4.1 因式分解 培优练习(含答案)

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名称 4.1 因式分解 培优练习(含答案)
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文件大小 144.6KB
资源类型 试卷
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2025-03-05 10:33:34

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4.1因式分解培优练习北师大版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1.下列等式从左到右的变形中,属于因式分解的是(  )
A.x(a+b)=ax+bx
B.
C.x2﹣8x+16=(x﹣4)2
D.x2﹣9+6x=(x+3)(x﹣3)+6x
二、填空题
2.把x2+3x+c分解因式得(x+1)(x+2),则c的值为   .
3.如果把多项式x2﹣3x+n分解因式得(x﹣1)(x+m),那么m=   ,n=   .
4.若多项式x2+kx﹣6有一个因式是(x﹣2),则k=   .
5.若多项式2x3+ax2+bx﹣8有两个因式x+1和x﹣2,则a+b的值为    .
6.如果a﹣3是多项式a2+ma﹣6的一个因式,则m的值是   .
7.若x+5,x﹣3都是多项式x2﹣kx﹣15的因式,则k=   .
三、解答题
8.【阅读材料】对于多项式x2+x﹣2,如果我们把x=1代入x2+x﹣2,发现此多项式的值为0,这时可以断定多项式x2+x﹣2中有因式x﹣1,可设x2+x﹣2=(x﹣1)(x+m)(m为常数),通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值.我们把这种分解因式的方法叫“试根法”.
根据以上阅读材料,完成下列问题:
(1)请完成下列因式分解:x2+x﹣2=   ;
(2)若多项式x2+mx﹣n(m,n为常数)分解因式后,有一个因式是(x﹣2),求2m﹣n值;
(3)多项式x3+2x2﹣3用“试根法”分解因式得(x+a)(x2+bx+c)(a,b,c为常数),请直接写出a,b,c的值.
9.阅读理解:阅读下列材料:已知二次三项式2x2+x+a有一个因式是(x+2),求另一个因式以及a的值.
解:设另一个因式是(2x+b),
根据题意,得2x2+x+a=(x+2)(2x+b).
展开,得2x2+x+a=2x2+(b+4)x+2b.
所以,,解得
所以,另一个因式是(2x﹣3),a的值是﹣6.
请你仿照以上做法解答下题:已知二次三项式3x2+10x+m有一个因式是(x+4),求另一个因式以及m的值.
10.仔细阅读下面的例题,并解答问题:
例题:已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值.
解法一:设另一个因式为x+n,得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)
则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n,
∴解得n=﹣7,m=﹣21.
∴另一个因式为x﹣7,m的值为﹣21.
解法二:设另一个因式为x+n,得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)
∴当x=﹣3时,x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)=0
即(﹣3)2﹣4×(﹣3)+m=0,解得m=﹣21
∴x2﹣4x+m=x2﹣4x﹣21=(x+3)(x﹣7)
∴另一个因式为x﹣7,m的值为﹣21.
问题:仿照以上一种方法解答下面问题.
(1)若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3,则实数p=   .
(2)已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5,求另一个因式及k的值.
11.已知:二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是x﹣5,求另一个因式及k的值.
12.将多项式x2﹣3x+2分解因式x2﹣3x+2=(x﹣2)(x﹣1),说明多项式x2﹣3x+2有一个因式为x﹣1,还可知:当x﹣1=0时x2﹣3x+2=0.
利用上述阅读材料解答以下两个问题:
(1)若多项式x2+kx﹣8有一个因式为x﹣2,求k的值;
(2)若x+2,x﹣1是多项式2x3+ax2+7x+b的两个因式,求a、b的值.
13.仔细阅读下面例题,解答问题:
例题:已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值.
解:设另一个因式为(x+n),得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n),则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n
