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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§3.2图形的旋转
一、选择题：（每小题3分共30分）
1．将△AOB绕点旋转得到，则下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：观查选项中的图形，只有C选项是绕点旋转得到，
故选：C
2．一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法都能正确的是（ ）
①对应线段平行；②对应线段相等；③图形的形状和大小都没有发生变化；④对应角相等．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
解：平移后对应线段平行（或在同一直线上）；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化．
旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化．
故选：B．
3．如图，在三角形ABC中，，将三角形绕点按顺时针方向旋转到三角形 的位置，使得点C、A、在一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．125° B．145° C．70° D．55°
解∵根据题意
由旋转的性质可知,∠BAC=∠BAC=55°，
∴∠BAC=70°，
∴∠CAC=125°，
故选A.
4．四个图形中，不可以由下图经过平移或旋转得到的是( )
A．B． C． D．
解：A、可以原图经过旋转得到，故本选项不符合题意；
B、可以原图经过平移得到，故本选项不符合题意；
C、不可以由原图经过平移或旋转得到，故本选项符合题意；
D、可以原图经过旋转得到，故本选项不符合题意；
故选：C
5．如图，△ABC中，，．将△ABC绕点 B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，，∴，
∵△ABC绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，
∴∠ABA’=∠CBA=40，，
∵，，
∴．故选：B．
6．如图，把△ABC绕着点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠1＝30°，则∠BAE＝（ ）
A．10° B．30° C．40° D．70°
解：根据题意可知旋转角∠CAE＝40°，所以∠BAE＝30°+40°＝70°．
故选D．
7．如图，Rt△ABC中，，，，将绕O旋转120°后，点C的对应点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
解:如图，连接OC
由A、C的坐标知，OA=，AC=1，AC⊥OA，由勾股定理得OC=2
∴∠AOC=30°
当OC绕点O逆时针旋转120°时,，
∵∠BOC=90° ∠AOC=60°
∴∠
即与OC关于y轴对称
∴
当OC绕点O顺时针旋转120°时，，
此时点在y轴负半轴上
∴
综上所述，点C的对应点的坐标为或
故选：D
8．如图，在中，以为中心，将顺时针旋转得到，边，相交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：由旋转的性质得：，，
，
故选：B．
9．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A．+1 B． C． D．-1
解：∵绕顶点A顺时针旋转45°，
∴∠D′CE=45°，
∴CD′=D′E，
∵ED′⊥AC，
∴∠CD′E=90°，
∵AC=，
∴CD′=-1，
∴正方形重叠部分的面积是×1×1-×（-1）（-1）=-1．
故选D．
10．如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中，，、分别与交于、两点，将绕着点顺时针旋转得到，则下列结论正确的有（ ）
①；②平分；③若，当时，则；④若平分，则．
A．①③ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
解：∵，，
∴， ，
由旋转性质可知，
∴，，，，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
即，
∴，
在和中，
，
∴（），
，，
∴平分，故②正确；
在中，，
∵，，
∴，
当，时，，
解得，
∴
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设到边距离为，则
，
∴，
∴，故④正确；
综上①②④正确，共个正确，
故选：B．
二、填空题：（每小题3分共15分）
11．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转后得到，若，则等于 ．
解：∵△AOB绕点按逆时针方向旋转后得到，
．
，
．
故答案为：．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，对△AOB连续作旋转变换，依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4）、…，则第（2023）个三角形的直角顶点的坐标是 ．
解点，
，
第（3）个三角形的直角顶点的坐标是
即所求三角形的直角顶点是图形经过了每组为3个三角形的674组后的第一个三角形的直角顶点，而第674组的第三个三角形与下一组的第一个三角形的直角顶点重合，
第(2023)个三角形直角顶点的坐标是即．
故答案为：．
13．已知△ABC中，，将△ABC绕点旋转得，使点恰好落在边上点处，边交边于点（如图），如果△CDF为等腰三角形，则的度数为 ．
解：如图，设，
，
，
绕点旋转得，使点恰好落在边上点处，
，，
，
，，
当时，△CDF为等腰三角形，即，则，解得，此时；
当时，△CDF为等腰三角形，即，而，则，
解得，此时，
当时，△CDF为等腰三角形，即，而，
则，解得（舍去），
综上所述，△CDF为等腰三角形时的度数为或，
故答案为或．
14．已知边长为的等边中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则在点运动的过程中，当线段长度的最小值时，的长度为 ．
解：连接，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∵线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴点在直线上运动，
∴，
∴当时，最小，
∵，
∴，
由勾股定理得：，，
∴，
则线段长度的最小值时，的长度为，
故答案为：．
15．图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O，；将抛物线绕点旋转180°得抛物线，交x轴于点；将抛物线绕点旋转180°得抛物线，交x轴于点；…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M(2020，m)在此“波浪线”上，则m= ．
解：由，结合图像观察知整个函数图像得到每隔的长度，函数值就相等，
又，
m的值等于时的纵坐标，
，
故答案为：8．
三、解答题:（共55分）
16．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，点的坐标为，点的坐标为．将绕点顺时针旋转得到，画出旋转后的（点，的对应点分别为点，）．
解：如图，即为所求作：
17．（7分）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，求的长．
解：根据题意得，，
是等边三角形，
，
又，，
在和中
，
，
又，，
即，
．
18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，﹣1)，B(3，﹣3)，C(0，﹣4)．
(1)画出△ABC向上平移5个单位长度得到的△；
