3.3 中心对称 培优练习（含答案）

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3.3中心对称培优练习北师大版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点A关于坐标原点O的中心对称点的坐标是（　　）
A．（﹣2，3） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
4．如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　）
A．点A与点A'是对称点 B．BO＝B'O
C．AB＝A'B' D．∠ACB＝∠C'A'B'
5．如图，△ABC中，，AC＝2，O是AC的中点．将△BCO绕点C旋转180°得△PCQ，连接AP，则AP的长是（　　）
A． B． C．4 D．5
二、填空题
6．已知点P1（a，﹣2）与点P2（3，b）关于原点对称，则（a+b）2025＝　 　．
7．将七个边长为1的正方形按如图方式摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则该直线对应的函数表达式为　 ．
8．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG为△ABC的高，若CE＝5，AG＝2，则S△DEC＝ 　 　．
9．婆罗摩笈多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究发现：当圆中两弦互相垂直时，图形中相对的几何元素间存在着特殊的关系．如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB、CD交于点E，弦AB和CD将圆分成了四个部分，其面积分别记为S1、S2、S3、S4，若点O到AB和CD的距离分别为2和1，则S1+S3﹣S2﹣S4＝　 　．
10．如图所示，Rt△ABC与Rt△AB′C′关于点A成中心对称，若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝1，则BB′的长度为　 　．
三、解答题
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标都在格点上，且△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，C点坐标为（﹣2，1）．
（1）请直接写出A1的坐标　 　；
（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点P′（a+2，b﹣6），请画出平移后的△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为　 　．
12．如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）直接写出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1的对称点A1、B1、C1的坐标；
（2）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（3）求△A1B1C1的面积．
13．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 　 　；
（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为 　 　；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，点D与点C关于点E中心对称，连接AE并延长，与BC延长线交于点F．
（1）填空：E是线段CD的 　 　，点A与点F关于点 　 　成中心对称，若AB＝AD+BC，则△ABF是 　 　三角形．
（2）四边形ABCD的面积为12，求△ABF的面积．
15．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．
（1）哪两个图形成中心对称？
（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；
（3）已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 D B C D D
二、填空题
6．【解答】解：∵点P1（a，﹣2）与点P2（3，b）关于原点对称，
∴a+3＝0，﹣2+b＝0，
即a＝﹣3，b＝2，
∴（a+b）2025＝（﹣3+2）2025＝（﹣1）2025＝﹣1，
故答案为：﹣1．
7．【解答】解：令过点P且平分这七个正方形面积的直线交x轴于点M，如图所示，
过点P作x轴的垂线，垂足为N，
∵直线PM平分这七个小正方形的面积，
∴，
∴，
∴MN，
∴OM＝5，
则点M的坐标为（）．
令直线PM的函数解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
所以直线的函数表达式为y．
故答案为：y．
8．【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG＝2，
∴CE＝BC，S△DEC＝S△ABC，
∴，
∴S△DEC＝5，
故答案为：5．
9．【解答】解：如图，作弦AB、CD关于O的对称弦，
根据圆的对称性可知，
S①＝S②，S③＝S④，S⑤＝S⑥＝S⑦＝S⑧，
所以S1+S3﹣S2﹣S4＝S②+S③+S⑥+S⑦+S长方形EFGH﹣S①﹣S④﹣S⑤﹣S⑧＝S长方形EFGH．
又因为点O到AB和CD的距离分别为2和1，
所以EF＝2，EH＝4，
所以S1+S3﹣S2﹣S4＝S长方形EFGH＝2×4＝8．
故答案为：8．
10．【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝1，
∴cos30°，
解得：AB
∵Rt△ABC与Rt△AB′C′关于点A成中心对称，
∴AB＝AB′，
∴BB′，
故答案为：．
三、解答题
11．【解答】解：（1）如图所示：
∴A1（3，﹣4）；
故答案为：（3，﹣4）；
（2）如图所示：
∴先向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，
即：所作△A2B2C2如图所示；
（3）∵A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1），
∴A1（3，﹣4），B1（4，﹣2），C1（2，﹣1）；
△A1B1C1如图所示，
连接A1A2，C1C2相交于点M，
则M为对称中心，即：M为A1A2的中点，
又∵A1（3，﹣4），A2（﹣1，﹣2），
∴，即M（1，﹣3），
故答案为：（1，﹣3）．
12．【解答】解：（1）∵A（0，3），B（3，4），C（2，2），
∴A1（0，﹣3），B1（﹣3，﹣4），C1（﹣2，﹣2）；
（2）如图，△A1B1C1即为所求，
（3）△A1B1C1的面积为．
13．【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积是：3×4；
故答案为：4；
（2）点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为：（﹣4，﹣3）；
故答案为：（﹣4，﹣3）；
（3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，
∴BP＝8，
∴点P的横坐标为：2+8＝10或2﹣8＝﹣6，
故P点坐标为：（10，0）或（﹣6，0）．
14．【解答】解：（1）∵点D与点C关于点E中心对称，
∴E是线段CD的中点，DE＝EC，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE＝FE，AD＝CF，
∴点A与点F关于点E成中心对称，
∵AB＝AD+BC，
∴AB＝BF，
则△ABF是等腰三角形．
故答案为：中点，E，等腰；
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴△ADE与△FCE面积相等，
∴△ABF的面积等于四边形ABCD的面积，
∵四边形ABCD的面积为12，
∴△ABF的面积为12．
15．【解答】解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；
（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4，
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
所以△ABE的面积为8；
（3）∵在△ABD和△ECD中，，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝EC，
∵△ACE中，AB﹣AC＜AE＜AC+AB，
∴2＜AE＜8，
∴1＜AD＜4．
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