∴n+3=﹣4
m=3n
解得:n=﹣7,m=﹣21
∴另一个因式为(x﹣7),m的值为﹣21.
问题:
(1)若二次三项式x2﹣5x+6可分解为(x﹣2)(x+a),则a=   ;
(2)若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为(2x﹣1)(x+5),则b=   ;
(3)仿照以上方法解答下面问题:已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是(2x﹣3),求另一个因式以及k的值.
14.已知x2+x﹣2与2x﹣1分别是多项式ax3+bx2+cx﹣5及多项式ax3+bx2+cx的因式.求a,b,c.
参考答案
选择题
1.C
二、填空题
2.【解答】解:∵(x+1)(x+2)=x2+2x+x+2=x2+3x+2,
∴x2+3x+c=x2+3x+2,
∴c=2.
故答案为2.
3.【解答】解:x2﹣3x+n分解因式得(x﹣1)(x+m),得
x2﹣3x+n=x2+(m﹣1)x﹣m.
m﹣1=﹣3,n=﹣m.
解得m=﹣2,n=2,
故答案为:﹣2,2.
4.【解答】解:设另一个式子是(x+a),
则(x﹣2) (x+a),
=x2+(a﹣2)x﹣2a,
=x2+kx﹣6,
∴a﹣2=k,﹣2a=﹣6,
解得a=3,k=1.
故应填1.
5.【解答】解:由题意知:2x3+ax2+bx﹣8=(x+1)(x﹣2)(2x+k)(k为任意实数).
∴2x3+ax2+bx﹣8=(x2﹣x﹣2)(2x+k).
∴2x3+ax2+bx﹣8=2x3+(k﹣2)x2+(﹣k﹣4)x﹣2k.
∴k﹣2=a,﹣k﹣4=b,﹣2k=﹣8.
∴k=4.
∴a=2,b=﹣8.
∴a+b=2﹣8=﹣6.
故答案为:﹣6.
6.【解答】解:∵a﹣3是多项式a2+ma﹣6的一个因式,
∴a2+ma﹣6=(a﹣3)(a+2)=a2﹣a﹣6,
∴m=﹣1.
故答案为:﹣1.
7.【解答】解:根据题意得
(x+5)(x﹣3)
=x2+2x﹣15,
=x2﹣kx﹣15,
∴﹣k=2,
解得k=﹣2.
三、解答题
8.【解答】解:(1)设x2+x﹣2=(x﹣1)(x+m)=x2+(m﹣1)x﹣m,
则m=2,
则x2+x﹣2=(x﹣1)(x+2),
故答案为:(x﹣1)(x+2);
(2)设x2+mx﹣n=(x﹣2)(x+a)=x2+(a﹣2)x﹣2a,
则m=a﹣2,n=2a,
那么2m﹣n=2(a﹣2)﹣2a=2a﹣4﹣2a=﹣4;
(3)∵(x+a)(x2+bx+c)
=x3+bx2+cx+ax2+abx+ac
=x3+(a+b)x2+(ab+c)x+ac
=x3+2x2﹣3,
∴a+b=2,ab+c=0,ac=﹣3,
解得:a=﹣1,b=3,c=3.
9.【解答】解:设另一个因式是(3x+b),
根据题意,得3x2+10x+m=(x+4)(3x+b).
展开,得3x2+10x+m=3x2+(b+12)x+4b.
所以,,解得:,
所以,另一个因式是(3x﹣2),m的值是﹣8.
10.【解答】解:(1)设另一个因式为x+a,得x2﹣px﹣6=(x﹣3)(x+a)
则x2﹣px﹣6=x2+(a﹣3)x﹣3a,
∴,解得a=2,p=1.
故答案为:1.
(2)设另一个因式为(x+n),得2x2+3x﹣k=(2x+5)(x+n)
则2x2+3x﹣k=2x2+(2n+5)x+5n
∴,
解得n=﹣1,k=5,
∴另一个因式为(x﹣1),k的值为5.
11.【解答】解:设另一个因式为(2x+a),得2x2+3x﹣k=(x﹣5)(2x+a)
则2x2+3x﹣k=2x2+(a﹣10)x﹣5a
∴,
解得:,
∴另一个因式为(2x+13),k的值为65.
12.【解答】解:(1)令x﹣2=0,即当x=2时,4+2k﹣8=0,解得:k=2;
(2)令x=﹣2,则﹣16+4a﹣14+b=0①,
令x=1,则2+a+7+b=0②,
由①,②得a=13,b=﹣22.
13.【解答】解:(1)∵(x﹣2)(x+a)=x2+(a﹣2)x﹣2a=x2﹣5x+6,
∴a﹣2=﹣5,
解得:a=﹣3;
(2)∵(2x﹣1)(x+5)=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣5,
∴b=9;
(3)设另一个因式为(x+n),得2x2+5x﹣k=(2x﹣3)(x+n)=2x2+(2n﹣3)x﹣3n,
则2n﹣3=5,k=3n,
解得:n=4,k=12,
故另一个因式为(x+4),k的值为12.
故答案为:(1)﹣3;(2)9;(3)另一个因式是x+4,k=12.
14.【解答】解:∵x2+x﹣2=(x+2)(x﹣1),x2+x﹣2与2x﹣1分别是多项式ax3+bx2+cx﹣5,
∴x=﹣2或x=1时,ax3+bx2+cx﹣5=0,
即﹣8a+4b﹣2c﹣5=0,a+b+c﹣5=0,
∵2x﹣1是多项式ax3+bx2+cx的因式,
∴x时,ax3+bx2+cx0,
即abc0,

解得.
所以a,b=3,c.
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