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第8章 整式乘法 单元测试培优卷
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 海口期中）若 ，则括号内应填的代数式是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设空白部分的代数式为，则．
故选：．
2．计算的结果是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】
，
故选：．
3．（2024秋 巢湖市期末）已知，且，则的值是
A．4 B． C．2 D．
【答案】
【解析】，且，
，
，
则，
故选：．
4．（2024秋 文山市期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：■，■的地方被钢笔水弄污了，你认为■内上应填写
A． B． C． D．1
【答案】
【解析】根据单项式乘多项式运算法则计算得：
□，
□内上应填写．
故选：．
5．（2024秋 昭阳区期末）下列等式中，正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、，故选项错误，不符合题意；
、，故选项错误，不符合题意；
、，故选项错误，不符合题意；
、，故选项正确，符合题意；
故选：．
6．（2024春 秦都区校级月考）已知，，，若的值与的取值无关，当时，的值为
A．0 B．4 C． D．2
【答案】
【解析】，，，
，
的值与的取值无关，
，
，
当时，，
故选：．
7．（2024秋 周村区期末）已知，若，都是整数，则的值不可能是
A．1 B． C． D．
【答案】
【解析】，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
故的值不可能是；
故选：．
8．（2024秋 宝山区期末）根据整式与整式相乘，可以得到等式：．试利用这个等式解决以下问题：如图，△中，，分别以、、为边向外侧作正方形．如果、、的长分别是、、，且，，那么这三个正方形的面积和是
A．70 B．107 C．60 D．83
【答案】
【解析】由题意可得，．
，，
，
，
即这三个正方形的面积和是70，
故选：．
二．填空题（共10小题）
9．（2024秋 新疆期末）若，则的值为 ．
【答案】．
【解析】
，
则，
故答案为：．
10．（2024秋 站前区校级月考）若单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是 ．
【答案】．
【解析】单项式与是同类项，
，，
，，
．
故答案为．
11．（2024秋 闵行区校级期中）要使的展开式中不含项，则 ．
【答案】0．
【解析】原式
，
展开式中不含项，
，
故答案为：0．
12．（2024春 秦淮区期末）若，则代数式的值是 ．
【答案】1．
【解析】，
，，
，
故答案为：1．
13．（2024 吉州区开学）如图，小刚家有一块“”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是米，下底都是米，高都是米，请你帮小刚家算一算菜地的面积是 平方米．
【答案】．
【解析】由题意得菜地的面积为．
故答案为：．
14．（2024秋 沙坪坝区校级期末）将展开得到一个关于的多项式，若此关于的多项式中不含二次项和一次项，则 ．
【答案】．
【解析】
，
关于的多项式中不含二次项和一次项，
，，
解得：，，
，
故答案为：．
15．（2024秋 宁江区校级期末）若，，则 （填“”、“ ”或“” ．
【答案】．
【解析】，
，
，
，
故答案为：．
16．（2024秋 思明区期末）已知，，那么的值为 ．
【答案】．
【解析】，
，
又，
，
，
解得，
故答案为：．
17．（2024秋 铁西区期末）把一个边长为的正方形按图1的方式叠放在边长为的正方形中，我们既可以利用图1计算阴影部分面积；也可以将图1剪接成图2后计算阴影部分面积．这个过程验证了一个我们熟悉的乘法公式，它是 ．
【答案】．
【解析】图1中，大正方形面积减去小正方形面积即为阴影部分面积，
阴影部分面积可表示为；
图2中，拼接后阴影部分是个长方形，长为，宽为，
阴影部分面积可表示为，
由阴影部分面积相等，得．
故答案为：．
18．（2024秋 南昌期末）学方差公式之后，数学兴趣小组在活动中发现：
；
；
；
．
请你利用发现的规律计算： ．
【答案】．
【解析】
，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19．（2024秋 南昌县期末）计算：
（1）；
（2）．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
20．（2024秋 济宁期末）计算题：
（1）；
（2）（用简便方法计算）
【解析】（1）原式；
（2）原式
．
