第十九章 一次函数 章末小结与提升(含详解) 2024-2025学年人教版初中数学八年级下册

第十九章 一次函数 章末小结与提升
◆必记定理 1.一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象与性质: 一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)k,b的符号k>0k<0b>0b<0b=0b>0b<0b=0图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小
2.一次函数与一元一次方程的关系:关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解 直线y=kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标. 3.一次函数与一元一次不等式的关系:关于x的一元一次不等式kx+b>0或kx+b<0的解集,就是使一次函数y=kx+b的函数值大于0或小于0时自变量x的取值范围.反映在图象上,关于x的一元一次不等式kx+b>0或kx+b<0的解集,就是直线y=kx+b位于x轴上方或下方的部分对应的自变量x的取值范围. 4.一次函数与二元一次方程组的关系:二元一次方程组的解就是两个一次函数的函数值相等时的自变量的值与函数值,也就是两条对应直线的交点坐标.
【专题提升】
1.“这么近那么美,周末到河北”,河北某文化旅游公司推出野外宿营活动,有两种优惠方案.方案一:以团队为单位办理会员卡(会员卡花费a元),所有人都按半价优惠.方案二:所有人都按六折优惠.某团队有x人参加该活动,购票总花费为y元,这两种方案中y关于x的函数图象如图所示,则下列说法不正确的是 ()
A.a=400
B.原票价为400元/人
C.方案二中y关于x的函数解析式为y=240x
D.若方案一比方案二更优惠,则x>6
2.A,B两地相距30 km,甲8:00由A地出发骑自行车去B地,速度为10 km/h;乙9:30由A地出发开汽车也去B地,速度为40 km/h.两人之间的距离s(单位:km)与时刻t的函数关系大致如图所示,下列说法正确的是 ()
A.a=10:00,c=11:00
B.m=15,b=10:20
C.乙到达B地时两人相距7 km
D.乙比甲提前1 h到达B地
3.甲、乙两个体育专卖店的优惠活动如下所示.
甲店:所有商品按原价八折出售.
乙店:一次性购买商品总额不超过200元时按原价付款;超过200元时,其中200元无优惠,超过200元的部分享受七折优惠.
设购买体育用品的原价总额为x元,在甲、乙两个专卖店实际付款分别为y甲元、y乙元.对于结论Ⅰ,Ⅱ,判断正确的是 ()
结论Ⅰ:当x>200时,y乙与x之间的函数解析式为y=0.7x+60.
结论Ⅱ:当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额相同,且实际付款相差20元时,x的值为100或800.
A.只有结论Ⅰ正确
B.只有结论Ⅱ正确
C.结论Ⅰ,Ⅱ都正确
D.结论Ⅰ,Ⅱ都不正确
4.如图,在平面直角坐标系中,A(-1,1),B(3,1),P(2,3),M是线段AB上一点,直线PM解析式为y=kx+b,当y随x的增大而减小时,点M的坐标可以是 ()
A.(-1,1)　　　　　　 B.(0,1)
C.(2,1) D.(3,1)
5.某公司生产了A,B两款新能源电动汽车.如图,l1,l2分别表示A款、B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y(单位:kW·h)与汽车行驶路程x(单位:kW)之间的关系.当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300 km时,A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多　 　kw·h.
6.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象分别与x,y轴交于A,B两点,若OA=2,OB=1,则关于x的方程kx+b=0的解为　 　.
7.在平面直角坐标系中有一动点P(m-2,2m-3).
①动点P在直线y=x-2上,m=　 　;
②不论m为何值,动点P始终在一条直线上,则该直线的解析式为　 　.
8.如图,已知B中的实数y与A中的实数x之间的对应关系是某个一次函数.
(1)求y与x之间的函数解析式.
(2)求m的值.
