北京课改版（2024）七年级数学下册 第五章 二元一次方程组 单元测试题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
北京课改版七年级数学下册 第五章 二元一次方程组 单元测试题（2024）
一、选择题(共10题；共30分)
1．（3分）将方程改写成用含x的式子表示y的形式，结果是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）若是关于x、y的二元一次方程的解，则a的值是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列方程组中是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中一道题，原文是：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗：下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？”意思是：今有上禾七捆，减去一斗谷，加上下禾二捆，一共能打十斗谷：下禾八捆，加上一斗谷，再加上上禾二捆，一共能打十斗谷．问一捆上禾、一捆下禾各打几斗谷？设一捆上禾打x斗谷，一捆下禾打y斗谷，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）若方程组用代入法消去，所得关于的一元一次方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）已知方程组，则的值是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有x只，兔有y只，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，数轴上A，B，C，D四点对应的数都是整数，若点A对应的数为a，点B对应的数为b，且b-2a=7，则数轴上的原点应是(　　)
A．点 A B．点 B C．点C D．点 D
10．（3分）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中，正确的有（　　）
①；②；③3x+（100-x）＝100；④y+3（100-y）＝100．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题(共8题；共24分)
11．（3分）把方程2x﹣y＝4变形，用含x的代数式表示y，则y＝　 　．
12．（3分）方程的正整数解有　 　个．
13．（3分）已知关于 的二元一次方程组 的解满足 ，且关于 的不等式组 无解，那么所有符合条件的整数 的个数为　 　.
14．（3分）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为　 　．
15．（3分）已知关于x，y的方程组的解满足不等式2x+y>8，则m的值是　 　．
16．（3分）有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共30元；若购买甲4件、乙10件、丙1件，共35元，现在购买甲、乙、丙各1件，共需　 　元．
17．（3分）如图，九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等，请用含x的代数式表示y，y= 　 　.
18．（3分）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为54，大长方形的周长为42，则一张小长方形的面积为　 　.
三、解答题(共8题；共66分)
19．（6分）解方程组：
20．（6分）小明在做家庭作业时发现练习册上一道解方程的题目被墨水污染 ，“口”和“△”表示被污染的内容，他着急，翻开书后面的答案，这道题的解是 ，你能帮助他补上“口”和“△”的内容吗？说出你的方法．
21．（8分）一家超市中，杏的售价为11元/kg，桃的售价为10元/kg，小菲在这家超市买了杏和桃共8kg，共花费83元，求小菲这次买的杏、桃各多少千克？
22．（8分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？
请解答上述问题．
23．（8分）某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好全部运走，怎样调配劳力才能使挖出来的土能及时运走且不窝工？
24．（8分）德州市正处在创建国家卫生城市的关键时期，但总有市民随手丢垃圾的情况出现．为提高市民的环保意识，我市青年志愿者协会组织50人的青年志愿者团队，在周末前往某森林公园捡垃圾．已知平均每分钟男生可以捡3件垃圾，女生可以捡2件垃圾，且该团队平均每分钟可以捡120件垃圾．请问该团队的男生和女生各多少人？
25．（10分）列二元一次方程组求解应用题．
某商店用2200元购进《青春之歌》和《林海雪原》两种红色文化教育读本共100本，这两种的书籍的进价、标价如表所示：
书名 价格 青春之歌 林海雪原
进价（元∕本） 20 25
标价（元∕本） 30 40
（1）《青春之歌》、《林海雪原》各购进了多少本？
（2）若《青春之歌》按标价的9折出售，《林海雪原》按标价的8折出售，那么这两种书全部售出后，该商店共获利多少元？
26．（12分）甘州区为加快新农村建设，建设美丽乡村，对A、B两类村庄进行了全面改建．根据预算，建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄共需资金300万元；沙井镇建设了2个A类村庄和5个B类村庄共投入资金1140万元．
（1）（6分）建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄所需的资金分别是多少万元？
（2）（6分）大满镇改建3个A类美丽村庄和2个B类美丽村庄共需资金多少万元？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等式的基本性质；解二元一次方程
【解析】【解答】解：根据等式的基本性质1，方程两边同时减，
得，
故选：B．
【分析】本题考查二元一次方程的解、以及等式的基本性质，利用等式的基本性质，方程两边同时减，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】将代入原方程，可得：，解得：
故答案为：C
【分析】
将方程组的解代入方程，可得关于a的一元一次方程，解方程即可得到a的值．
3．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：因为第一个方程不是整式方程，所以原方程组不是二元一次方程组，A选项不符合题意；
因为含有三个未知数，所以原方程组不是二元一次方程组，B选项不符合题意；
因为是含有两个未知数且未知数的次数为1的整式方程组，所以原方程组是二元一次方程组，符合题意；
因为第二个方程含未知数的项的次数不是1，所以原方程组不是二元一次方程组，D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二元一次方程组的定义“由两个一次方程组成，且含有两个未知数的整式方程组”即可逐一判断.
