北京课改版（2024）七年级数学下册 第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组 单元测试题（含解析）

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北京课改版七年级数学下册 第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组 单元测试题（2024）
一、选择题(共10题；共30分)
1．（3分）下列式子：①﹣2≤0；②3x+2y＞0；③b＝2；④m≠3；⑤x+y；⑥x+5≤6；是不等式的有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（3分）若a>b成立，则下列不等式成立的是（　　）
A．a+33．（3分）关于x的不等式的解在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解是(　　).
A．-24．（3分）解不等式小聪的解题过程如下：
①-6+x+1≤3x； ②x-3x≤6-1； ③--2x≤5； ④
这个结果是错的，其中造成解答错误的一步是(　　).
A．① B．② C．③ D．④
5．（3分）五四青年节临近，小强在准备爱心捐助义卖活动中发现班级同学捐赠的一个书包的成本为60元，定价为90元，为使得利润率不低于5％，在实际售卖时，该书包最多可以打（　　）．
A．8折 B．7折 C．85折 D．75折
6．（3分）不等式组的解为（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）若不等式组的解为，则下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）在不等式组的解集中，整数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
9．（3分）规定表示m，n中较大的数，若，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(共8题；共24分)
11．（3分）“x的7倍减去1是正数”用不等式表示为　 　．
12．（3分）若x”）
13．（3分）根据机器零件的设计图纸（如图），用不等式表示零件长度的合格尺寸（L的取值范围）是　 　．
14．（3分）[a]表示不超过a的最大整数，则[1.6]的值为　 　.
15．（3分）不等式组的解集为　 　．
16．（3分）关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是　 　.
17．（3分） 假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座，租金400元；乙种客车每辆车有50个座，租金480元.则租用该公司客车最少需用租金　 　元.
18．（3分）新定义一个运算： 例如 ，.用 表示大于m的最小整数，例如， ，，.按照上述规定，如果整数x满足 ，那么x的值是　 　.
三、解答题(共8题；共66分)
19．（6分）解不等式组：，并写出不等式组的整数解．
20．（6分）在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1.已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴解答.
（1）（3分）写出a所满足的不等式.
（2）（3分）数-3，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗？
21．（8分）若关于x的不等式(3-a)x>2可化为x<，试确定a的取值范围.
22．（8分）一根30cm长的 烛，假设点燃后每小时烧去6cm，燃烧后，长度已不足，求的取值范围.
23．（8分）某商店为了促销某种商品，将定价为5元的商品按下列方式优惠销售：若购买不超过4件，按原价付款；若一次性购买4件以上，超过部分打八折．现有37元钱，最多可以购买该商品多少件
24．（8分）北京昌平临川学校政教处刘颖华主任为初二女学生安排住宿，如果每间住4人，那么将有30人无法安排，如果每间住8人，那么有一间宿舍不空也不满．求宿舍间数和初二女学生人数？
25．（10分）为进一步落实“双减”工作，某中学准备从商场一次性购买一批足球和篮球用于开展课后服务训练，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，购买2个足球和1个篮球共需花费210元．
（1）（5分）足球和篮球的单价各是多少元
（2）（5分）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，且要求购买足球的总费用不超过购买篮球的总费用，那么学校最少要准备多少资金
26．（12分）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满．
（1）（4分）求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）（4分）若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
（3）（4分）在（2）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：是不等式的为： ①﹣2≤0； ②3x+2y＞0； ④m≠3； ⑥x+5≤6；
故答案为：B.
【分析】根据“用不等号连接表示不等关系的式子”判断即可.
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：
故选项A不符合题意；
故选项B符合题意；
故选项C不符合题意；
故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据 应用不等式的性质，逐项判断即可.
3．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由题意可得：
该不等式的解为：-2≤x<1
故答案为：C
【分析】根据不等式在数轴上的表示即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
不等号两边同时乘以-3可得：6+x+1≥3x
∴小聪从第一步就错了.
故答案为：A
【分析】根据不等式的性质：不等号的两边同时乘以一个小于0的数，不等号的方向改变.
5．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设在实际售卖时，该书包可以打x折，
可列不等式：90×-60≥60×5%，
解得：x≥7．
所以该书包最多可以打7.
故选B．
【分析】设在实际售卖时，该书包可以打x折，根据利润=售价-成本，结合利润率不低于5%，可列出关于x的一元一次不等式，解不等式并取最小值．
6．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：D．
【分析】先求出两个不等式的解集，然后利用“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”得到不等式组的解集即可．
7．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵不等式组的解为，
∴，
故答案为：B.
【分析】利用“同小取小”确定不等式组的解集确解题即可．
8．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，解不等式②得，
∴原不等式组的解集为，
∴解集中的整数有：0、1、2，共3个，
故答案为：B．
【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，然后在解集中求出其范围内的整数解，即可得到答案.
9．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】由运算规则可知，， 说明1为较大的数，由此可列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可求出结果．
10．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由得，，
，
故原不等式组的解集为：，
不等式组的正整数解有4个，
其整数解应为：3、4、5、6，
的取值范围是．
故答案为：D.
【分析】先解不等式求出不等式组的解集，再利用整数解的个数得到关于的不等式，解题即可．
11．【答案】7x﹣1＞0
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：“x的7倍减去1是正数”用不等式表示为7x﹣1＞0，
故答案为：7x﹣1＞0．
【分析】首先表示“x的7倍"为7x，再表示“减去1”为7x-1，最后表示“是正数"为7x-1>0.
12．【答案】＜
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵x＜y，
∴3x＜3y，
∴3x+1＜3y+1.