9. 2025年4月24日是第十个“中国航天日”,八年级某班组织40名同学到航天展览馆参观,已知展览馆分为A,B,C三个场馆,A场馆门票的价格是每张50元,B场馆门票的价格是每张40元.由于场地原因,要求每位同学只能选择一个场馆参观,参观当天刚好有优惠活动:每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票,且购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用.设到A场馆参观的人数为a,此次购买门票所需总金额为W元.
(1)求W关于a的函数解析式.
(2)若到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数,求此次购买门票所需总金额的最小值.
小情境主题：饮水与一次函数
10.小强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水,甲壶比乙壶加热速度快.在一段时间内,水温y(单位:℃)与加热时间x(单位:s)之间近似满足一次函数关系.根据记录的数据,画函数图象如图所示.
(1)求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式.
(2)当甲壶中水温刚达到80 ℃时,求此刻乙壶中水的温度.
11.图1是1个纸杯和4个叠放在一起的纸杯的示意图.为了探究叠放在一起的纸杯的总高度H(单位:cm)随着纸杯数量x(单位:个)的变化规律,设纸杯底部到纸杯沿底边高为h(单位:cm),杯沿高为a cm.
(1)纸杯底部到纸杯沿底边高为h(单位:cm)是　 　(填“常量”或“变量”).
(2)写出纸杯的总高度H(单位:cm)与纸杯数量x(单位:个)的函数关系式:　 　(用含a,h的式子表示).
(3)嘉琪同学经过实践探究,列出下列表格:
纸杯数量x/个 3 6
纸杯总高度H/cm 9.5 14
①根据表格中数据求出h和a的值;
②该型号纸杯有15个装、20个装、25个装共三种包装,均把纸杯叠放成一叠进行包装,图2是某品牌饮水机的示意图,储藏柜的高度是40 cm,则该储藏柜能放得下(杯口向上)这三种包装中哪些包装的纸杯(直接写出结果)
12.如图1,长为60 km的某段线路AB上有甲乙两车,分别从南站A和北站B同时出发相向而行,达到B,A后立即返回到出发站停止,速度均为30 km/h,设甲车、乙车距南站A的路程分别为y甲,y乙(单位:km),行驶时间为t(单位:h)(t≥0).
(1)图2已画出y甲与t的函数图象,其中a=　 　,b=　 　.
(2)在图2中补画y乙与时间t之间的函数图象并求出其函数关系式(注明自变量的取值范围).
(3)观察图象,直接写出在整个行驶过程中两车相遇的次数.
13.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=2x+1与y轴交于点A,直线l2与y轴,x轴交于点B,点C,l1与l2交于点D(1,m),连接OD,已知OC的长为4.
(1)求点D的坐标及直线l2的解析式.
(2)求△AOD的面积.
(3)若直线l2上有一点P使得△ADP的面积等于△ADO的面积,直接写出点P的坐标.
14.如图1,已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A,C,以OA,OC为边在第一象限内作矩形OABC.
(1)求点A,C的坐标.
(2)如图2,将△ABC对折,使得点A与点C重合,折痕分别交BC,AC于点D,E,求直线AD的解析式.
(3)在平面直角坐标系中,是否存在点P(除点B外),使得△APC与△ABC全等 若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
15. 如图1,某高速路有一段区间测速,限速100 km/h.现有一辆汽车QB经过测速区,以测速区起始线为y轴,以高速路路边的围栏为x轴,建立平面直角坐标系如图2所示,AC为区间测速汽车行驶的笔直路线(AC∥x轴),AC=30 km.
(1)该汽车通过测速区间的时间为18 min(车身长忽略不计),该汽车行驶的平均速度为　 　km/h,是否超速 　 　(填“是”或“不是”).
(2)在测速区起始线且距车头10 m的点O处有一个固定激光测速仪,激光射线OP与AC交于点P(400,10);在点M(500,0)处设置可转动的另一台测速仪,射出的激光线MQ追踪汽车头点Q,当车头Q刚好在测速区起始线时.
①求射线OP所在直线的函数表达式;
②射线MQ、射线OP的交点坐标.
