6.2.4 第一课时 向量的数量积(一) 课件(共37张PPT)--人教A版（2019）高中数学必修第二册

(共37张PPT)
6．2　平面向量的运算
6．2.4　向量的数量积
第一课时　向量的数量积(一)
第六章　平面向量及其应用
学习单元1　平面向量的概念　平面向量的运算


[学习目标]　
1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功．　
2.掌握向量数量积的定义及投影向量．　
3.会计算平面向量的数量积．
非零向量　
∠AOB　
同向
反向
　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
[分析]　根据向量夹角的定义．
例1
1．求两个向量的夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
2．特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝π－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.
思维提升
跟踪训练
C
1．向量数量积的定义
已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|·cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为________．
0
2．平面向量数量积的性质
设向量a与b是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
|a|2　
≤
微提醒：
1．数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写．
2．向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.
3．a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量．
例2

定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
思维提升
跟踪训练
C
B
投影
投影
微提醒：
1．向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量．
2．如果两个非零向量a与b相互平行或垂直时，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性．
3．由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果．
　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e.
(1)求a·b；
[分析]　(1)直接用数量积公式进行计算．
例3
(2)求a在b上的投影向量．
[分析] (2)利用投影向量公式求解．
任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θ e(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量).
思维提升
跟踪训练
D
5．已知a·b＝16，e为与b方向相同的单位向量．若a在b上的投影向量为4e，则|b|＝__________．
4
设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ＝16，
又∵a在b上的投影向量为4e，∴|a|cos θ e＝4e，
∴|a|cos θ＝4，∴|b|＝4.
〈课堂达标〉
A
C
CD
4．已知|a|＝2，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________．
e
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