7.2.2 复数的乘、除运算 课件(共27张PPT)--人教A版（2019）高中数学必修第二册

(共27张PPT)
7.2.2　复数的乘、除运算
　
第七章　7.2　复数的四则运算
学习目标
1.结合多项式的乘法，了解并掌握复数代数形式的乘法和除法运算．　
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，培养数学运算核心素养．
问题导思
问题1.类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？复数的乘法与多项式乘法有何不同？
提示：复数的乘法法则如下：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只是在所得结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
问题2.类比实数乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律，你认为复数满足这些运算律吗？
提示：满足对于任意z1，z2，z3∈C，有：交换律：z1z2＝z2z1；结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；
乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
新知构建
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__________________．
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝_____
结合律 (z1z2)z3＝________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝___________
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
z2z1
z1(z2z3)
z1z2＋z1z3
微提醒
(2)复数的乘法类似于多项式的乘法，只要把i2换成－1，然后实部与虚部分别合并．
(3)i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i.
例1
计算下列各题：
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
解：(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解：(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
规律方法
两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤
第一步：按多项式的乘法展开；
第二步：将i2换成－1；
第三步：进行复数的加、减运算，并将其化简为复数的代数形式．　　
对点练1．(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝
A．2i－13 B．13＋2i
C．13－2i D．－13－2i
因为(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.故选D.
(2)在复平面内，复数z＝(2＋3i)(1－2i)(i为虚数单位)对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
√
因为z＝(2＋3i)(1－2i)＝2－4i＋3i－6i2＝8－i，所以复数z在复平面内对应的点为(8，－1)，位于第四象限．故选D.
√
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问题导思
问题3.类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？
新知构建
微提醒
复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子、分母同乘分母的共轭复数．
例2
A．－6i　　　　B．6i C．－8　　　　D．8
√
(2)复数 在复平面内对应的点所在的象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
√
规律方法
两个复数代数形式的除法运算步骤
第一步：将除式写成分式；
第二步：“分母实数化”，即将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
第三步：将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．　　
√
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例5
在复数范围内解方程
在复数范围内解下列方程：
(1)x2＋5＝0；
解：因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，
(2)x2＋4x＋6＝0.
解：法一：因为x2＋4x＋6＝0，所以(x＋2)2＝－2，
法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，
规律方法
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
1．求根公式法
2．利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．　　
对点练3．(1)已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0(q∈R)的一个根，则该方程的另一个根为
A．2i＋3 B．－2i－3
C．2i－3 D．－2i＋3
√
根据题意，方程的另一个根为－6－(2i－3)＝－3－2i.故选B.
(2)已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值．
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课堂小结
知识 (1)复数的乘法及运算律．(2)复数的除法运算．(3)在复数范围内解方程．(4)i的运算性质．
方法 分母实数化、配方法、求根公式法．
易错误区 分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误．
随堂演练
1．(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝
A．－2 B．－1
C．1 D．2
√
2．复数z满足：z(2＋i)＝5(i是虚数单位)，则复数z的虚部为
A．－2 B．2 C．－i D．－1
√
3．已知复数z＝i＋2i2＋3i3＋4i4(其中i为虚数单位)，则|z|＝
A．2 B．2 C．4 D．10
√
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4．已知复数z满足z(1＋i)＝2ti(t∈R)，若|z|＝2 ，则t＝________．
±2
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