4．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设一捆上禾打x斗谷，一捆下禾打y斗谷，
由题意得，，
故选：D．
【分析】由题意：上禾七捆，减去一斗谷，加上下禾二捆，一共能打十斗谷可得方程，根据下禾八捆，加上一斗谷，再加上上禾二捆可得方程，据此列出方程组即可．
5．【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 方程组，
②代入①得： ，
故答案为：C.
【分析】利用代入消元法解方程组求解即可。
6．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
①②，得：，
解得：，
将代入①，得：，
解得：，
所以方程组的解为，
故答案为：D．
【分析】用加减消元法，两个方程相加即可消去y，即可解出方程组的解.
7．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：方程组，
三个方程相加得：，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用三元一次方程组的解法求解即可。
8．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，由题意得，
故答案为：D
【分析】设鸡有x只，兔有y只，根据“鸡兔同笼，共有35个头，94条腿”结合生活常识即可列出二元一次方程组，从而即可求解。
9．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：观察数轴可得：B点在A点的右侧且距离A点3个单位长度，
所以b-a=3 ①，
又因为 b-2a=7 ②，
解由①②组成的方程组，
解得：，
所以点A对应的数为-4，点B对应的数为-1，
所以数轴上原点为点C，
故答案为：C.
【分析】根据观察数轴及题意可得关于a，b的二元一次方程，解出a，b的值，从而确定原点的位置.
10．【答案】D
【知识点】列一元一次方程；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 大和尚有x人，小和尚有y人，
由题意可得： ，
由①可得：y=100-x③或x=100-y④，
将③代入②得：，
将④代入②得： y+3（100-y）＝100，
综上所述：正确的有②③④，共3个，
故答案为：D.
【分析】根据题意找出等量关系列方程求解即可。
11．【答案】2x－4
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】∵2x﹣y＝4，
∴y=2x-4，
故答案为：y=2x-4.
【分析】将x当作常数，再利用一元一次方程的计算方法求出y=2x-4即可.
12．【答案】2
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵x、y为正整数，
∴当时，；
当时，，
即方程的正整数解有，，共2组，
故答案为：2．
【分析】根据移项和系数化为1可将x用含y的代数式表示出来，然后由原方程有正整数解可得x、y为正整数即可求解．
13．【答案】7
【知识点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解方程组 得：
∵方程组的解满足
∴ ，解得
解不等式组 得：
∵关于 的不等式组 无解
∴ ，解得
∴
∴所有符合条件的整数 为-2，-1，0，1，2，3，4，共7个
故答案为：7.
【分析】先将a作为常数求出方程组的解，然后根据方程组的解满足列出不等式，求出a的取值范围；再将a作为常数解出不等式组中每一个不等式的解集，然后根据该不等式组无解，由“大大小小无解了”列出关于a的不等式，求解得出a的取值范围，最后找出满足所有条件的a的取值范围，再找出其中的整数解即可.
14．【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
（①+②）÷2得：x-y＝10+k
又∵x-y＝6
∴10+k＝6
解得：k＝-4
∴k的值为-4
故答案为：-4
【分析】利用（①+②）÷2，可得出x-y＝10+k，结合x-y＝6，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
15．【答案】m＜-6
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，①+②得，，解得，x=2m-1，
把x=2m-1代入②得，，解得，y=4-5m，
将x=2m-1，y=4-5m代入不等式2x+y＞8得4m-2+4-5m＞8，∴m＜-6，
故答案为：m＜-6．
【分析】利用加减消元求出方程组的解，代入不等式求出m的取值范围即可．
16．【答案】20
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲x元，乙y元，丙z元，由题意可得
①×3-②×2，得x+y+z=30×3-35×2=90-70=20.
故答案为：20.
【分析】设甲x元，乙y元，丙z元，由题意可得，然后利用①×3-②×2就可求出x+y+z的值，据此解答.