(3)若车头Q刚好在测速区起始线时开始计时,请直接写出激光射线MQ与射线OP有交点的时长.
16.如图1,某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯.甲、乙两人从二楼同时下行,甲乘自动扶梯,乙走步行楼梯,甲离一楼地面的高度h(单位:m)与下行时间x(单位:s)之间具有函数关系h=-x+6,乙离一楼地面的高度y(单位:m)与下行时间x(单位:s)的函数关系如图2所示.
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面.
(3)在下行过程中是否存在某一时刻两人竖直高度相差1米 若存在,请求出此时的下行时间.
17.甲、乙两机器人从A地出发,沿相同路线前往B地(到达后停止运动),图中y1,y2(单位:m)分别表示甲、乙两机器人前往目的地所走的路程随甲出发的时间x(单位:min)变化的函数图象.
(1)A,B两地的距离为　 　m.
(2)分别求y1,y2关于x的函数解析式(不写自变量的取值范围).
(3)求乙机器人出发多长时间后追上甲,以及此时它们与A地的距离.
(4)根据程序设定,当两个机器人相距200 m时,两个机器人身上的反应器同时发光,直接写出反应器同时发光时x的值.
【参考答案】
专题提升
1.D　【解析】由图象可知,会员卡的费用为400元,
∴a=400.故选项A正确;
方案二:2人花费480元,
∴单人票价为240元,
∴原票价为240÷60%=400(元),方案二的解析式为y=240x.故选项B,C正确;
由题意,得方案一的解析式为y=400+400×0.5x=200x+400,
当200x+400<240x,即x>10时,方案一比方案二更优惠,故选项D错误.
故选D.
2.A　【解析】根据题意可知,10(a-8)=40a-9,
解得a=10.
∵8+30÷10=11,
∴c=11,
∴时刻a为10:00,c为11:00,故A正确,符合题意;
甲比乙先出发9-8=1.5(h),
∴m=1.5×10=15.
∵9+30÷40=10,
∴时刻b为10:15,故B错误,不符合题意;
∵30-10-8×10=7.5(km),
∴乙到达B地时两人相距7.5 km,故C错误,不符合题意;
∵11-10=(h),
∴乙比甲提前 h到B地,故D错误,不符合题意.
故选A.
3.A　【解析】由题意,得y甲=0.8x,
当x≤200时,y乙=x,
当x>200时,y乙=200+(x-200)×0.7=0.7x+60.
故结论Ⅰ正确;
当x≤200时,y乙-y甲=20,x-0.8x=20,解得x=100;
当x>200时,分两种情况:
①若y甲-y乙=20,
则0.8x-(0.7x+60)=20,
解得x=800;
②若y乙-y甲=20,
则(0.7x+60)-0.8x=20,
解得x=400.
∴当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额相同,且实际付款相差20元时,x的值为100或400或800,
故结论Ⅱ错误.
故选A.
4.D　【解析】∵A(-1,1),B(3,1),
∴AB∥x轴.
∵M是线段AB上一点,
∴设M(m,1),
把P(2,3),M(m,1)代入y=kx+b,
得
∴k=.
∵y随x的增大而减小,
∴k<0,
∴<0,
∴2-m<0,
∴m>2,
∴m=3.
故选D.
5.12　【解析】A款新能源电动汽车每千米的耗电量为(80-48)÷200=0.16(kW·h),B款新能源电动汽车每千米的耗电量为(80-40)÷200=0.2(kW·h),
∴l1图象的函数关系式为y1=80-0.16x,l2图象的函数关系式为y2=80-0.2x,
当x=300时,y1=80-0.16×300=32,y2=80-0.2×300=20,
32-20=12(kW·h),
∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300 km时,A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多12 kW·h.
故答案为12.
6.x=-2　【解析】∵OA=2,
∴一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴相交于点A(-2,0),
∴关于x的方程kx+b=0的解为x=-2.
故答案为x=-2.