21．（2024春 苏仙区校级期中）甲、乙两人共同计算一道整式乘法：，由于甲抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；由于乙抄漏了第二个多项式中的系数，得到的结果为．请你计算出，的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．
【解析】甲抄错了第一个多项式中的符号，他的计算为：
，
，
，
乙抄漏了第二个多项式中的系数，他的计算为：
，
，
，
，
解得：，
正确结果为：
．
22．（2024秋 南昌期末）已知多项式，，与的乘积中不含有项，常数项是．
（1）求，的值．
（2）求的值．
【解析】（1），，
，
与的乘积中不含有项，常数项是，
，，
把，代入，可得，
故；；
（2）根据（1）可知，，，
，
．
23．（2024秋 阎良区期末）红红学习完《多项式乘多项式》的知识后，打算练习习题巩固知识，请你帮红红解决下列问题：
（1）如果，求和的值；
（2）如果，求的值．
【解析】（1）
，
，
，；
（2）
，
，
，
．
24．（2024秋 庄浪县期末）阅读理解：
已知，，求的值．
解：，
，即．
，
．
参考上述过程解答：
（1）若，．
① ；
②求的值；
（2）已知，，求的值．
【解析】（1）①，
，
，
；
故答案为：5．
②，，
．
（2），
，
，
，
．
25．（2024秋 忠县期末）在学习整式乘法时，教材用拼图推演得到了整式的乘法法则和乘法公式．这样，我们借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象．如图1，将边长的正方形分别用两个边长分别为，的正方形①②（阴影部分）和两个长方形③④拼接而成．观察图形，解答下列问题：
（1）请用两种不同的方法表示图1中边长的正方形的面积．你能用图1中正方形的面积表示吗？请把结论写出来．
（2）运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知，求的值．
②如图2是由3个正方形、、和1个长方形拼接而成，若，，长方形的面积为15，设阴影部分正方形的面积分别为，，求的值．
【解析】（1）方法一：大正方形面积为；
方法二：；
两个小正方形面积分别为，，
③④部分的面积都为，
，
；
（2）①由已知得，
设，，
则有，，
，
；
②设正方形、的边长分别为，，
由题意，
，，，，
由正方形得，即，
由（1）得，
．
26．问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为的正方形的边长增加，形成两个矩形和两个正方形，如图1．
这个图形的面积可以表示成：或，
这就验证了两数和的完全平方公式．
（1）类比解决：
如图2，一个边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，将阴影部分拼成了一个长方形．
则①的阴影面积表示为 ．
则②的阴影面积表示为 ．
由此可以得到的等式是 ．
（2）尝试解决：
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：？
如图3，表示1个的正方形，即：表示1个的正方形，与恰好可以拼成1个的正方形，因此：、、就可以表示2个的正方形，即：，而、、、恰好可以拼成一个的大正方形．
由此可得：．
请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义求：（要求写出结论并构造图形）．
（3）问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究： （直接写出结论即可，不必写出解题过程）
【解析】（1）左图的阴影部分的面积是，
右图的阴影部分的面积是，
，
这就验证了平方差公式；
故答案为：，，，
（2）如图，表示1个的正方形，即；
表示1个的正方形，与恰好可以拼成1个的正方形，
因此：、、就可以表示2个的正方形，即：；
与，与和可以表示3个的正方形，即；
而整个图形恰好可以拼成一个的大正方形，
由此可得：；
故答案为：；
（3）由上面表示几何图形的面积探究可知，，
又，
．
故答案为：．
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第8章 整式乘法 单元测试培优卷
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 海口期中）若 ，则括号内应填的代数式是
A． B． C． D．
2．计算的结果是
A． B． C． D．
3．（2024秋 巢湖市期末）已知，且，则的值是
A．4 B． C．2 D．
4．（2024秋 文山市期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：■，■的地方被钢笔水弄污了，你认为■内上应填写
A． B． C． D．1
5．（2024秋 昭阳区期末）下列等式中，正确的是
A． B．
C． D．
6．（2024春 秦都区校级月考）已知，，，若的值与的取值无关，当时，的值为
