6.2.4 第二课时 向量的数量积(二) 课件(共37张PPT)--人教A版（2019）高中数学必修第二册

(共37张PPT)
6．2　平面向量的运算
6．2.4　向量的数量积
第二课时　向量的数量积(二)
第六章　平面向量及其应用
学习单元1　平面向量的概念　平面向量的运算

[学习目标]　
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式．　
2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
1．对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)(λ a)·b＝λ(a·b)＝a·(λ b)(数乘结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
2．平面向量数量积的运算性质
多项式乘法 向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝____________
(a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝____________
(a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝________
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝________________
____________________
a2＋2a·b＋b2
a2－2a·b＋b2
a2－b2
a2＋b2＋c2＋2a·b
＋2b·c＋2a·c
微提醒：
1．a·b＝b·c推不出a＝c.
2．(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量．
　(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是(　 　)
A．a·c－b·c＝(a－b)·c
B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直
C．|a|－|b|<|a－b|
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
例1
ACD
根据数量积的分配律知A正确；
因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c
＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；
因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形的三边，
所以|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；D正确．
向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律．
思维提升
1．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则(e1＋2e2)·(3e1－4e2)＝(　　)
A．－6　　　　　　　　　 B．－4
C．－2 D．－1
跟踪训练
B
2．给出下列结论：
①若a·b＝a·c，则b＝c；
②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；
③(a＋b)2＝|a|2＋2|a||b|＋|b|2.
其中正确的是________．(填序号)
②
①若a·b＝a·c，则a·b－a·c＝0，
∴a·(b－c)＝0，
∴a⊥(b－c).
这里b＝c是a⊥(b－c)的特殊情况，①错误．
②(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝|a|2－|b|2，
∴②正确．
③(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)
＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b
＝|a|2＋2a·b＋|b|2，
∴③错误．
综上，正确的是②.
　已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
[分析]　直接用平面向量数量积及向量模的求解公式．
例2
例3
思维提升
3．已知平面向量a，b的夹角为θ，且满足：|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则(　　)
A．|a＋b|＝4　　　　　　 B．θ＝60°
C．|a－b|＝3 D．θ＝30°
跟踪训练
B
4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角
为__________．
B
例3
解决有关垂直问题时，利用a⊥b a·b＝0(a，b为非零向量).
思维提升
跟踪训练
A
6．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ＝______．
〈课堂达标〉
1．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于(　　)
A．－2　　　　　　　　 B．－1
C．1 D．2
B
因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.
B
C
4．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|＝__________．
16
∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16.
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