7.①-1.　②y=2x+1.　【解析】①∵点P(m-2,2m-3)在直线y=x-2上,
∴m-2-2=2m-3,
解得m=-1.
故答案为-1.
②设该直线的解析式为y=kx+b.
∵点P(m-2,2m-3)在直线y=kx+b上,
∴km-2k+b=2m-3,
化简得(k-2)m=2k-b-3.
∵不论m为何值,动点P始终在一条直线上,等式(k-2)m=2k-b-3,
∴
解得
∴该直线的解析式为y=2x+1.
故答案为y=2x+1.
8.【解析】(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b.
∵点(-3,9),(0,-3)在直线上,
∴
解得
∴函数解析式为y=-4x-3.
(2)在函数y=-4x-3中,当y=5时,-4x-3=5,
解得x=-2,
∴m的值为-2.
9.【解析】(1)设购买A场馆门票a张,则购买B场馆门票(40-2a)张,
依题意得W=50a+40(40-2a)=-30a+1 600,
∴W关于a的函数解析式为W=-30a+1 600.
(2)依题意得a<40-2a,
解得a<,且a为整数.
在W=-30a+1 600中,
∵-30<0,
∴W随a的增大而减小,
∴当a=13时,W取得最小值,最小值=-30×13+1 600=1 210.
答:此次购买门票所需总金额的最小值为1 210元.
10.【解析】(1)设乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y=kx+b,
将(0,20),(160,80)代入y=kx+b得解得
∴y=x+20.
(2)甲壶的加热速度为(60-20)÷80=(℃/s),
∴甲壶中水温刚达到80 ℃时,加热时间为(80-20)÷=120(s),
将x=120代入y=x+20得y=65,
即此刻乙壶中水的温度为65 ℃.
11.【解析】(1)杯子底部到杯沿底边高h为常量.
故答案为常量.
(2)根据题意得H=h+ax.
故答案为H=h+ax.
(3)①∵由题意得
解得
∴h的值为5,a的值为1.5.
②根据题意得1.5x+5≤40,
解得x≤.
∵x为整数,
∴x最大取23,
∴该储藏柜能放得下(杯口向上)这三种包装中15个装、20个装的纸杯.
12.【解析】(1)根据题意得a==2,b=2a=4.
故答案为2;4.
(2)补画y乙与时间t之间的函数图象如下:
当0≤t≤2时,设函数式为y=kt+60,代入点(2,60)得k=-30,
∴y乙=-30t+60(0≤t≤2).
当2≤t≤4时,设函数式为y=at+b,代入点(2,0),(4,60)得
解得
∴y乙=30t-60(2≤t≤4).
(3)根据函数图象可知,y甲与y乙有2个交点,所以在整个行驶过程中两车相遇的次数为2.
13.【解析】(1)∵点D(1,m)在直线l1:y=2x+1上,
∴m=2×1+1=3,
∴点D的坐标为(1,3).
∵OC的长为4,
∴C(4,0).
设直线l2的解析式为y=kx+b,
把点D,C的坐标代入y=kx+b得
解得
∴直线l2的解析式为y=-x+4.
(2)∵直线l1的解析式为y=2x+1,
∴点A的坐标为(0,1),
∴S△AOD=OA·xD=×1×1=.
(3)由(1)知,直线l2的解析式为y=-x+4,
∴点B的坐标为(0,4).
如图,设点P的坐标为(n,-n+4),
当点P在射线DB上时,
∵S△APD=S△ABD-S△ABP,
∴=AB·xD-AB·xP,
即=×3×1-×3n,
解得n=,
∴P,;
当点P在射线DC上时,过点A作x轴的平行线交BC于点Q,
则Q(3,1),
∴S△ADQ=AQ·(yD-1)=×3×2=3,S△APQ=AQ·(yP-1)=×3(-n+3),
∴S△ADP=S△ADQ-S△APQ,
∴=3-(-n+3),
解得n=,
∴P,.
