五四制鲁教版9.4探索三角形相似的条件学案(含答案)

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名称 五四制鲁教版9.4探索三角形相似的条件学案(含答案)
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文件大小 165.0KB
资源类型 教案
版本资源 鲁教版
科目 数学
更新时间 2017-06-21 08:53:18

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文档简介

相似三角形 同步练习
重点、难点:
1. 通过探索两个三角形相似的识别方法,加强合情推理能力的培养,感受发现的乐趣,逐步掌握说理的基本方法。
2. 通过相似三角形性质复习,丰富与角、面积等相关的知识方法,开阔研究角、面积等问题的视野。
【知识纵横】
1. 相似三角形
对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
议一议:
(1)两个全等三角形一定相似吗?为什么?
(2)两个直角三角形一定相似吗?两个等腰直角三角形呢?为什么?
(3)两个等腰三角形一定相似吗?两个等边三角形呢?为什么?
2. 相似比
相似三角形对应边的比叫做相似比。
说明:相似比要注意顺序:如△ABC∽△A'B'C'的相似比,而△A'B'C'∽△ABC的相似比,这时。
3. 相似三角形的识别
(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似。
(2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。
(3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
【典型例题】
例1. 如图,∠1=∠2=∠3,图中相似三角形有( )对。
A
D E
3
B C

答:4对
例2. 如图,已知:△ABC、△DE ( http: / / www.21cnjy.com )F,其中∠A=50°,∠B=60°,∠C=70°,∠D=40°,∠E=60°,∠F=80°,能否分别将两个三角形分割成两个小三角形,使△ABC所分成的每个三角形与△DEF所分成的每个三角形分别对应相似?
如果可能,请设计一种分割方案;若不能,说明理由。
B E
A C D F

解:
B E
M 60o N 60o
50o 70o 40o 80o
A C D F

例3.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点F在BA的延长线上,连结CF交AD于点E。
(1)求证:△CDE∽△FAE;
(2)当E是AD的中点,且BC=2CD时,求证:∠F=∠BCF。
D C
E
F A B

命题意图:相似三角形的识别、特征在解题中的应用。
解析:由AB∥DC得:∠F=∠DCE,∠EAF=∠D
∴△CDE∽△FAE
,又E为AD中点
∴DE=AE,从而CD=FA,结合已知条件,易证
BF=BC,∠F=∠BCF
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠F=∠DCE,∠EAF=∠D
∴△CDE∽△FAE
(2)∵E是AD中点,∴DE=AE
由(1)得:
∴CD=AF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD
∴AB=CD=AF
∴BF=2CD,又BC=2CD
∴BC=BF
∴∠F=∠BCF
思路探究:平行往往是证两个三角形相似的重要条件,利用比例线段也可证明两线段相等。
例4. 在梯形ABCD中,∠A=90°,AD∥BC,点P在线段AB上从A向B运动,
(1)是否存在一个时刻使△ADP∽△BCP;
(2)若AD=4,BC=6,AB=10,使△ADP∽△BCP,则AP的长度为多少?
A D
B C

