a﹣1）2，
∴≤k＜6；
③如图3，当0＜a≤1时，
当x＝a时，有ymax＝4a2+2a，
当x＝﹣1时，有ymin＝a2﹣4a﹣3
∴（4a2+2a）﹣（a2﹣4a﹣3）＝2k，
∴k＝（a+1）2，
∴＜k≤6，
④如图4，当a＞1时，
当x＝1时，有ymax＝a2+8a﹣3，
当x＝﹣1时，有ymin＝a2﹣4a﹣3
∴（a2+8a﹣3）﹣（a2﹣4a﹣3）＝2k，
∴k＝6a，
∴k＞6，
即：k的取值范围为k≥．
2.抛物线y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1． ∴y≤1．
∵0＜m＜n，当m≤x≤n时，恰好≤≤，∴．
∴≤1，即m≥1．∴1≤m＜n．
∵抛物线的对称轴是x＝1，且开口向下，∴当m≤x≤n时，y随x的增大而减小．
∴当x＝m时，y最大值＝﹣2m2+4m﹣1．
当x＝n时，y最小值＝﹣2n2+4n﹣1．
又，∴．
将①整理，得2n3﹣4n2+n+1＝0，
变形，得2n2（n﹣1）﹣（2n+1）（n﹣1）＝0．∴（n﹣1）（2n2﹣2n﹣1）＝0．
∵n＞1，∴2n2﹣2n﹣1＝0．解得：n1＝（舍去），n2＝．
同理，由②得到：（m﹣1）（2m2﹣2m﹣1）＝0．
∵1≤m＜n，∴2m2﹣2m﹣1＝0．解得m1＝1，m2＝（舍去），m3＝（舍去）．
综上所述，m＝1，n＝．
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