综上所述,点P的坐标为,或,.
14.【解析】(1)当x=0时,y=2,
∴C(0,2).
当y=0时,-x+2=0,
解得x=4,
∴A(4,0).
(2)由折叠知,CD=AD.
设AD=x,则CD=x,BD=4-x,
根据题意得(4-x)2+22=x2,
解得x=,
此时,AD=,D,2.
设直线AD为y=kx+b,
∴解得
∴直线AD的解析式为y=-x+.
(3)①当点P与点O重合时,显然△APC≌△CBA,此时P(0,0);
②当点P在第一象限时,如图1,
由△APC≌△CBA得∠CAP=∠ACB,
则点P在直线AD上.过点P作PQ⊥BC于点Q,
由(2)得AD=CD=,PD=BD=4-=,CP=AB=2,
由CD·PQ=CP·DP得PQ=2×,
∴PQ=,
∴yP=2+=,把y=代入y=-x+得x=,此时P,;
③当点P在第四象限时,如图2,
由(2)同理可求得PQ=,
根据勾股定理得AQ===,
∴OQ=4-=,
此时P,-.
综上所述,满足条件的点P有三个,分别为(0,0)或,或,-.
15.【解析】(1)∵AC=30 km,该汽车通过测速区间的时间为18 min,
∴30÷=100(km/h).
∵限速100 km/h,
∴不超速.
故答案为100;不是.
(2)①∵P(400,10),
设射线OP所在直线的函数表达式为y=kx(k为常数,且k≠0),
将P(400,10)代入y=kx,
得400k=10,
∴k=,
∴射线OP所在直线的函数表达式为y=x.
②设射线MQ所在直线的函数表达式为y=mx+n(m,n为常数,且m≠0),
将坐标M(500,0)和Q(0,10)分别代入y=mx+n,
得解得
∴射线MQ所在直线的函数表达式为y=-x+10;
当射线MQ、射线OP相交时,得
解得
∴射线MQ、射线OP的交点坐标为,.
(3)当MQ∥OP时,射线MQ与射线OP无交点,设此时Q(a,10).
设当MQ∥OP时,射线MQ所在直线的函数表达式为y=x+b,
将M(500,0)代入y=x+b,
得0=×500+b,
解得b=-,
∴y=x-,
将Q(a,10)代入y=x-,得a-=10,
解得a=900=0.9(km),
∴0.9÷100=0.009(h)=32.4(s),
∴激光射线MQ与射线OP有交点的时长为32.4 s.
16.【解析】(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b,
由题意得解得
即y关于x的函数解析式为y=-x+6.
(2)当h=0时,0=-x+6,得x=20;
当y=0时,0=-x+6,得x=30.
∵20<30,
∴甲先到达一楼地面.
(3)存在.∵因为甲、乙两人从二楼同时下行,甲先到达地面.
∴①当-x+6--x+6=1,
解得x=10,
②当y=-x+6=1时,
解得x=25,
∴当下行10 s或25 s时两人竖直高度相差1 m.
17.【解析】(1)由图象可知,A,B两地的距离为1 000 m,
故答案为1 000.
(2)设y1关于x的函数解析式为y1=k1x,
将(25,1 000)代入得,1 000=25k1,
解得k1=40,
∴y1=40x.
设y2关于x的函数解析式为y2=k2x+b,
将(5,0),(15,1 000)代入得
解得
∴y2=100x-500.
(3)令40x=100x-500,
解得x=,
∴-5=(min),
∴乙机器人出发 min后追上甲.
∵40×=(m),
∴此时它们与A地的距离为 m.
(4)由题意知,当乙未出发前,甲在乙的前面相距200 m时,
依题意得40x=200,
解得x=5;
当乙在甲的前面相距200 m时,
依题意得,100x-500-40x=200,
解得x=;
当乙停止后,甲在乙的后面相距200 m时,
依题意得,1 000-40x=200,
解得x=20.
综上所述,x的值为5或或20.