解:(1)存在
A D
P
B C

(2)若△ADP∽△BCP,则




∴AP长度为4或6
例5. 如图,在平行四边形ABCD中,E为CD上一点,DE:CE=2:3,连结AE、BE、BD,且AE、BD交于点F,则( )
A. 4:10:25 B. 4:9:25
C. 2:3:5 D. 2:5:25
(2001年黑龙江省中考题)
思路点拨:运用与面积相关知识,把面积比转化为线段比。
∴选A
例6. 如图,有一批形状大小相同的不锈 ( http: / / www.21cnjy.com )钢片,呈直角三角形,已知∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,试设计一种方案,用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片,并求出这种正方形不锈钢片的边长。
思路点拨:要在三角形内裁出面积最大 ( http: / / www.21cnjy.com )的正方形,那么这正方形所有顶点应落在△ABC的边上,先画出不同方案,把每种方案中的正方形边长求出。
解:如图甲,设正方形EFGH边长为x,则AC=4
而CD×AB=AC×BC=,得
又△CEH∽△CAB,得
于是,解得:
如图乙,设正方形CFGH的边长为y cm
由GH∥AC,得:
即,解得:
即应如图乙那样裁剪,这时正方形面积达最大,它的边长为
例7. 如图,已知直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,设,,作DE⊥DC,DE交AB于点E,连结EC。
(1)试判断△DCE与△ADE、△DCE与△BCE是否分别一定相似?若相似,请加以证明。
(2)如果不一定相似,请指出a、b满足什么关系时,它们就能相似?
解:(1)△DCE与△ADE一定相似,△DCE与△BCE不一定相似,分别延长BA、CD交于F点
由△FAD∽△FBC,得:
于是FD=DC,从而可证△FED≌△CED
得∠AED=∠DEC
所以△DEC∽△AED
(2)作CG⊥AD交AD延长线于G,
由△AED∽△GDC,有,得
要使△DCE与△BCE相似,那么一定成立
即,得
也就是当时,△DCE与△BCE一定相似。
【模拟试题】(答题时间:40分钟)
1. 如图,已知DE∥BC,CD和BE相交于O,若,则AD:DB=____________。
2. 如图,△ABC中,CE:EB=1:2,DE∥AC,若△ABC的面积为S,则△ADE的面积为____________。
3. 若正方形的4个顶 ( http: / / www.21cnjy.com )点分别在直角三角形的3条边上,直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm,则此正方形的边长为____________。
(2000年武汉市中考题)
4. 阅读下面的短文,并解答下列问题:
我们把相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫做相似体。
如图,甲、乙是两个不同的正方体,正方体都是相似体,它们的一切对应线段之比都等于相似比:,设分别表示这两个正方体的表面积,则,又设分别表示这两个正方体的体积,则。
(1)下列几何体中,一定属于相似体的是( )
A. 两个球体 B. 两个圆锥体
C. 两个圆柱体 D. 两个长方体
(2)请归纳出相似体的3条主要性质:
①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于____________;
②相似体表面积的比等于____________;
③相似体体积的比等于____________。
(2001年江苏省泰州市中考题)
5. 如图,铁道口的栏杆短臂长1 m,长臂长16 m,当短臂端点下降0.5 m时,长臂端点升高( )
A. 11.25 m B. 6.6 m C. 8 m D. 10.5 m
6. 如图,D为△ABC的边AC上的一点,∠DBC=∠A,已知,△BCD与△ABC的面积的比是2:3,则CD的长是( )
A. B. C. D.
7. 如图,在正三角形ABC中,D、E分别在AC、AB上,且,AE=BE,则有( )
A. △AED∽△BED B. △AED∽△CBD
C. △AED∽△ABD D. △BAD∽△BCD
8. 如图,已知△ABC中,DE∥FG∥BC,且AD:FD:FB=1:2:3,则等于( )
A. 1:9:36 B. 1:4:9
C. 1:8:27 D. 1:8:36
9. 如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ACD=∠B,求证:
10. 如图,△ABC中,D是BC边上的中点,且AD=AC,DE⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F。
(1)求证:△ABC∽△FCD;
(2)若,求DE的长。
11. 阅读并解答问题。
在给定的锐角△ABC中,求作一个正方形DEFG,使D、E落在BC上,F、G分别落在AC、AB边上,作法如下:
第一步:画一个有3个顶点落在△ABC两边上的正方形D'E'F'G'。
第二步:连结BF',并延长交AC于点F;
第三步:过F点作FE⊥BC于E;
第四步:过F点作FG∥BC交AB于点G;
第五步:过G点作GD⊥BC于点D。
四边形DEFG即为所求作的四边形DEFG,为正方形。
问题:
(1)证明上述所求作的四边形DEFG为正方形;
(2)在△ABC中,如果,∠BAC=75°,求上述正方形DEFG的边长。
A
G F
G' F'
B D' E' D E C

12. 如图,在△ABC中,,在BC上有100个不同的点,过这100个点分别作△ABC的内接矩形…,设每个内接矩形的周长分别为,则
____________。
A
E2 F2
E1 F1
B P1 P2 G2 G1 C

13. 如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,GI∥EF∥AB,若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为,则△ABC的面积为____________。
14. 如图,一个边长为3、4、5 ( http: / / www.21cnjy.com )厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合,另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上,那么这个正方形的面积是____________厘米2。
15. 如图,将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线对折,要使矩形AEFB与原矩形相似,则原矩形的长与宽的比为( )
A E D
B F C

A. 2:1 B. C. D. 1:1
16. 如图,梯形ABCD中, ( http: / / www.21cnjy.com )AB∥CD,且CD=3AB,EF∥CD,EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分,则AE:ED等于( )
A B
E F
D C

A. 2 B. C. D.
【试题答案】
1. 3:1
2.
3. 或
4. (1)A;(2)相似比;相似比的平方;相似比的立方
5. C 6. C 7. B 8. C
9. 由△ABC∽△DCA,得
10. (1)略
(2)过A作AM⊥BC于M
由△ABC∽△FCD,得:
又,得
∵DE∥AM,
,得
11. (1)易证明四边形EFGD为矩形,由,而,得EF=GF,故四边形EFGD为正方形。
(2)过A作AQ⊥BC于Q交GF于P,且AQ=BQ,∠BCA=60°,∠QAC=30°,,又
A
G F
P
B D Q E C

即,解得
由,得
12. 400
提示:从内接一个矩形入手,探求内接△ABC中任一矩形的长与宽的关系。
13.
提示:
14.
解:设,则
由△BCE∽△EDF,得
又,即
15. C
16. C
提示:延长DA、CB相交于G,
设,则