故答案为：＜.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变，据此判断即可.
13．【答案】
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：根据图形的信息得出
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据图纸给出的信息得出L的最大值为40+0.02，最小值为40-0.02，据此即可作答．
14．【答案】1
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：由题意可知，不超过1.6的最大整数为1.
故答案为： 1.【分析】根据新定义以及有理数大小比较方法解答即可.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由不等式组
解不等式①，得；解不等式②，得，
即不等式组的解集为：，
故答案为：．
【分析】根据一元一次不等式组的解法“一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，得到不等式组的解集”，即可得到答案.
16．【答案】x≥3
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由图可知，不等式组的解集为x≥3，
故答案为：x≥3.
【分析】由数轴表示不等式组的含义分析取公共部分即可.
17．【答案】3520
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】由题意可知 若只租甲种客车需要36040=9辆，若只租乙种客车需要8辆。
设甲种客车x辆，则乙种客车（8-x）辆，
根据题意得 40x+50(8-x)360
解得：x4
设客车的租金w=400x+480(8-x)
即w=-80x+3840
w随x得增大而减小，则当x=4时，w最小
故当x=4时，w=-80x4+3840=3520
故答案为：3520
【分析】由题意可知 若只租甲种客车需要36040=9辆，正好坐满但是租金贵，若只租乙种客车需要8辆，但有一辆客车不能坐满。因而两种客车共租8辆，载客量要大于等于360。设甲种客车x辆，则乙种客车（8-x）辆，根据题意得 40x+50(8-x)360解得：x4设客车的租金w=400x+480(8-x)
即w=-80x+3840，w随x得增大而减小，则当x=4时，w最小，故当x=4时，w=-80x4+3840=3520。
18．【答案】2或-1
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
则，
那么即，
整理得：，
当时，
，
则，
解得：，
∵x为整数，
∴；
当时，
，
则，
解得：，
∵x为整数，
∴；
综上，x的值是或2，
故答案为：或2．
【分析】由题意先计算，进而得到，然后分类讨论：和，分别计算求解即可得到答案.
19．【答案】解：由，得：，由，得：，
则不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为：2，3.
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为：2，3；
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根结合口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集，得到答案．
20．【答案】（1）解：根据题意，得.
（2）解：由(1)得，到点的距离小于3的数在-2和4之间，
在这三个数中，只有0所对应的点到点的距离小于3.
【知识点】不等式的概念
【解析】【分析】（1）根据绝对值的几何意义，两数差的绝对值表示两数在数轴上的距离； 若A，B两点的距离小于3 ，即a-1＜3.
（2）由（1）得，a-1＜3，即-321．【答案】解：由题意，知不等式(3-a)x>2可化为x<，
∴3-a<0，
∴a>3，
即a的取值范围为a>3.
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】依据不等式的性质解答即可求出答案.
22．【答案】解：根据题意，得，
解得
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】由不等关系“燃烧后，长度已不足”，表示出燃烧后蜡烛剩下的长度列出不等式，解出解集即可.
23．【答案】解：，
∴设可以购买件这样的商品，依题意，得
.
解得为正整数，.
答：最多可以购买该商品8件.
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】首先判断购买商品是否超过4件，根据4×5=20（元）＜37（元），可知购买商品超过4件；题中的数量关系为最终购买商品所需要的钱数，根据：4件原价付款数+超过4件的总钱数≤37，列出不等式求解即可.
24．【答案】解：设有x间宿舍，则住宿女生有（4x+30）人，依题意，得
，
解这个不等式组得解集为： ＜x≤ ，
∵宿舍间数为整数，
∴x=8，
∴4x+30=62（人），
答：宿舍间数8，初二女学生人数为62人．
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】根据“如果每间住4人，那么有30人无法安排”即说明人数与宿间数之间的关系，若设有x间宿舍，则住宿女生有（4x+30）人．“如果每间住8人，那么有一间宿舍不空也不满”即说明女生的人数与（x﹣1）间宿舍住的学生数的差，应该大于或等于1，并且小于8．
25．【答案】（1）设足球的单价是元，则篮球的单价是元.依题意，得，
解得，
.
答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元.
（2）设学校可以购买m个足球，则可以购买(200-m)个篮球，依题意得
60m≤90(200-m)，
解得m≤120，
则在满足购买足球的总费用不超过购买篮球的总费用的情况下，购买120个足球，80个篮球时学校需要准备的资金最少，
需要准备的最少资金为120X60+80X90=14400(元).
答：学校最少要准备14400元.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）根据足球的单价×2+蓝球的单价=210，列等式求解即可；
（2）根据购买足球的总费用不超过购买篮球的总费用，即购买足球的总费用≤购买篮球的总费用，列不等式解得购买篮球的数量解集；再根据学校最少要准备多少资金，可以取得购买足球和篮球的具体数量；最后根据总费用=足球数量×足球的单价+篮球数量×篮球的单价，即可求出总费用.
26．【答案】（1）解：设原计划租用种客车辆，根据题意得，
，
解得：
所以（人）
答：原计划租用种客车辆，这次研学去了人；
（2）解：设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意，得
解得：，
∵为正整数，则，
∴共有种租车方案，
方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，
方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，
方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，
（3）解：∵种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，
∴种客车越少，费用越低，
方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
∴租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设原计划租用种客车辆，根据“ 租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满 ”列一元一次方程解题即可；
（2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，列一元一次不等式组求出整数a的值确定方案即可；
（3）计算三种方案的费用，比较解题即可．