A．0 B．4 C． D．2
7．（2024秋 周村区期末）已知，若，都是整数，则的值不可能是
A．1 B． C． D．
8．（2024秋 宝山区期末）根据整式与整式相乘，可以得到等式：．试利用这个等式解决以下问题：如图，△中，，分别以、、为边向外侧作正方形．如果、、的长分别是、、，且，，那么这三个正方形的面积和是
A．70 B．107 C．60 D．83
二．填空题（共10小题）
9．（2024秋 新疆期末）若，则的值为 ．
10．（2024秋 站前区校级月考）若单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是 ．
11．（2024秋 闵行区校级期中）要使的展开式中不含项，则 ．
12．（2024春 秦淮区期末）若，则代数式的值是 ．
13．（2024 吉州区开学）如图，小刚家有一块“”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是米，下底都是米，高都是米，请你帮小刚家算一算菜地的面积是 平方米．
14．（2024秋 沙坪坝区校级期末）将展开得到一个关于的多项式，若此关于的多项式中不含二次项和一次项，则 ．
15．（2024秋 宁江区校级期末）若，，则 （填“”、“ ”或“” ．
16．（2024秋 思明区期末）已知，，那么的值为 ．
17．（2024秋 铁西区期末）把一个边长为的正方形按图1的方式叠放在边长为的正方形中，我们既可以利用图1计算阴影部分面积；也可以将图1剪接成图2后计算阴影部分面积．这个过程验证了一个我们熟悉的乘法公式，它是 ．
18．（2024秋 南昌期末）学方差公式之后，数学兴趣小组在活动中发现：
；
；
；
．
请你利用发现的规律计算： ．
三．解答题（共8小题）
19．（2024秋 南昌县期末）计算：
（1）；
（2）．
20．（2024秋 济宁期末）计算题：
（1）；
（2）（用简便方法计算）
21．（2024春 苏仙区校级期中）甲、乙两人共同计算一道整式乘法：，由于甲抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；由于乙抄漏了第二个多项式中的系数，得到的结果为．请你计算出，的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．
22．（2024秋 南昌期末）已知多项式，，与的乘积中不含有项，常数项是．
（1）求，的值．
（2）求的值．
23．（2024秋 阎良区期末）红红学习完《多项式乘多项式》的知识后，打算练习习题巩固知识，请你帮红红解决下列问题：
（1）如果，求和的值；
（2）如果，求的值．
24．（2024秋 庄浪县期末）阅读理解：
已知，，求的值．
解：，
，即．
，
．
参考上述过程解答：
（1）若，．
① ；
②求的值；
（2）已知，，求的值．
25．（2024秋 忠县期末）在学习整式乘法时，教材用拼图推演得到了整式的乘法法则和乘法公式．这样，我们借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象．如图1，将边长的正方形分别用两个边长分别为，的正方形①②（阴影部分）和两个长方形③④拼接而成．观察图形，解答下列问题：
（1）请用两种不同的方法表示图1中边长的正方形的面积．你能用图1中正方形的面积表示吗？请把结论写出来．
（2）运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知，求的值．
②如图2是由3个正方形、、和1个长方形拼接而成，若，，长方形的面积为15，设阴影部分正方形的面积分别为，，求的值．
26．问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为的正方形的边长增加，形成两个矩形和两个正方形，如图1．
这个图形的面积可以表示成：或，
这就验证了两数和的完全平方公式．
（1）类比解决：
如图2，一个边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，将阴影部分拼成了一个长方形．
则①的阴影面积表示为 ．
则②的阴影面积表示为 ．
由此可以得到的等式是 ．
（2）尝试解决：
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：？
如图3，表示1个的正方形，即：表示1个的正方形，与恰好可以拼成1个的正方形，因此：、、就可以表示2个的正方形，即：，而、、、恰好可以拼成一个的大正方形．
由此可得：．
请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义求：（要求写出结论并构造图形）．
（3）问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究： （直接写出结论即可，不必写出解题过程）
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