4.1 因式分解 培优练习（含答案）

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4.1因式分解培优练习北师大版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．x（a+b）＝ax+bx
B．
C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
D．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x
二、填空题
2．把x2+3x+c分解因式得（x+1）（x+2），则c的值为　 　．
3．如果把多项式x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），那么m＝　 　，n＝　 　．
4．若多项式x2+kx﹣6有一个因式是（x﹣2），则k＝　 　．
5．若多项式2x3+ax2+bx﹣8有两个因式x+1和x﹣2，则a+b的值为 　 　．
6．如果a﹣3是多项式a2+ma﹣6的一个因式，则m的值是　 　．
7．若x+5，x﹣3都是多项式x2﹣kx﹣15的因式，则k＝　 　．
三、解答题
8．【阅读材料】对于多项式x2+x﹣2，如果我们把x＝1代入x2+x﹣2，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式x2+x﹣2中有因式x﹣1，可设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）（m为常数），通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”．
根据以上阅读材料，完成下列问题：
（1）请完成下列因式分解：x2+x﹣2＝　 　；
（2）若多项式x2+mx﹣n（m，n为常数）分解因式后，有一个因式是（x﹣2），求2m﹣n值；
（3）多项式x3+2x2﹣3用“试根法”分解因式得（x+a）（x2+bx+c）（a，b，c为常数），请直接写出a，b，c的值．
9．阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式2x2+x+a有一个因式是（x+2），求另一个因式以及a的值．
解：设另一个因式是（2x+b），
根据题意，得2x2+x+a＝（x+2）（2x+b）．
展开，得2x2+x+a＝2x2+（b+4）x+2b．
所以，，解得
所以，另一个因式是（2x﹣3），a的值是﹣6．
请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式3x2+10x+m有一个因式是（x+4），求另一个因式以及m的值．
10．仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
∴解得n＝﹣7，m＝﹣21．
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0
即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21
∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
问题：仿照以上一种方法解答下面问题．
（1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　 　．
（2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值．
11．已知：二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是x﹣5，求另一个因式及k的值．
12．将多项式x2﹣3x+2分解因式x2﹣3x+2＝（x﹣2）（x﹣1），说明多项式x2﹣3x+2有一个因式为x﹣1，还可知：当x﹣1＝0时x2﹣3x+2＝0．
利用上述阅读材料解答以下两个问题：
（1）若多项式x2+kx﹣8有一个因式为x﹣2，求k的值；
（2）若x+2，x﹣1是多项式2x3+ax2+7x+b的两个因式，求a、b的值．
13．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴n+3＝﹣4
m＝3n
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：
（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a＝　 　；
（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b＝　 　；
（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．
14．已知x2+x﹣2与2x﹣1分别是多项式ax3+bx2+cx﹣5及多项式ax3+bx2+cx的因式．求a，b，c．
参考答案
选择题
1.C
二、填空题
2.【解答】解：∵（x+1）（x+2）＝x2+2x+x+2＝x2+3x+2，
∴x2+3x+c＝x2+3x+2，
∴c＝2．
故答案为2．
3．【解答】解：x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），得
x2﹣3x+n＝x2+（m﹣1）x﹣m．
m﹣1＝﹣3，n＝﹣m．
解得m＝﹣2，n＝2，
故答案为：﹣2，2．
4．【解答】解：设另一个式子是（x+a），
则（x﹣2） （x+a），
＝x2+（a﹣2）x﹣2a，
＝x2+kx﹣6，
∴a﹣2＝k，﹣2a＝﹣6，
解得a＝3，k＝1．
故应填1．
5．【解答】解：由题意知：2x3+ax2+bx﹣8＝（x+1）（x﹣2）（2x+k）（k为任意实数）．
∴2x3+ax2+bx﹣8＝（x2﹣x﹣2）（2x+k）．
∴2x3+ax2+bx﹣8＝2x3+（k﹣2）x2+（﹣k﹣4）x﹣2k．
∴k﹣2＝a，﹣k﹣4＝b，﹣2k＝﹣8．
∴k＝4．
∴a＝2，b＝﹣8．
∴a+b＝2﹣8＝﹣6．
故答案为：﹣6．
6．【解答】解：∵a﹣3是多项式a2+ma﹣6的一个因式，
∴a2+ma﹣6＝（a﹣3）（a+2）＝a2﹣a﹣6，
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
7．【解答】解：根据题意得
（x+5）（x﹣3）
＝x2+2x﹣15，
＝x2﹣kx﹣15，
∴﹣k＝2，
解得k＝﹣2．
三、解答题
8．【解答】解：（1）设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）＝x2+（m﹣1）x﹣m，
则m＝2，
则x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），
故答案为：（x﹣1）（x+2）；
（2）设x2+mx﹣n＝（x﹣2）（x+a）＝x2+（a﹣2）x﹣2a，
则m＝a﹣2，n＝2a，
那么2m﹣n＝2（a﹣2）﹣2a＝2a﹣4﹣2a＝﹣4；
（3）∵（x+a）（x2+bx+c）
＝x3+bx2+cx+ax2+abx+ac
＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac
＝x3+2x2﹣3，
∴a+b＝2，ab+c＝0，ac＝﹣3，
解得：a＝﹣1，b＝3，c＝3．
9．【解答】解：设另一个因式是（3x+b），
根据题意，得3x2+10x+m＝（x+4）（3x+b）．
展开，得3x2+10x+m＝3x2+（b+12）x+4b．
所以，，解得：，
所以，另一个因式是（3x﹣2），m的值是﹣8．
10．【解答】解：（1）设另一个因式为x+a，得x2﹣px﹣6＝（x﹣3）（x+a）
则x2﹣px﹣6＝x2+（a﹣3）x﹣3a，
∴，解得a＝2，p＝1．
故答案为：1．
（2）设另一个因式为（x+n），得2x2+3x﹣k＝（2x+5）（x+n）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（2n+5）x+5n
∴，
解得n＝﹣1，k＝5，
∴另一个因式为（x﹣1），k的值为5．
11．【解答】解：设另一个因式为（2x+a），得2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+a）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣10）x﹣5a
∴，
解得：，
∴另一个因式为（2x+13），k的值为65．
12．【解答】解：（1）令x﹣2＝0，即当x＝2时，4+2k﹣8＝0，解得：k＝2；
（2）令x＝﹣2，则﹣16+4a﹣14+b＝0①，
令x＝1，则2+a+7+b＝0②，
由①，②得a＝13，b＝﹣22．
13．【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+a）＝x2+（a﹣2）x﹣2a＝x2﹣5x+6，
∴a﹣2＝﹣5，
解得：a＝﹣3；
（2）∵（2x﹣1）（x+5）＝2x2+9x﹣5＝2x2+bx﹣5，
∴b＝9；
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k＝（2x﹣3）（x+n）＝2x2+（2n﹣3）x﹣3n，
则2n﹣3＝5，k＝3n，
解得：n＝4，k＝12，
故另一个因式为（x+4），k的值为12．
故答案为：（1）﹣3；（2）9；（3）另一个因式是x+4，k＝12．
14．【解答】解：∵x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），x2+x﹣2与2x﹣1分别是多项式ax3+bx2+cx﹣5，
∴x＝﹣2或x＝1时，ax3+bx2+cx﹣5＝0，
即﹣8a+4b﹣2c﹣5＝0，a+b+c﹣5＝0，
∵2x﹣1是多项式ax3+bx2+cx的因式，
∴x时，ax3+bx2+cx0，
即abc0，
，
解得．
所以a，b＝3，c．
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