(2)画出将△绕点C1按逆时针旋转90°所得的△．
（1）解：如图，△即为所求；
（2）如图，△即为所求．
19．（8分）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，旋转角为，CD，DE分别交AB于点F，G，连接BD．
(1)求证：；
(2)若，，求AB的长．
（1）证明：由旋转得：，
，
；
（2）解：，
，
，
，
由旋转得：，
在中，．
20．（8分）如图，在中，，，，在直线上，将绕点按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转．根据以上规律，解决下列问题：
(1)______；
(2)猜想：______．
(3)连接，求的面积．
（1）解：由题知，，，，
，
，
结合旋转的性质，以及，，，
，
故答案为：．
（2）解：由题知，从开始，每3个增加的一个周长，
，
；
故答案为：．
（3）解：，
，
，
的面积的面积的面积
．
21．（9分）如图，在矩形中，对角线与交于点，将绕点顺时针旋转，点对应点为点，点对应点为点．
(1)当点落在的延长线上时，请解答以下两个问题：
①如图，若，，连接，求的长度用含的代数式表示；
②如图，延长交于点，试猜想与的位置关系并加以证明；
(2)如图，在图的基础上继续绕点旋转，点对应点为点，点对应点为点，当点落在的延长线上时，已知，求证：四边形是菱形．
（1）解：如图，过点作于点，
四边形为矩形，
，
，
点是矩形对角线的交点，
为的中点，，
，
由旋转可知，
，
在中，，
；
答：的长度为；
，证明如下：
如图：
由旋转可知，即，
，，
，
，
，即；
（2）证明：如图：
四边形是矩形，
，，
由旋转可知，，，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空．
(1)平移线段，使点平移到点，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标为______；
(2)将线段绕点逆时针旋转，画出旋转后所得的线段，点的坐标为______，并判断的形状；
(3)在轴上找出点，使的周长最小，并直接写出点的坐标为_______．
（1）解：如图所示，，
故答案为：．
（2）解：如图所示，，是直角三角形；
∵，，，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，
∵，则
设直线的解析式为，
∴
解得：
∴直线的解析式为，当时，，
∴；
故答案为：．
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§3.2图形的旋转
一、选择题：（每小题3分共30分）
1．将△AOB绕点旋转得到，则下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法都能正确的是（ ）
①对应线段平行；②对应线段相等；③图形的形状和大小都没有发生变化；④对应角相等．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
3．如图，在三角形ABC中，，将三角形绕点按顺时针方向旋转到三角形 的位置，使得点C、A、在一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．125° B．145° C．70° D．55°
4．四个图形中，不可以由下图经过平移或旋转得到的是( )
A．B． C． D．
5．如图，△ABC中，，．将△ABC绕点 B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，把△ABC绕着点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠1＝30°，则∠BAE＝（ ）
A．10° B．30° C．40° D．70°
7．如图，Rt△ABC中，，，，将绕O旋转120°后，点C的对应点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．如图，在中，以为中心，将顺时针旋转得到，边，相交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A．+1 B． C． D．-1
10．如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中，，、分别与交于、两点，将绕着点顺时针旋转得到，则下列结论正确的有（ ）
①；②平分；③若，当时，则；④若平分，则．
A．①③ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题：（每小题3分共15分）
11．如图，将绕点O逆时针旋转后得到，若，则等于 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，对△AOB连续作旋转变换，依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4）、…，则第（2023）个三角形的直角顶点的坐标是 ．
13．已知△ABC中，，将△ABC绕点旋转得，使点恰好落在边上点处，边交边于点（如图），如果△CDF为等腰三角形，则的度数为 ．
14．已知边长为的等边△ABC中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则在点运动的过程中，当线段长度的最小值时，的长度为 ．
15．图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O，；将抛物线绕点旋转180°得抛物线，交x轴于点；将抛物线绕点旋转180°得抛物线，交x轴于点；…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M(2020，m)在此“波浪线”上，则m= ．
三、解答题:（共55分）
16．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，点的坐标为，点的坐标为．将绕点顺时针旋转得到，画出旋转后的（点，的对应点分别为点，）．
17．（7分）如图，在等边△ABC中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，求的长．
18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，﹣1)，B(3，﹣3)，C(0，﹣4)．
(1)画出△ABC向上平移5个单位长度得到的△；
(2)画出将△绕点C1按逆时针旋转90°所得的△．
19．（8分）如图，在△ABC中，，将绕点顺时针旋转得到，旋转角为，CD，DE分别交AB于点F，G，连接BD．
(1)求证：；
(2)若，，求AB的长．
20．（8分）如图，在中，，，，在直线上，将绕点按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转．根据以上规律，解决下列问题：
(1)______；
(2)猜想：______．
(3)连接，求的面积．
21．（9分）如图，在矩形中，对角线与交于点，将绕点顺时针旋转，点对应点为点，点对应点为点．
(1)当点落在的延长线上时，请解答以下两个问题：
①如图，若，，连接，求的长度用含的代数式表示；
②如图，延长交于点，试猜想与的位置关系并加以证明；
(2)如图，在图的基础上继续绕点旋转，点对应点为点，点对应点为点，当点落在的延长线上时，已知，求证：四边形是菱形．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空．
(1)平移线段，使点平移到点，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标为______；
(2)将线段绕点逆时针旋转，画出旋转后所得的线段，点的坐标为______，并判断的形状；
(3)在轴上找出点，使的周长最小，并直接写出点的坐标为_______．
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