17．【答案】2x-7
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意得：
第一行第三列，第二行第二列，第三行第一列的三个数之和为：x+y+7，
第一行第一列的数为：x+y+7﹣x﹣4＝y+3，
第一行第二列的数为：x+y+7﹣（y+3）﹣7＝x﹣3，
第三行第二列的数为：x+y+7﹣（x﹣3）﹣x＝10﹣x+y，
第三行的三个数之和为：y+（10﹣x+y）+4＝x+y+7，
整理得：y＝2x﹣7，
故答案为：2x﹣7．
【分析】根据“九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等”，结合图中已知的数，列出关于x和y的等式，整理后即可得到答案。
18．【答案】11
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
把原方程整理得：
∴
∴2xy=49-27
∴xy=11
∴一张小长方形的面积为11，故答案为11.
【分析】由图可知：大长方形的长为2y+x，宽为2x+y，根据大长方形的周长为42， 列出方程：2y+x+2x+y=21，再根据阴影部分的面积为大长方形的面积减去5个小长方形的面积，列出：（2y+x）（2x+y）-5xy=54，最后根据完全平方公式：求出xy的值即可.
19．【答案】解：，得：，得：，解得：，
把代入②，得：，解得：，
∴方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法，由，得到，两式相减，求得，将其代入，求得，即可得到方程组的解，得到答案.
20．【答案】解：把x=2，y=-1代入两方程，
得3×2-2×（-1）=8，5×2-1=9．
∴被污染的内容是8和9．
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】根据方程组的解的定义，将x=2，y=-1分别代入原方程组的每一个方程，即可求出答案。
21．【答案】解：设小菲这次买的杏，桃分别为x千克、y千克，
根据题意，得，
解得
答：小菲这次买杏3千克、买桃5千克．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设小菲这次买的杏，桃分别为x千克、y千克，根据题意列出方程组求解即可。
22．【答案】解：设共有x人，这个物品的价格是y元，
解得
答：共有7人，这个物品的价格是53元.
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】设共有x人，这个物品的价格是y元，根据题意列出方程组求解即可。
23．【答案】设有x人挖土、y人运土根据题意列方程得：
解得：
故安排54人挖土、18人运土能使挖出来的土能及时运走
故答案为：安排54人挖土、18人运土能使挖出来的土能及时运走
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】设有x人挖土、y人运土，根据“72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好全部运走”，列出二元一次方程组，再求解即可．
24．【答案】解：设该团队男生有x人，女生有y人，
根据题意得： ，
解得： ．
答：该团队男生有20人，女生有30人．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】设该团队男生有x人，女生有y人，根据“该志愿者团队共50人，平均每分钟男生可以捡3件垃圾，女生可以捡2件垃圾，且该团队平均每分钟可以捡120件垃圾”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
25．【答案】解：（1）设《青春之歌》购进了x本，《林海雪原》购进了y本，
根据题意得，，
解得：，
答：《青春之歌》购进了60本，《林海雪原》购进了40本；
（2）根据题意得，商店共获利：
（30×90%﹣20）×60＋（40×80%﹣25）×40＝700（元），
答：商店共获利700元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设《青春之歌》购进了x本，《林海雪原》购进了y本，根据 用2200元购进《青春之歌》和《林海雪原》两种红色文化教育读本共100本，列出方程组，求得x和y的值，即可得到答案；；
（2）根据 《青春之歌》按标价的9折出售，《林海雪原》按标价的8折出售，列式计算，即可求解．
26．【答案】（1）解：设建设一个A类美丽村庄所需的资金为x万元，建设一个B类美丽村庄所需的资金为y万元，依题意得：
，
解得：．
答：建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄所需的资金分别是120万元、180万元；
（2）解：由题意可得，（万元），
答：大满镇改建3个A类美丽村庄和2个B类美丽村庄共需资金720万元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设建设一个A类美丽村庄所需的资金为x万元，建设一个B类美丽村庄所需的资金为y万元，根据“建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄共需资金300万元；沙井镇建设了2个A类村庄和5个B类村庄共投入资金1140万元”列出方程组，进而解方程组即可；
（2）根据（1）中方程的解可以求得改建3个A类美丽村庄和2个B类美丽村庄共需资金多少万元，进而即可求解。
（1）解：设建设一个A类美丽村庄所需的资金为x万元，建设一个B类美丽村庄所需的资金为y万元，依题意得：
，
解得：．
答：建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄所需的资金分别是120万元、180万元；
（2）解：由题意可得，（万元），
答：大满镇改建3个A类美丽村庄和2个B类美丽村庄共需资金720万元．