6.2.3 向量的数乘运算 课件(共40张PPT)--人教A版（2019）高中数学必修第二册

(共40张PPT)
6．2　平面向量的运算
6．2.3　向量的数乘运算
第六章　平面向量及其应用
学习单元1　平面向量的概念　平面向量的运算
[学习目标]　
1.了解向量数乘的概念．　
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算．　
3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法．
知识点1　向量数乘运算
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个________，这种运算叫做向量的__________，记作λ a，其长度与方向规定如下：
(1)|λ a|＝|λ||a|.
向量　
数乘
λ>0　
λ<0　
　(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是( 　　)
A．当λ<0时，λ a的方向与a的方向一定相反
B．当λ＝0时，λ a与a是共线向量
C．|－λ a|＝λ|a|
D．当λμ>0时，λ a的方向与μ a的方向一定相同
[分析]　根据向量数乘的概念．
ABD
例1
根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确；对于B，当λ＝0时，λ a＝0，0与a是共线向量，故B正确；对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λ a和μ a与a同向，或者都是与a反向，所以λ a与μ a的方向一定相同，故D正确；对于C，|－λ a|＝|λ||a|，C错误．
λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模．
思维提升
1．已知非零向量a，b满足a＝4b，则(　　)
A．|a|＝|b|　　　　　　 B．4|a|＝|b|
C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反
跟踪训练
C
∵a＝4b，4>0，∴|a|＝4|b|.∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同．
ABC
1．数乘运算的运算律
设λ，μ为实数，则有：
(1)λ(μ a)＝____________；
(2)(λ＋μ)a＝____________；
(3)λ(a＋b)＝______________．
特别地，有(－λ)a＝－(λ a)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λ a－λ b.
(λμ)a
λ a＋μ a
λ a＋λ b
2．向量的线性运算
向量的_____________运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝________________．
加、减、数乘
λμ1a±λμ2b
　(1)若a＝2b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于(　　)
A．－a　　　　　　 B．－b
C．－c D．以上都不对
[分析]　(1)直接利用向量加、减法的混合运算解答．
例2
C
(1)原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b
＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c.
(2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．
[分析] (2)把等式左侧变形，由向量和为0，可求x.
4b－3a
(2)由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0，
所以x＝4b－3a.
向量线性运算的基本方法
1．类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的数乘运算中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
2．方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算．
思维提升
跟踪训练
ABD
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λ a.
微提醒：
1．向量共线定理中规定a≠0.
2．λ的值是唯一存在的．
例3
(2)若8a＋k b与ka＋2b共线，求实数k的值．
例4
思维提升
跟踪训练
1
①②③
①中，a＝－b，所以a，b共线；②中，b＝－2a，所以a，b共线；③中，a＝4b，所以a，b共线；④中，不存在λ∈R，使a＝λb，所以a，b不共线．
例5
D
用已知向量表示其他向量的两种方法
1．直接法
思维提升
2．方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
跟踪训练
B
〈课堂达标〉
C
C
AB
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